View difference between Paste ID: qSTuyx4X and iBMD7qaq

 
 \section*{El conjunto de Cantor}
 
-x = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{C_n}{3^n}} && \text{con } C_n = 0,1,2
+El conjunto de Cantor bla-bla-bla
 
 
 \begin{definicion}
-Se dice que $x \in C$ si y solo si tiene una representación ternaria que contenga solo $0$ y $2$
+
 \begin{align*}
 x = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{C_n}{3^n}}, && \text{con } C_n = 0,1,2
 \end{align*}
-$$\left(\dfrac{1}{3}\right)_3 = 0.1000...$$
+
-$$\left(\dfrac{2}{3}\right)_3 = 0.2000...$$
+
 $x \in C$ si y solo si tiene una representación ternaria que contenga solo $0$ y $2$.
-$$0.0***...$$
+
 \begin{proof}
-$$(x)_3=0.2***... \in C.$$
+
-Las $x$ que están \emph{en medio}, es decir que no pertenecen al Conjunto de Cantor, tienen la representación ternaria siguiente: $$(x)_3 = 0.1***... \not \in C$$.
+$$\left(\dfrac{1}{3}\right)_3 = 0.1000\ldots$$
-Ahora veamos lo que sucede en el conjunto $C_2$. En el cual hay cuatro subintervalos, fijándonos en los primeros dos: $\left[0, \frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{2}{9}, \frac{1}{3}\right]$, los extremos interiores en base tres, son:
+$$\left(\dfrac{2}{3}\right)_3 = 0.2000\ldots$$
-$$\left(\dfrac{1}{9}\right)_3 = 0.010...$$
+
-$$\left(\dfrac{2}{9}\right)_3 = 0.020...$$
+$$0.0***\ldots$$
-si $x$ es menor que $\frac{1}{9}$, su expansión ternaria será:
+
-$$(x)_3 = 0.00***... \in C$$
+$$(x)_3=0.2***\ldots \in C.$$
 Las $x$ que están \emph{en medio}, es decir que no pertenecen al Conjunto de Cantor, tienen la representación ternaria siguiente: $$(x)_3 = 0.1***\ldots \not \in C.$$
-$$(x)_3 = 0.02***... \in C$$
+Ahora veamos lo que sucede en el conjunto $C_2$, en el cual hay cuatro subintervalos. Fijándonos en los primeros dos: $\left[0, \frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{2}{9}, \frac{1}{3}\right]$, los extremos interiores en base tres son:
-Las $x$ en base tres, que están \emph{en medio} de estos dos subintervalos, son: $$(x)_3 = 0.01***... \not \in C.$$
+$$\left(\dfrac{1}{9}\right)_3 = 0.010\ldots$$
-Para los subintervalos restantes: $\left[\frac{2}{3}, \frac{7}{9}\right] \cup \left[\frac{8}{9}, 1\right]$, los extremos interiores en base tres, son:
+$$\left(\dfrac{2}{9}\right)_3 = 0.020\ldots$$
-$$\left(\dfrac{7}{9}\right)_3 = 0.210...$$
+Si $x$ es menor que $\frac{1}{9}$, su expansión ternaria será:
-$$\left(\dfrac{8}{9}\right)_3 = 0.220...$$
+$$(x)_3 = 0.00***\ldots \in C,$$
 y si $x$ es mayor que $\frac{2}{9}$, su expansión ternaria será:
-$$(x)_3 = 0.20***... \in C$$
+$$(x)_3 = 0.02***\ldots \in C.$$
 Las $x$ en base tres, que están \emph{en medio} de estos dos subintervalos, son: $$(x)_3 = 0.01***\ldots \not \in C.$$
-$$(x)_3 = 0.22***... \in C$$
+Para los subintervalos restantes, $\left[\frac{2}{3}, \frac{7}{9}\right] \cup \left[\frac{8}{9}, 1\right]$, los extremos interiores en base tres son:
-y las $x$ en base tres, que están \emph{en medio} de estos dos subintervalos, son: $$(x)_3 = 0.21***... \not \in C.$$
+$$\left(\dfrac{7}{9}\right)_3 = 0.210\ldots$$
-Aplicando este razonamiento para cada $C_m$, vemos que las $x$ que no pertenecen a $C$, tienen siempre al 1 como elemento de su expansión ternaria. Por lo tanto, para que $x$ esté en el Conjunto de Cantor, en su representación ternaria no debe estar el 1 como dígito de esta, es decir, que su representación en base tres solo debe estar conformada por 0 y 2.
+$$\left(\dfrac{8}{9}\right)_3 = 0.220\ldots$$
 Vemos que si $x$ es menor que $\frac{7}{9}$, su expansión ternaria será:
 $$(x)_3 = 0.20***\ldots \in C$$
 y si $x$ es mayor que $\frac{8}{9}$, su expansión ternaria será:
 $$(x)_3 = 0.22***\ldots \in C$$
 y las $x$ en base tres, que están \emph{en medio} de estos dos subintervalos, son: $$(x)_3 = 0.21***\ldots \not \in C.$$
 Aplicando este razonamiento para cada $C_m$, vemos que las $x$ que no pertenecen a $C$, tienen siempre al 1 como elemento de su expansión ternaria. Por lo tanto, para que $x$ esté en el Conjunto de Cantor, debe poseer una representación ternaria tal que, el 1 no debe estar como dígito de esta, es decir, que debe poseer una representación en base tres tal que solo este conformada por 0 y 2.
 \end{proof}
 
 \begin{observacion}
   Números como el $1$ y el $1/3$ se encuentran en el conjunto de Cantor, aunque su expansión en base 3 puede o no admitir un 1, pues por ejemplo,
 \[(1)_3 = 0.222\ldots,\]
 y
 \[\dfrac{1}{3} = 0.0222\ldots,\]
 por lo cual vemos en estos ejemplos que las hipótesis del teorema se cumplen. Un ejemplo de un número que no estaría en el conjunto de Cantor es $x = 12/27$, pues este número en realidad es $1/3 + 1/9$, y de las dos representaciones ternarias que admite,
 \begin{align*}
   0.110\ldots && y && 0.10222\ldots,
 \end{align*}
 ninguna tiene exclusivamente 0 y 2 como coeficientes.
 \end{observacion}
 
 \begin{theorem}
   El conjunto de Cantor es compacto
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
    Como el conjunto de Cantor es una intersección, por las leyes de de Morgan, su complemento será una unión de complementos, entonces
 \[C^c = \cup C'_n,\]
 donde $C_n'$ fue definido con anterioridad. Cada complemento $C'_n$ a su vez, es una unión de intervalos abiertos, por lo que $C^c$ tambíen es unión de intervalos abiertos. Por lo tanto $C^c$ es abierto, por lo que $C$ es cerrado. Finalmente, $C$ es un conjunto acotado porque está contenido en $[0, 1]$, de donde el conjunto de Cantor es compacto.
 \end{proof}
 
 \begin{theorem}
   Las funciones $f_0(x) = \dfrac{1}{3} \cdot x$  y $f_1(x) = \dfrac{1}{3}(2 + x)$, generan un sistema de funciones iteradas cuyo conjunto límite es el conjunto de Cantor
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
 
 \end{proof}
 
 \begin{theorem}
   El conjunto de Cantor tiene dimensión fractal $\ln(2)/\ln(3)$.
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
 
 \end{proof}