CantorSet

\begin{definicion}
Todo número $x \in [0,1]$ tiene una representación ternaria dada por:
\begin{align*}
x = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{C_n}{3^n}} && \text{con } C_n = 0,1,2
\end{align*}
\end{definicion}
\begin{theorem}
Se dice que $x \in C$ si y solo si tiene una representación ternaria que contenga solo $0$ y $2$
\end{theorem}
\begin{proof}
Obsérvese el conjunto $C_1$, el cual sabemos que consta de dos subintervalos: $\left[0, \frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3}, 1\right]$. Ahora, los extremos interiores se pueden representar en base tres, así:
$$\left(\dfrac{1}{3}\right)_3 = 0.1000...$$
$$\left(\dfrac{2}{3}\right)_3 = 0.2000...$$
observemos que si $x$ es menor que $\frac{1}{3}$, su expansión ternaria será:
$$0.0***...$$
y si $x$ es mayor que $\frac{2}{3}$, su expansión ternaria será:
$$(x)_3=0.2***... \in C.$$
Las $x$ que están \emph{en medio}, es decir que no pertenecen al Conjunto de Cantor, tienen la representación ternaria siguiente: $$(x)_3 = 0.1***... \not \in C$$.
Ahora veamos lo que sucede en el conjunto $C_2$. En el cual hay cuatro subintervalos, fijándonos en los primeros dos: $\left[0, \frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{2}{9}, \frac{1}{3}\right]$, los extremos interiores en base tres, son:
$$\left(\dfrac{1}{9}\right)_3 = 0.010...$$
$$\left(\dfrac{2}{9}\right)_3 = 0.020...$$
si $x$ es menor que $\frac{1}{9}$, su expansión ternaria será:
$$(x)_3 = 0.00***... \in C$$
y si $x$ es mayor que $\frac{2}{9}$, su expansión ternaria será:
$$(x)_3 = 0.02***... \in C$$
Las $x$ en base tres, que están \emph{en medio} de estos dos subintervalos, son: $$(x)_3 = 0.01***... \not \in C.$$
Para los subintervalos restantes: $\left[\frac{2}{3}, \frac{7}{9}\right] \cup \left[\frac{8}{9}, 1\right]$, los extremos interiores en base tres, son:
$$\left(\dfrac{7}{9}\right)_3 = 0.210...$$
$$\left(\dfrac{8}{9}\right)_3 = 0.220...$$
Vemos que si $x$ es menor que $\frac{7}{9}$, su expansión ternaria será:
$$(x)_3 = 0.20***... \in C$$
y si $x$ es mayor que $\frac{8}{9}$, su expansión ternaria será:
$$(x)_3 = 0.22***... \in C$$
y las $x$ en base tres, que están \emph{en medio} de estos dos subintervalos, son: $$(x)_3 = 0.21***... \not \in C.$$
Aplicando este razonamiento para cada $C_m$, vemos que las $x$ que no pertenecen a $C$, tienen siempre al 1 como elemento de su expansión ternaria. Por lo tanto, para que $x$ esté en el Conjunto de Cantor, en su representación ternaria no debe estar el 1 como dígito de esta, es decir, que su representación en base tres solo debe estar conformada por 0 y 2.
\end{proof}