Cantor.tex

\section*{El conjunto de Cantor}

El conjunto de Cantor bla-bla-bla


\begin{definicion}
Todo número $x \in [0,1]$ tiene una representación ternaria dada por:
\begin{align*}
x = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{C_n}{3^n}}, && \text{con } C_n = 0,1,2
\end{align*}
\end{definicion}
\begin{theorem}
$x \in C$ si y solo si tiene una representación ternaria que contenga solo $0$ y $2$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Obsérvese el conjunto $C_1$, el cual sabemos que consta de dos subintervalos: $\left[0, \frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3}, 1\right]$. Ahora, los extremos interiores se pueden representar en base tres, así:
$$\left(\dfrac{1}{3}\right)_3 = 0.1000\ldots$$
$$\left(\dfrac{2}{3}\right)_3 = 0.2000\ldots$$
observemos que si $x$ es menor que $\frac{1}{3}$, su expansión ternaria será:
$$0.0***\ldots$$
y si $x$ es mayor que $\frac{2}{3}$, su expansión ternaria será:
$$(x)_3=0.2***\ldots \in C.$$
Las $x$ que están \emph{en medio}, es decir que no pertenecen al Conjunto de Cantor, tienen la representación ternaria siguiente: $$(x)_3 = 0.1***\ldots \not \in C.$$
Ahora veamos lo que sucede en el conjunto $C_2$, en el cual hay cuatro subintervalos. Fijándonos en los primeros dos: $\left[0, \frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{2}{9}, \frac{1}{3}\right]$, los extremos interiores en base tres son:
$$\left(\dfrac{1}{9}\right)_3 = 0.010\ldots$$
$$\left(\dfrac{2}{9}\right)_3 = 0.020\ldots$$
Si $x$ es menor que $\frac{1}{9}$, su expansión ternaria será:
$$(x)_3 = 0.00***\ldots \in C,$$
y si $x$ es mayor que $\frac{2}{9}$, su expansión ternaria será:
$$(x)_3 = 0.02***\ldots \in C.$$
Las $x$ en base tres, que están \emph{en medio} de estos dos subintervalos, son: $$(x)_3 = 0.01***\ldots \not \in C.$$
Para los subintervalos restantes, $\left[\frac{2}{3}, \frac{7}{9}\right] \cup \left[\frac{8}{9}, 1\right]$, los extremos interiores en base tres son:
$$\left(\dfrac{7}{9}\right)_3 = 0.210\ldots$$
$$\left(\dfrac{8}{9}\right)_3 = 0.220\ldots$$
Vemos que si $x$ es menor que $\frac{7}{9}$, su expansión ternaria será:
$$(x)_3 = 0.20***\ldots \in C$$
y si $x$ es mayor que $\frac{8}{9}$, su expansión ternaria será:
$$(x)_3 = 0.22***\ldots \in C$$
y las $x$ en base tres, que están \emph{en medio} de estos dos subintervalos, son: $$(x)_3 = 0.21***\ldots \not \in C.$$
Aplicando este razonamiento para cada $C_m$, vemos que las $x$ que no pertenecen a $C$, tienen siempre al 1 como elemento de su expansión ternaria. Por lo tanto, para que $x$ esté en el Conjunto de Cantor, debe poseer una representación ternaria tal que, el 1 no debe estar como dígito de esta, es decir, que debe poseer una representación en base tres tal que solo este conformada por 0 y 2.
\end{proof}

\begin{observacion}
  Números como el $1$ y el $1/3$ se encuentran en el conjunto de Cantor, aunque su expansión en base 3 puede o no admitir un 1, pues por ejemplo,
\[(1)_3 = 0.222\ldots,\]
y
\[\dfrac{1}{3} = 0.0222\ldots,\]
por lo cual vemos en estos ejemplos que las hipótesis del teorema se cumplen. Un ejemplo de un número que no estaría en el conjunto de Cantor es $x = 12/27$, pues este número en realidad es $1/3 + 1/9$, y de las dos representaciones ternarias que admite,
\begin{align*}
  0.110\ldots && y && 0.10222\ldots,
\end{align*}
ninguna tiene exclusivamente 0 y 2 como coeficientes.
\end{observacion}

\begin{theorem}
  El conjunto de Cantor es compacto
\end{theorem}

\begin{proof}
   Como el conjunto de Cantor es una intersección, por las leyes de de Morgan, su complemento será una unión de complementos, entonces
\[C^c = \cup C'_n,\]
donde $C_n'$ fue definido con anterioridad. Cada complemento $C'_n$ a su vez, es una unión de intervalos abiertos, por lo que $C^c$ tambíen es unión de intervalos abiertos. Por lo tanto $C^c$ es abierto, por lo que $C$ es cerrado. Finalmente, $C$ es un conjunto acotado porque está contenido en $[0, 1]$, de donde el conjunto de Cantor es compacto.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Las funciones $f_0(x) = \dfrac{1}{3} \cdot x$  y $f_1(x) = \dfrac{1}{3}(2 + x)$, generan un sistema de funciones iteradas cuyo conjunto límite es el conjunto de Cantor
\end{theorem}

\begin{proof}

\end{proof}

\begin{theorem}
  El conjunto de Cantor tiene dimensión fractal $\ln(2)/\ln(3)$.
\end{theorem}

\begin{proof}

\end{proof}