cantor cardinality

%El teorema anterior es el de la representacion ternaria del conjunto
Del teorema anterior, sabemos que si $x \in C$ entonces
\begin{align*}
x = \sum_{n=1}^{\infty}{\dfrac{c_n}{3^n}},
\end{align*}
con $c_n = 0, 2$. Como consecuencia de la observación, la representación en base 3 de un número del conjunto de Cantor, que contiene únicamente al 0 y al 2, es única. Para el número $x$ dado anteriormente, definamos

\[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}{\dfrac{b_n}{2^n}}, \]
donde $b_n = 1$, si $c_n = 2$, o $b_n = 0$, en caso que $c_n$ tambien se anule.

\begin{theorem}
$C$ y el intervalo $[0,1]$, tienen la misma cardinalidad.
\end{theorem}
\begin{proof}
Debemos probar que $f$ es biyectiva. Observemos que $f$ hace que a cada $x$, expresada en base tres que pertenezca a $C$, le hace corresponder un número en representación binaria, ya que por definición, $f$ en cada expansión ternaria de $x$, cambia los $2$ por $1$. De esto, tenemos como resultado una biyección evidente, porque el conjunto imagen resulta ser el mismo intervalo $[0,1]$ pero \emph{completo}, pues cualquier número que pertenezca al intervalo $[0, 1]$ es posible expresarlo como una combinación concreta de $0$ y $1$ en su expresión binaria.
\end{proof}