var arraystring = ['test', 'cat','catty', 'meow'];
letter = prompt("Введите поисковую строку");

function checkEarraystring(arraystring, letter) {
    var arr = [];
    var ind = 0;
    var vndetta = 0;
    for (var i = 0; i < arraystring.length; i++) {
        vndetta = 0;
        for (var j = 0; j < arraystring[i].length; j++) {
            if ((arraystring[i][j] == letter[vndetta]) === true) {
                vndetta++;
                if(vndetta==letter.length){
                    arr[ind] = arraystring[i];
                    ind++;
                }
            } else {
                vndetta = 0;
                if ((arraystring[i][j] == letter[vndetta]) === true) {
                vndetta++;
                if(vndetta==letter.length){
                    arr[ind] = arraystring[i];
                    ind++;
                }}
            }
        }
    }
    if (arr.length === 0){
       alert("нихуя не найдено");
       return null;
    }
    return arr;
}
alert(checkEarraystring(arraystring, letter));