function update_value() {
    //Вот тут ты создаёшь глобальную переменную. Чтобы она была локальной, есть var или let, если тебе можно в ES6
    //Далее, когда ты вытаскиваешь значение из селекта, тебе не нужно фигачить такую кошмарную конструкцию. Достаточно
    // $('#parameter').val()
    parameter = $("option:selected", $('#parameter')).val();
    //Не знаю, идёшь ты с http или https, но если у тебя совпадает домен, можно было просто написать относительный URL:
    // $.get('/severity/value' + parameter)
    $.get('https://' + window.location.hostname + '/severity/value/' + parameter).done(function(data) {
        //Если ты хочешь в дальнейшем заменить всё содержимое, чистить его не обязательно - ниже уточню, почему
        $('#value').empty();
        //Если то, что ты запрашиваешь, отдаёт честный json, то это можно не делать - jQuery парсит сама
        params = JSON.parse(data);
        //Строго говоря, в таких циклах надо ещё проверять, что ты имеешь дело со свойством объекта, а не его прототипа:
        // if(Object.hasOwnProperty(params, key))
        // Я мог ошибиться в порядке переменнях, но название метода должно быть правильное. А вообще у большинства библиотек,
        // включая jQuery, есть методы для пробегания по таким объектам, которые это делают за тебя.
        for (var key in params){
            // Когда ты работаешь с DOMом, хороший тон - делать минимум мутаций. Потому что они медленные. Поэтому
            // правильнее бы было сначала собрать всё вместе (в строку или DocumentFragment), и только потом вставлять.
            // Я бы здесь сделал длинную строку, а потом вне цикла сказал $('#value').html(длинная строка)
          $('#value').append($('<option value="' + parameter + '/' + key + '">' + params[key] + '</option>'));
        };
        //Опять-таки, селект достаточно умный, чтобы понять $('#value').val(value того option'а, который должен быть выбран)
        $('#value :first').attr("selected", "selected");
    });
};

function update_parameter() {
    component = $("option:selected", $('#component')).val();
    $.get('https://' + window.location.hostname + '/severity/parameter/' + component).done(function(data) {
        $('#parameter').empty();
        params = JSON.parse(data);
        for (var key in params){
          $('#parameter').append($('<option value="' + component + '/' + key + '">' + params[key] + '</option>'));
        };
        $('#parameter :first').attr("selected", "selected");
        update_value();
    });
};

// Обычно используют краткую форму: $(function(){ ... })
$(document).ready(function() {
    $('#component').on('change', function (e) {
        update_parameter();
    });
    $('#parameter').on('change', function (e) {
        update_value();
    });
    update_parameter();
});