\begin{theorem}\label{miller_crit}

    	Пусть $N\in\mathcal{O}_K\setminus \mathcal{O}_K^\times$ - элемент свободный от простых делителей $p \in \mathcal{P}_{1,K}$.
    	Тогда следующие утверждения эквивалентны
    	\begin{enumerate}
    		\item $N$ простой элемент;
    		\item $\forall a,(a,N)=1, a^u\not\equiv 1(\modul N):\exists k\in\{0,\ldots,t-1\}$, такое что $a^{2^ku}\equiv -1(\modul N)$, где $\Nm(N)-1=2^tu,(u,2)=1$.
    	\end{enumerate}

    \end{theorem}