\documentclass[12pt,russian,a4paper]{extarticle}

\usepackage[a4paper,left=10mm,right=10mm, top=10mm,bottom=10mm,bindingoffset=0cm]{geometry}
\usepackage{amsfonts,amssymb,amsmath}
\usepackage{nopageno}
\usepackage{tikz}
\usepackage{cmap}
\usepackage{ifthen}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english, russian]{babel}

\newcommand{\Sum}{\displaystyle\sum\limits}
\newcommand{\Max}{\max\limits}
\newcommand{\Min}{\min\limits}
\newcommand{\fromto}[3]{{#1}=\overline{{#2},\,{#3}}}
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor{#1}\right\rfloor}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil{#1}\right\rceil}
\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\tild}{\widetilde}
\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
\renewcommand{\hat}{\widehat}
\renewcommand{\emptyset}{\varnothing}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\newcommand{\ol}{\overline}

\newcounter{task}

\newcommand{\printscore}[1]{%
\ifthenelse{\equal{#1}{1}}{(1 балл).}{}%
\ifthenelse{\equal{#1}{2}}{(2 балла).}{}%
\ifthenelse{\equal{#1}{3}}{(3 балла).}{}%
\ifthenelse{\equal{#1}{4}}{(4 балла).}{}%
\ifthenelse{\equal{#1}{5}}{(5 баллов).}{}%
\ifthenelse{\equal{#1}{6}}{(6 баллов).}{}%
}

\newcommand{\vrtx}{
    *[o]{\circ}
}
\newcommand{\vrtxf}{
    *[o]{\bullet}
}

\newcommand{\edge}[1]{
    \ar@{-}[#1]
}


\newcommand{\task}[2]{\par\noindent\stepcounter{task}{\bf Задача~\arabic{task}.~\printscore{#1}} {#2}\vskip 6pt}

\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}{\hbox{$#1$}}{}}

\nofiles
\begin{document}

\centerline{\large \bf Четвёртое домашнее задание по курсу}
\centerline{\large \bf <<Дискретный анализ и теория вероятностей>>}\bigskip


\task{2}{Точка $(\xi_1,\xi_2)$ имеет равномерное распределение в квадрате $\{(x,y): 0\leqslant x\leqslant a, 0\leqslant y\leqslant a\}$. Докажите, что случайные величины $|\xi_1-\xi_2|$ и $\min\{\xi_1,\xi_2\}$ имеют одинаковое распределение, то есть для любого действительного $t$ верно равенство $P(|\xi_1-\xi_2|\leqslant t)=P(\min\{\xi_1,\xi_2\}\leqslant t).$ \\
\textbf{Решение:}
\begin{itemize}
\item Рассмотрим вероятность $P(|\xi_1-\xi_2|\leqslant t)$. В случае $t \in [0, a]$:
$$P(|\xi_1-\xi_2|\leqslant t) = \frac{S_{ABCDEF}}{a^2} = \frac{a^2 - 2\frac{(a - t)^2}{2}}{a^2} = \frac{2ta - t^2}{a^2}$$.
В случае $t < 0$ $P(|\xi_1-\xi_2|\leqslant t) = 0$, в случае $t > a$ $P(|\xi_1-\xi_2|\leqslant t) = 1$. Т.е. итого:
$$P(|\xi_1-\xi_2|\leqslant t) =
\begin{cases}
0, & t < 0 \\
\frac{2ta - t^2}{a^2}, &  0 \leq t \leq a \\
1, & t > a
\end{cases}$$

\item Рассмотри вероятность $P(\min\{\xi_1,\xi_2\}\leqslant t)$. Аналогично получаем в случае $t \in [0, a]$:
$$P(\min\{\xi_1,\xi_2\}\leqslant t) = \frac{S_{A'B'C'D'E'F'}}{a^2} = \frac{a^2 - (a - t)^2}{a^2} = \frac{2ta - t^2}{a^2}$$
$$P(\min\{\xi_1,\xi_2\}\leqslant t) =
\begin{cases}
0, & t < 0 \\
\frac{2ta - t^2}{a^2}, &  0 \leq t \leq a \\
1, & t > a
\end{cases}$$
\end{itemize}
Т.е. для любого действительного $t$ верно равенство $P(|\xi_1-\xi_2|\leqslant t)=P(\min\{\xi_1,\xi_2\}\leqslant t)$, что и требовалось доказать.
}

\task{2}{Пусть $\xi$ и $\eta$ --- случайные величины. Всегда ли независимы $\xi$ и $\eta$, если независимы $\xi^2$ и $\eta^2$? \\
\textbf{Решение:} нет, не всегда. Рассмотрим случайные величины $\xi$ и $\eta$:
$$\xi =
\begin{cases}
1, & p = \frac{1}{2} \\
-1, &  p = \frac{1}{2}
\end{cases}
$$
$$
\eta = -\xi =
\begin{cases}
1, & p = \frac{1}{2} \\
-1, &  p = \frac{1}{2}
\end{cases}
$$
Величины $\xi$ и $\eta$ не являются независимыми, т.к. $P(\eta = 1 | \xi = -1) = 1 \neq P(\eta = 1) = \frac{1}{2} $. Но их квадраты:
$$\xi^2 = 1, p = 1$$
$$\eta^2 = 1, p = 1$$
Являются независимыми, т.к. $\forall \: a, b$ выполняется равенство $P(\eta^2 = a, \xi^2 = b) = P(\eta^2 = a)P(\eta^2 = b)$
}

\task{2}{Случайная величина $\xi$ имеет равномерное распределение на отрезке $[-\pi,\pi]$. Найдите $M(\sin^k(\xi))$ и $M(\cos^k(\xi))$. Найдите асимптотику $M(\sin^k(\xi))$ и $M(\cos^k(\xi))$ при $k\to\infty.$ \\
\textbf{Решение}:
\begin{itemize}
\item
$$M(\sin^k(\xi)) = \int_{\mathbb{R}}sin^k(\xi)p(\xi)d\xi = \int_{-\pi}^{\pi}sin^k(\xi)\frac{1}{2\pi}d\xi$$
\end{itemize}
}

\task{2}{В экспедиции, рассчитанной на $n$ дней, ежедневно от запаса продуктов нужно отделять соответствующую часть: в первый день $\frac{1}{n}$-ю часть, во второй день - $\frac{1}{n-1}$-ю часть от остатка и т.д. В действительности нужная часть продуктов отделяется с ошибкой. Пусть $\eta_k$ --- число продуктов, которые отделяется в $k$-й день. Предполагается, что величины $\eta_k,$ независимы и имеют математическое ожидание $M\eta_k=\frac{1}{n-k+1},$ $k=1,2,\ldots,n-1$. Найдите математическое ожидание случайной величины $\zeta$, равной части продуктов, оставшихся в последний день:
\[\zeta=(1-\eta_1)(1-\eta_2)\ldots (1-\eta_{n-1}).\]

\textbf{Внимание!} Допустим ответ, не содержащий знак суммирования по параметру. За более сложный ответ полный балл ставиться не будет.}

\task{2}{По схеме с возвращением из множества $R=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ независимо друг от друга выбирается два числа $(x_1,x_2)$. У нас есть четыре события:
\[A_1=\{(x_1,x_2)\in R\times R:x_1\text{-чётно}\};\]
\[A_2=\{(x_1,x_2)\in R\times R:x_2\text{-чётно}\};\]
\[A_3=\{(x_1,x_2)\in R\times R:(x_1+x_2)\text{-чётно}\};\]
\[A_4=\{(x_1,x_2)\in R\times R:x_1\text{-делитель }x_2 \}.\]
Нарисуйте все различные орграфы зависимостей для событий $A_1, A_2, A_3$ и $A_4.$}


\task{3}{Дано семейство различных $k$-элементных подмножеств $\mathcal{S}=\{A_1,\,\ldots,\,A_m\}$ множества $\{v_1,\,\ldots,\,v_n\}$. Назовём элементы $v_i$ и $v_j$ \emph{соседями}, если они вместе входят хотя бы в одно из множеств $A_i,$ $i=1,2,\ldots,m$. Пусть у каждого из элементов $v_j,$ $j=1,2,\ldots,n$ существует не более чем $2k$ (здесь $k\geqslant 5$ - некоторое натуральное число) соседей (включая сам $v_j$). Докажите, что элементы $v_1,\,\ldots,\,v_n$ при всех достаточно больших $k$ можно раскрасить пятью красками, так, чтобы никакое подмножество из $\mathcal{S}$ не было одноцветным.

\textbf{Внимание!} Решение этой задачи должно быть правильно оформлено, если Вы хотите получить полный балл! Это означает, что при использовании локальной леммы Ловаса обязательно должно быть чётко и однозначно определено вероятностное пространство (в условии задачи никакого вероятностного пространства нет!), а также чётко и однозначно определены события. Если же Ваше решение вероятностное, то чёткое и однозначное задание вероятностного пространства также обязательно!}

\task{2}{Случайный граф на $n$ вершинах строится следующим образом: перебираются все возможные пары из этих $n$ вершин, и каждая пара вершин соединяется ребром независимо от других с вероятностью $p$ и не соединяется с вероятностью $q=1-p$. Найдите математическое ожидание числа $\xi$ компонент связности в полученном графе, являющихся деревьями на $k$ вершинах.

\textbf{Внимание!} Допустим ответ, не содержащий знак суммирования по параметру. За более сложный ответ полный балл ставиться не будет.}

\task{2}{Помеченный случайный граф на $n$ вершинах строится следующим образом: перебираются все возможные пары из этих $n$ вершин, и каждая пара вершин соединяется ребром независимо от других с вероятностью $\frac{1}{2}$ и не соединяется с вероятностью $\frac{1}{2}$. Расстоянием между вершинами $u$ и $v$ называется наименьшая длина пути (длина пути - это число рёбер, которое в нём содержится), который соединяет эти вершины. Докажите, что вероятность того, что в этом случайном графе найдётся пара вершин, не соединённых ребром, расстояние между которыми равно $2$, стремиться к единице при $n\to +\infty$.}



\task{3}{Случайный граф на $n$ вершинах строится следующим образом: перебираются все возможные пары из этих $n$ вершин, и каждая пара вершин соединяется ребром независимо от других с вероятностью $p=\frac{1}{2n}$ и не соединяется с вероятностью $q=1-p=1-\frac{1}{2n}$. Мы говорим, что этот граф асимптотически почти наверняка обладает некоторым свойством, если вероятность того, что для заданного $n$ граф обладает указанным свойством, стремится к $1$ при $n\to+\infty$. Чему равно асимптотически почти наверняка хроматическое число построенного случайного графа?

\textbf{Внимание!} Перечитайте снова правила оформления работ на ШАД-вики. Обратите особое внимание на правила $4$ (о запрете использования результатов, не упоминавшихся на лекциях и семинарах, без доказательства)! Вы потеряете минимум $2$ балла за игнорирование этого требования!}

\task{2}{Пусть $x_1,\ldots,x_n$ --- выборка распределения $\xi \sim N(\theta,2\theta) $. Будет ли состоятельной
\[\hat{\theta}_n = \sqrt{1+\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2} - 1\]
как оценка для параметра $ \theta $. Обосновать ответ.}

\task{3}{Пусть выборка $ x_1, \dots, x_n $ порождена независимыми случайными величинами $ \xi_1, \dots, \xi_n $, имеющими пуассоновское распределение с неизвестным параметром вероятности успеха $ \theta $. Приведите пример функции $\tau(\theta),$ для которой не существует несмещенных оценок .}

\task{3}{Дана выборка $ x_1, \dots, x_n $. Убедитесь в том, что интервал $ (x_{(n)}, c(\alpha,n) x_{(n)}) $ является доверительным с доверительной
вероятностью $ \alpha $ для параметра $ \theta $ в модели $ R(0,\theta) $ для некоторого $c(\alpha,n)>0$. Найдите это $ c(\alpha,n) $.}

\end{document}