Гёльдер и Юнга

\documentclass{article}
\usepackage{cmap}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[14pt]{extsizes}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{euscript}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools}
\usepackage{esvect}

\title{НИС}
\author{kirakuznetsova}
\date{April 2019}

\begin{document}


\section{Неравенство Юнга}
\textbf{Формулировка.} Пусть $a,b\geq0$ и $p,q>1$ - сопряженные показатели, то есть $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Тогда:
$$ab\leq\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$$
\textbf{Доказательство.} При $a=0$ или $b=0$ неравенство очевидно.\\
Рассмотрим функцию $f(x)=lnx$. Вторая производная $f^{\prime\prime}(x)=-\frac{1}{x^2}$ отрицательна на промежутке $(0;+\infty)$, а значит эта функция выпукла вверх. Запишем неравенство Йенсена для нее:
$$ln(\alpha x_1+\beta x_2)\geq\alpha lnx_1+\beta lnx_2$$
Положим $x_1=a$, $x_2=b$, $\alpha =p^{-1}$, $\beta =q^{-1}$. Учитывая это, наше неравество можно представить в виде:
$$ln\left(\frac{x_1}{p}+\frac{x_2}{q}\right)\geq\frac{lnx_1}{p}+\frac{lnx_2}{q}=ln(x_1^{\frac{1}{p}}x_2^{\frac{1}{q}})$$
$$\frac{x_1}{p}+\frac{x_2}{q}\geq=x_1^{\frac{1}{p}}x_2^{\frac{1}{q}}$$
Сделаем замену $x_1^{\frac{1}{p}}=a$, $x_2^{\frac{1}{q}}=b$. Тогда:
$$\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\geq ab$$
Неравество доказано.$\blacksquare$
\section{Неравенство Гёльдера}
\textbf{Формулировка.} Пусть $p,q$ - положительные числа, такие что $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Тогда:
$$\sum_{i=1}^n a_i b_i\leq\left(\sum_{i=1}^n a_i^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{i=1}^n b_i^q\right)^{\frac{1}{q}}(a_i,b_i>0)$$
\textbf{Доказательство.}
Рассмотрим функцию $f(x)=x^p$. Вторая производная $f^{\prime\prime}(x)=p(p-1)x^{p-2}$ положительна при $p>1$(это необходимо для выполнения условия $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$) и $a_i,b_i\in(0;+\infty)$. Следовательно, эта функция выпукла вниз. Запишем неравенство Йенсена для нее:
$$\left(\sum_{i=1}^n\alpha_ix_i\right)^p\leq\sum_{i=1}^n\alpha_ix_i^p$$
Примем $\alpha_i=\frac{m_i}{\sum_{j=1}^nm_j}$
$$\left(\sum_{i=1}^n\frac{m_ix_i}{\sum_{j=1}^nm_j}\right)^p\leq\sum_{i=1}^n\frac{m_ix_i^p}{\sum_{j=1}^nm_j}$$
$$\left(\frac{\sum_{i=1}^nm_ix_i}{\sum_{i=1}^nm_i}\right)^p\leq\frac{\sum_{i=1}^nm_ix_i^p}{\sum_{i=1}^nm_i}$$
$$\left(\sum_{i=1}^nm_ix_i\right)^p\leq\left(\sum_{i=1}^nm_i\right)^{p-1}\sum_{i=1}^nm_ix_i^p$$
$$\sum_{i=1}^nm_ix_i\leq\left(\sum_{i=1}^nm_i\right)^{\frac{p-1}{p}}\left(\sum_{i=1}^nm_ix_i^p\right)^{\frac{1}{p}}$$
По условию $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, а значит $\frac{1}{q}=\frac{p-1}{p}$:
$$\sum_{i=1}^nm_ix_i\leq\left(\sum_{i=1}^nm_i\right)^{\frac{1}{q}}\left(\sum_{i=1}^nm_ix_i^p\right)^{\frac{1}{p}}$$
Теперь положим $m_i=b_i^q$ и $x_i=a_ib_i^{1-q}$ и получим:
$$\sum_{i=1}^n a_i b_i\leq\left(\sum_{i=1}^n a_i^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{i=1}^n b_i^q\right)^{\frac{1}{q}}$$
Неравество доказано.$\blacksquare$
\end{document}