EDC 22/03/2012

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  NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
    - y´t    = dy/dt
    - y´´t   = d²y/dt²
    - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
    - y´n´t  = d^ny/d t^n
    - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
    - int f(x) = integral de f(x)
    - i,j,k são os 3 vetores unitários no sentido x,y e z.
    - v> indica que v é um vetor (é como a setinha encima do v).

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  Nas ultima aula falamos sobre como encontrar duas soluções linearmente independe para uma EDO linear homogena de 2° ordem com coeficientes constantes certo?

  Uau que nome comprido!

  Bem, nós percebemos que a EDO em questão é da forma:

    a y'' + b y' + c y = 0

  Onde a b e c são constantes

  Percebemos que chutando uma solução na forma e^(rt) e substituindo conseguimos um resultado interessante.

    e^(rt) ( a r² + b r + c ) = 0

  Nesse caso se a equação de segundo grau a direita for 0, a equação é verdadeira.
  Nos resta então descobrir as raizes dessa equação.

  Para uma equação de 2° grau temos duas soluções r1 e r2, e cada uma gera uma solução para a EDO, ou seja: y1 = e^(r1 t) e y2 = e^(r2 t)

  Bem vimos como resolver se esses resultados forem reais (delta > 0) e se eles forem imaginários (delta < 0)

  Como fazer quando o delta = 0? Nesse caso apesar de termos duas soluções elas são iguais, então é o mesmo que ter uma unica solução

  A aula de hoje vai começar com essa discussão.

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  Ou seja se o metodo anterior só rendeu uma solução, como obter uma segunda solução?
  Afinal de contas é preciso duas soluções linearmente independentes para se poder usar a formula de sol. geral:

    y3 = c1 y1 + c2 y2

  Para resolver isso então precisamos de uma coisa! o que? outra solução além de y1. Precisamos de um y2 linearmente independente de y1.

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  Soluções propostas:

  Vamos tentar uma solução parecida com y1, vamos tentar 10*y1 será que isso serve?
  bem não, isso seria linearmente Dependente, então não ia dar (se quiser pode testar através do Wronskiano, ele será igual à 0)

  Segunda tentativa, vamos tentar y2 = v(t) * y1, onde v(t) é uma função de t e ver se isso vai dar certo?

  Antes de testarmos se v(t) y1 é linearmente independente de y1,
  temos de encontrar uma função v(t) para a qual y2 = v(t) y1 seja solução da EDO original.
  Então vamos substituir y2, y2' e y2'' na equação original.

    y2  = v(t) e^(r1 t)
    y2' = v'(t) e^(r1 t) + v(t) e^(r1 t) r1
    y2''= v''(t) e^(r1 t) + 2 v'(t) e ^(r1 t) r1 + v(t) e^(r1 t) r1²

  simplificando as equações acima:
  // Lembrando que y1 = e^(r1 t)

    y2  = y1 (v)
    y2' = y1 (v' + v r1)
    y2''= y1 (v''+ 2 v' r1 + v r1²)

  Assim ficou mais legível =].
  Substituindo isso na EDO original

    a y'' + b y' + c y = 0

  Isso acima vai virar:

    a (v''+ 2 v' r1 + v r1²) y1 + b (v' + v r1) y1 + c (v) y1 = 0
    // uau, que coisa grande =/

  Dividindo tudo por y1 para simplificar um pouco:

    a (v''+ 2 v' r1 + v r1²) + b (v' + v r1) + c v = 0

  Agora vamos colocar tudo em função de v, v' e v'':

    v'' a + v' ( 2 r1 a + b ) + v ( a r1² + b r1 + c ) = 0

  Agora vamos voltar um pouco no que eu falei aqui e relembrar de onde veio o r1
  r1 é a raiz de uma equação de segundo grau certo?
  Voces se lembram qual equação?

  Pois é. É exatamente a mesma equação de 2° grau que temos na EDO acima

  ou seja:

    ( a r1² + b r1 + c ) = 0 !

  Puta coincidencia né? Mas foi tudo planejado secretamente pelo nosso professor *.* hehe,
  (mentira minha, isso faz parte do método e é esperado que aconteça)

  Então vamos re-escrever a equação, de um jeito mais sucinto:

    a v''+ ( 2 r1 a + b ) v' = 0  -> Vamos chamar essa equação de "EQUAÇÃO ROSA!"

    Motivo: O professor fez um quadrado com o giz rosa ao redor dela =D, vamos falar dela mais tarde

  Agora percebam que (2 r1 a + b) também é igual a 0.
  O motivo é que r1 é uma raiz dupla do teorema de Bhaskara, ou seja:

    r1 = -b/(2a)

  Substituindo esse valor em (2 r1 a + b) dá 0 veja;

    = 2 * -b/(2a) * a + b
    =     -b/( a) * a + b
    =     -b          + b
    =            0

  Assim podemos sumir com o segundo fator também:

    a v'' =  0

  A letra "a" é diferente de 0, senão a EDO original seria de 1° Ordem e não de segunda.
  Mas se essa equação dá 0, significa que v'' é 0.

  Agora se:

    v'' = 0

  então:

    v' = constante

  E portanto v, sendo a integral de uma constante é da forma:

    v = C1 t + C2! :D

  Ou seja conseguimos infinitas soluções para v que satisfazem a EDO.

  Vamos nos ater a mais simples delas (que é tudo que nós precisamos) C1 = 1, e C2 = 0.

  Assim temos que v = t e que y2 = t * y1

  Podemos fazer o teste do determinante de Wroskiano para provar que essa solução é linearmente independente de y1.
  Mas o professor garantiu que é, então não faremos isso.

  E por fim temos a segunda solução que precisavamos, e uma que é linearmente indepentente.
  Podemos então obter a solução Geral atravez da fórmula:

    y3 = c1 y1 + c2 y2 =]

  Fim da solução para
  "EDOs Lineares de 2° Ordem Homogeneas com Coeficientes Constantes!" uahh isso que é um nome de respeito! xP
  // PS: Notem que voces podem começar chutando v(t) = t logo de inicio, isso deve funcionar.
  // Eu acho que existem casos que isso não funciona, não lembro o porque.
  // se isso acontecer chutem v(t) = t² que deve dar certo.
  // Essa explicação toda é para entendermos como funciona pois vamos discutir mais sobre a equação ROSA abaixo =].

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  Lembrando:
    - Linear significa que y e y' e etc tem potencia 1 e não multiplicam-se uns pelos outros.
    - 2° Ordem significa que ha um elemento derivado duas vezes, do tipo y''
    - Homogenea significa que no formato: "y'' + p(t) y' + q(t) y = g(t)", g(t) = 0
    - Coeficientes constantes significa que p e q são constantes, então é um caso bem especifico.

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  // O que vou falar abaixo é sobre um método que funciona para equações do tipo acima,
  // mesmo quando os coefs não são constantes.
  // Esse método que vou falar chama-se "Metodo de Redução de Ordem", Lá vai:

  Bem essa solução que falamos acima funciona bem no pior caso em EDOs Lineares homogeneas de 2° Ordem de coeficientes constantes

  Agora vamos pegar um ponto dela

  Lembram da fórmula ROSA (aquela que o professor fez um quadrado ROSA ao redor dela, que eu comentei acima)?
  Ela era o seguinte:

    a v''+ ( 2 r1 a + b ) v' = 0

  Percebam que se eu criar uma variável V(maiusculo) = v' e substituir vou ter:

    a V'+ ( 2 r1 a + b ) V = 0

  Eu tenho agora uma EDO de 1° ordem =], e ainda por cima separável =].

  Isso é legal. Não falamos sobre essa solução antes porque ela é mais complicada, já que envolve uma integral.

  Então porque voltei a falar dela?

  A verdade é que ela funciona também para EDOs Lineares de 2° ordem homogeneas etc.. que NÃO tem coeficientes constantes !

  Uaauu!

  Isso significa que a e b poderiam ser funções de t que ainda assim
  eu poderia fazer essa substituição e encontrar o valor de V e V'
  através do método de Separação de variáveis ou de Fator Integrante

  Como chegar nela? Vou resumir:

  Partindo de uma EDO na forma:

    y'' + p(t) y' + q(t) y = 0

  E já conhecendo previamente uma solução especifica (isso é importante, só da pra usar esse método se voce já conhecer o valor de um y1(t))

  Podemos fazer aquela mesma idéia para encontrar y2:

    y2 = v(t) * y1

  Fazendo um tanto de algebra vamos chegar na equaçào ROSA versão não constante =].

    v'' y1 + v' ( 2 y1' + p y1) = 0

  Por fim substituindo V = v' temos uma EDO de 1° ordem fácil de resolver encima da variável V.

    V' y1 + V (2 y1' + p y1) = 0

  Chan chan! descobrindo V e V', ou seja v'' e v' podemos integrar v' e conseguir v =].

  Sabendo v, sabemos também y2 = v(t) y1, e conseguimos a segunda solução.

  Com a segunda solução conseguimos testar o Wronskiano, e então:
  // O Wronkiano nesse caso também é sempre != de 0, mas não custa nada fazer o teste né.

    y3 = c1 y1 + c2 y2 =]!

  E conseguimos uma solução geral para uma EDO Linear homogenea de 2° Ordem com coeficientes Não Constantes!

  =] =]. O professor passou um exercicio pra mostra isso em detalhes =].

  Porém eu tava ocupado escrevendo isso aqui e não consegui copiar o exercicio xP, bem vou copiar ao menos o enunciado se quiserem fazer em casa.

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  Exercicio:

    2 t² y'' + 3 t y' - y = 0

    t>0

    y1 = 1/t é solução!, qual a outra solução y2? descubra voce mesmo. =]

    Depois de descobrir y2 descubra a Sol. geral =].

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  Exercicios para casa:

    Cap 3 -
     pg46 - 1, 2, 7, 8, 12, 13, 16, 20 (exceto a letra c), 22 (exceto letra c também).
     pg110 - 2, 9, 17, 20, 21, 27.
     pg119 - 5, 7, 10, 13, 14, 24, 26, 28.
     pg125 - 1 3 5 6, 7, 11, 12, 17, 18, 19, 27.
     pg132 - 5, 12, 14, 16, 19, 23, 25, 27, 38.

  // Fim da aula.