информатика 4 лаба(1 семестр)

\documentclass[12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{misccorr}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{hyperref}

\definecolor{urlcolor}{HTML}{799B03} % цвет гиперссылок

\hypersetup{pdfstartview=FitH, linkcolor=linkcolor,urlcolor=urlcolor, colorlinks=true}

\graphicspath{{pictures/}}
\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.jpg}


\begin{document}
  \begin{titlepage}
    \begin{center}
      \LARGE
       Национальный исследовательский университет "Mосковский институт электронной техники"
      \vspace{6 cm}
      \Huge
      \textbf{Статья на тему:\\ "Фильтр Баттерворта"}
   \end{center}
   \vspace{6 cm}


    \begin{minipage}{0.9\textwidth}
     \begin{flushright}
       \Large
       Подготовил: \\Ильинский Данила \\Группа: ИВТ-13
      \end{flushright}
    \end{minipage}
\vspace{3.5 cm}


   \begin{center}
       \Large
       Декабрь 2021
  \end{center}
\end{titlepage}

\begin{center}
  \Huge
   \textbf{Фильтр Баттерворта }
\end{center}
 \Large
 \textbf{Фильтр Баттерворта} представляет собой тип обработки сигнала фильтра разработан , чтобы иметь частотную характеристику как можно более плоскими в полосе пропускания . Его также называют \textbf{максимально плоским фильтром амплитуды} . Впервые он был описан в 1930 году британским инженером и физиком Стивеном Баттервортом в его статье под названием «К теории фильтров-усилителей»\cite{Batterwort}.
\section{\LARGEИсходная статья}\Large
 Баттерворт имел репутацию решателя «невозможных» математических задач. В то время проектирование фильтров требовало значительного опыта проектировщика из-за ограничений теории, которая тогда использовалась . Фильтр не использовался более 30 лет после публикации. Баттерворт заявил, что:
\begin{center}
  \textit{«Идеальный электрический фильтр должен не только полностью подавлять нежелательные частоты, но также должен иметь одинаковую чувствительность для требуемых частот».}
\end{center}
  Такой идеальный фильтр не может быть достигнут, но Баттерворт показал, что последовательно более близкие приближения были получены с увеличением количества фильтрующих элементов с правильными значениями. В то время фильтры генерировали значительную пульсацию в полосе пропускания, и выбор значений компонентов был очень интерактивным. Баттерворт показал, что можно разработать фильтр нижних частот , частота среза которого нормирована на 1 радиан в секунду, а частотная характеристика ( усиление ) равна:\\

\begin{center}
    \(C(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1+\omega^{2n}}}\)
\end{center}

где $\omega$ - угловая частота в радианах в секунду, а n - количество полюсов в фильтре, равное количеству реактивных элементов в пассивном фильтре. Если $\omega$ = 1, амплитудная характеристика этого типа фильтра в полосе пропускания составляет $\frac{1}{\sqrt{2}}$  = 0,707, что составляет половину мощности или −3 дБ . В своей статье Баттерворт имел дело только с фильтрами с четным числом полюсов. Возможно, он не знал, что такие фильтры могут быть сконструированы с нечетным числом полюсов. Он построил свои фильтры высшего порядка из двухполюсных фильтров, разделенных ламповыми усилителями. Его график частотной характеристики 2, 4, 6, 8 и 10 полюсных фильтров показан как A, B, C, D и E на его исходном графике.\setlength{\parskip}{0.5cm}

Баттерворт решил уравнения для двух- и четырехполюсных фильтров, показав, как последние могут быть каскадированы при разделении ламповыми усилителями, что позволило создавать фильтры более высокого порядка, несмотря на потери в индукторе . В 1930 году материалы сердечника с низкими потерями, такие как молипермаллой, не были обнаружены, а звуковые индукторы с воздушным сердечником имели довольно большие потери. Баттерворт обнаружил, что можно регулировать значения компонентов фильтра, чтобы компенсировать сопротивление обмоток катушек индуктивности.

Он использовал формы катушек диаметром 1,25 дюйма и длиной 3 дюйма со вставными клеммами. Соответствующие конденсаторы и резисторы находились внутри намотанной катушки. Катушка является частью пластинчатого нагрузочного резистора. На каждую вакуумную трубку использовалось два полюса, и RC-соединение использовалось с сеткой следующей трубки.

Баттерворт также показал, что базовый фильтр нижних частот можно модифицировать, чтобы обеспечить функциональность нижних , верхних частот , полосовой пропускания и полосовой пропускания .

\section{\LARGEОбзор}
Частотная характеристика фильтра Баттерворта максимально плоская (т. Е. Не имеет пульсаций ) в полосе пропускания и скатывается к нулю в полосе задерживания\cite{Byanki}. Если смотреть на логарифмический график Боде , отклик линейно наклоняется в сторону отрицательной бесконечности. Спад характеристики фильтра первого порядка составляет -6 дБ на октаву (-20 дБ на декаду ) (все фильтры нижних частот первого порядка имеют одинаковую нормированную частотную характеристику). Фильтр второго порядка уменьшается на -12 дБ на октаву, третьего порядка - на -18 дБ и так далее. Фильтры Баттерворта имеют монотонно изменяющуюся функцию величины с ω, в отличие от других типов фильтров, которые имеют немонотонную пульсацию в полосе пропускания и / или полосе задерживания.

По сравнению с фильтром Чебышева типа I / типа II или эллиптическим фильтром , фильтр Баттерворта имеет более медленный спад и, следовательно, потребует более высокого порядка для реализации конкретной спецификации полосы задерживания , но фильтры Баттерворта имеют более линейную фазовую характеристику в полосы пропускания, чем могут достичь Чебышева Тип I / Тип II и эллиптические фильтры.

\begin{figure}[htbp]
  \centering

   \includegraphics[scale=0.35]{pic1}
\caption{Боде из первого порядка фильтра Баттерворта нижних частот}\label{fig:pic1}
\end{figure}

\section{\LARGEПример}
\Large Передаточная функция конструкции фильтра Баттерворта нижних частот третьего порядка, показанная на рисунке справа, выглядит следующим образом:\\
\begin{center}
   \LARGE $\frac{V_0(s)}{V_i(s)}=\frac{R_4}{s^3(L_1C_2L_3)+s^2(L_1C_2R_4)+s(L_1+L_3)+R_4}$
\end{center}

\Large Простым примером фильтра Баттерворта является конструкция нижних частот третьего порядка, показанная на рисунке справа, с C 2  = 4/3 F, R 4  = 1 Ом, L 1  = 3/2 H и L 3.  = 1/2 H\cite{Mattei1}. Принимая импеданс конденсаторов C равным 1/(Cs), а импеданс индукторов L равным Ls , где s = σ + j ω - комплексная частота, уравнения цепи дают Передаточная функция для этого устройства:\\
\begin{center}
   \LARGE $H(s)=\frac{V_0(s)}{V_i(s)}=\frac{1}{1+2s+2s^2+s^3}$
\end{center}

\begin{figure}[htbp]
  \center
  \includegraphics[scale=0.15]{pic2}
\caption{Фильтр нижних частот третьего порядка ( топология Кауэра )}\label{fig:pic2}
\end{figure}

\section{\LARGEПередаточная функция}
Как и все фильтры, типичным прототипом является фильтр нижних частот, который может быть преобразован в фильтр верхних частот или размещен последовательно с другими фильтрами для формирования полосовых и полосовых фильтров, а также их версий более высокого порядка\cite{Mattei2}.

Прибыль $G(\omega)$ из n-ого обобщенного Баттерворт фильтр низких частот задаются в терминах передаточной функции H (ы) как

\begin{center}
   \LARGE $G^2(\omega)=|H(i\omega|^2=\frac{G_0^2}{1+(\frac{i\omega}{i\omega_c})^{2n}}$
\end{center}
\section{\LARGEПередаточная функция}
Цифровые реализации фильтров Баттерворта и других часто основаны на методе билинейного преобразования или методе согласованного Z-преобразования , двух разных методах дискретизации аналогового фильтра. В случае многополюсных фильтров, таких как фильтр Баттерворта, метод согласованного Z-преобразования эквивалентен методу импульсной инвариантности . Для более высоких порядков цифровые фильтры чувствительны к ошибкам квантования, поэтому они часто вычисляются как каскадные биквадратные секции плюс одна секция первого или третьего порядка для нечетных порядков.

\newpage

%Создание библиографии
\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{Batterwort} В книге «Инженер по беспроводной связи»(также называемая «Экспериментальная беспроводная связь» и «Инженер по беспроводной связи») \newblock --- vol. 7, 1930, стр. 536–541 -"К теории фильтров-усилителей", С. Баттерворт
\bibitem{Byanki} Джованни Бьянки и Роберто Соррентино (2007). Моделирование и проектирование электронных фильтров \newblock --- McGraw-Hill Professional. С. 17–20. ISBN 978-0-07-149467-0
\bibitem{Mattei1}Маттеи, \newblock --- стр. 105974
\bibitem{Mattei2}Маттеи, \newblock --- стр. 104-107
\end{thebibliography}

\end{document}