SHARE
TWEET

Untitled

AdrianMadajewski Jan 19th, 2020 242 Never
Not a member of Pastebin yet? Sign Up, it unlocks many cool features!
  1. \documentclass[12pt]{article}
  2. \usepackage{amsmath} %koniecznie
  3. \usepackage{amssymb,amsfonts,amsthm}%dodatkowo
  4. \usepackage[polish]{babel}
  5. \usepackage[utf8]{inputenc}
  6. \usepackage[T1]{fontenc}
  7. \date{}
  8. \author{}
  9. \title{Tytuł: Matematyka}
  10.  
  11. \begin{document}
  12. \maketitle 
  13.  
  14.     \section*{Ściaga}
  15.         int,lim,frac,sum,lnot,land,implies,Right arrow,infty,iff,nearrow
  16.     \section{Trygonometria (array)}
  17.         \[
  18.         \begin{array}{|c|c|c|c|c|c||c|c|c|c|}
  19.         \hline
  20.         x & 0 & \frac{\pi}{6} &\frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & (0;\frac{\pi}{2}) & (\frac{\pi}{2};{\pi}) & (\pi;\frac{3\pi}{2}) & (\frac{3\pi}{2};2\pi) \\
  21.         \hline
  22.         \sin{x} & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & + & + & - & - \\
  23.         \hline
  24.         \end{array}
  25.         \]
  26.  
  27.     \section{Szeregi (description)}
  28.     \begin{description}
  29.         \item[Szereg nieskończony:] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} = (a_{n}, S_{n})$
  30.         \item[Szereg jest zbieżny:] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} < \infty$
  31.         \item[Szereg jest rozbieżny do nieskończoności:] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} = \infty$
  32.     \end{description}
  33.     Warunek konieczny zbieżności: $\sum\nolimits_{n=1}^{\infty}a_{n} < \infty \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}a_{n} = 0$ \\
  34.     (wniosek: $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_{n} \neq 0 \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} = \infty) $ \\
  35.     $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} < \infty $ jest bezwględnie zbieżny, jeżeli $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_{n}| < \infty $, w przeciwnym wypadku jest warunkowo zbieżny
  36.    
  37.     \newpage
  38.    
  39.     \subsection{Szeregi o wyrazach dodatnich (equation,tag)}
  40.     \subsubsection{Funkcja Riemanna: (cases, text)}
  41.     \[
  42.         \zeta(s) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \begin{cases}
  43.         \infty &\text{dla } s \leq 1 \\
  44.         -\infty &\text{dla } s > 1 \tag{0}
  45.         \end{cases}
  46.     \]
  47.     \subsection{Szeregi o wyrazach dowolnych (align)}
  48.     \subsubsection{Kryterium Abela:}
  49.     \begin{equation}
  50.         \Bigg( \lnot [(a_{n})\nearrow] \land \forall n \in N : (a_{n}0) \land \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n} < \infty \Bigg) \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{n}b_{n}) < \infty
  51.     \end{equation}
  52.     \subsubsection{Kryterium Dirichleta:}
  53.     \[
  54.         \left(\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n} = 0 \land \lnot [(a_{n})\nearrow] \land \exists\epsilon>0 : \forall n \in N : \epsilon - |S_{n}| > 0\right) \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{n}b_{n})
  55.         \tag{2}
  56.     \]
  57.     \subsection{Kryterium Leibniza:}
  58.     \[
  59.         \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 0 \Longleftrightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} ((-1)^{n} \; a_{n}) < \infty \tag{3}
  60.     \]
  61.     \section{Całki (gather,int)}
  62.     \begin{gather}
  63.         \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)| + C \tag{4} \\
  64.         \int xdx = \frac{1}{2}x^{2} + C \tag{5} \\
  65.         \int \cos{x}dx = \sin{x} + C \tag{6}
  66.     \end{gather}
  67.    
  68.     \newpage
  69.     \section{Kombinatoryka (align*, \{a $\backslash$choose b)\}}
  70.     \begin{gather*}
  71.         {n\choose k} = \frac{n!}{(n-k)!k!} \\
  72.         {n\choose n - k} = {n\choose k}
  73.     \end{gather*}
  74.    
  75.    
  76.     \tableofcontents
  77.    
  78. \end{document}
RAW Paste Data
We use cookies for various purposes including analytics. By continuing to use Pastebin, you agree to our use of cookies as described in the Cookies Policy. OK, I Understand
Top