Advertisement
Not a member of Pastebin yet?
Sign Up,
it unlocks many cool features!
- \documentclass[12pt]{article}
- \usepackage{amsmath} %koniecznie
- \usepackage{amssymb,amsfonts,amsthm}%dodatkowo
- \usepackage[polish]{babel}
- \usepackage[utf8]{inputenc}
- \usepackage[T1]{fontenc}
- \date{}
- \author{}
- \title{Tytuł: Matematyka}
- \begin{document}
- \maketitle
- \section*{Ściaga}
- int,lim,frac,sum,lnot,land,implies,Right arrow,infty,iff,nearrow
- \section{Trygonometria (array)}
- \[
- \begin{array}{|c|c|c|c|c|c||c|c|c|c|}
- \hline
- x & 0 & \frac{\pi}{6} &\frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & (0;\frac{\pi}{2}) & (\frac{\pi}{2};{\pi}) & (\pi;\frac{3\pi}{2}) & (\frac{3\pi}{2};2\pi) \\
- \hline
- \sin{x} & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & + & + & - & - \\
- \hline
- \end{array}
- \]
- \section{Szeregi (description)}
- \begin{description}
- \item[Szereg nieskończony:] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} = (a_{n}, S_{n})$
- \item[Szereg jest zbieżny:] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} < \infty$
- \item[Szereg jest rozbieżny do nieskończoności:] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} = \infty$
- \end{description}
- Warunek konieczny zbieżności: $\sum\nolimits_{n=1}^{\infty}a_{n} < \infty \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}a_{n} = 0$ \\
- (wniosek: $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_{n} \neq 0 \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} = \infty) $ \\
- $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} < \infty $ jest bezwględnie zbieżny, jeżeli $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_{n}| < \infty $, w przeciwnym wypadku jest warunkowo zbieżny
- \newpage
- \subsection{Szeregi o wyrazach dodatnich (equation,tag)}
- \subsubsection{Funkcja Riemanna: (cases, text)}
- \[
- \zeta(s) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \begin{cases}
- \infty &\text{dla } s \leq 1 \\
- -\infty &\text{dla } s > 1 \tag{0}
- \end{cases}
- \]
- \subsection{Szeregi o wyrazach dowolnych (align)}
- \subsubsection{Kryterium Abela:}
- \begin{equation}
- \Bigg( \lnot [(a_{n})\nearrow] \land \forall n \in N : (a_{n}0) \land \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n} < \infty \Bigg) \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{n}b_{n}) < \infty
- \end{equation}
- \subsubsection{Kryterium Dirichleta:}
- \[
- \left(\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n} = 0 \land \lnot [(a_{n})\nearrow] \land \exists\epsilon>0 : \forall n \in N : \epsilon - |S_{n}| > 0\right) \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{n}b_{n})
- \tag{2}
- \]
- \subsection{Kryterium Leibniza:}
- \[
- \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 0 \Longleftrightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} ((-1)^{n} \; a_{n}) < \infty \tag{3}
- \]
- \section{Całki (gather,int)}
- \begin{gather}
- \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)| + C \tag{4} \\
- \int xdx = \frac{1}{2}x^{2} + C \tag{5} \\
- \int \cos{x}dx = \sin{x} + C \tag{6}
- \end{gather}
- \newpage
- \section{Kombinatoryka (align*, \{a $\backslash$choose b)\}}
- \begin{gather*}
- {n\choose k} = \frac{n!}{(n-k)!k!} \\
- {n\choose n - k} = {n\choose k}
- \end{gather*}
- \tableofcontents
- \end{document}
Advertisement
Add Comment
Please, Sign In to add comment
Advertisement