\documentclass[12pt]{report}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{hyperref}


\textwidth=14cm \textheight=22cm \oddsidemargin=1.5cm
\topmargin=-0.7cm


\DeclareMathOperator{\Z}{\mathbb{Z}}
\DeclareMathOperator{\R}{\mathbb{R}}

\newtheorem{prz}{Przykład}

\begin{document}



    \noindent
    Anna Gzela, MMAD, grupa1, 266541
    \medskip



    \noindent
    Zad III.60 Wiedząc, że $tg\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$, oblicz wartość wyrażenia:

$$  \frac{3sin\alpha-2cos\alpha}{5cos\alpha-7sin\alpha}$$


    \emph{Rozwiązanie}


    Wyznaczamy dziedzinę podanego równania. Wiemy, że dla sin$\alpha$  oraz  cos$\alpha$ dziedziną jest  zbiór  liczb rzeczywistych.



    \bigskip



    \noindent

    Dzielimy ułamek przez cos$\alpha$,  przy założeniu, że cos$\alpha \neq 0$, więc $\alpha \neq$ 0+k$\pi$, k $\in\mathbb$ {Z}. Zawężamy dziedzinę do przedziału \mathbb$ {R} \ {k$\pi$, k $\in\mathbb$ {Z} }.

    $$\frac{\frac{3sin\alpha}{cos\alpha}-\frac{2cos\alpha}{cos\alpha}}{\frac{5cos\alpha}{cos\alpha}-\frac{7sin\alpha}{cos\alpha}}$$

    Poniewać tg$\alpha$=$\frac\{sin\alpha}$/${cos\alpha}$, oraz $\frac{cos\alpha}$/${cos\alpha}$=1, ponieważ cos$\alpha\neq$0, możemy zastosować przekształcenie:
    $$
    \frac{3tg\alpha -2}{5-7tg\alpha}.
    $$
    Korzystając z danych podanych w treści zadania podstawiamy za tg$\alpha$ wartość $\frac{\sqrt2}{2}$:
    $$
    \frac{\frac{3\sqrt2}{2}-2}{5-\frac{7\sqrt2}{2}}.
    $$
    Sprowadzamy wyrażenia w liczniku i mianowniku do wspólego mianownika:
    $$
    \frac{\frac{3\sqrt2-4}{2}{10-7\sqrt2}\frac{2}},
    $$
    które, poprzez zastosowanie zależności, że dzielenie to odwrotność mnożenia, przekształcamy do postaci:
    $$
    \frac{3\sqrt2-4}{2}*\frac{2}{10 -7\sqrt2}.
    $$
    Po uproszczeniu otrzymujemy odpowiedź:
    $$
    \frac{3\sqrt2 -4}{10-7\sqrt2}.
    $$





    \end{document}