#trovare il tempo di salita:
- tracciare la risposta al gradino
- tracciare una retta tangente alla risposta partendo da 0 e stando tangente ma da sopra, leggendo il tempo impiegato per questa retta per toccare la parte alta del grafico si legge la costante di tempo $\tau$
- in senso "umano" la costante $\tau$ serve per capire quanto tempo serve al sistema dato un ingresso per raggiungere una risposta approssimabile con il segnale inviato, solitamente questa approssimazione è valida in una zona di circa $3 \tau$
- la costante di tempo $\tau$ può essere calcolata algebricamente così: $\tau = \frac{1}{|Re{G(\lambda_i)}|}$ dove $\lambda$ è l'autovalore della risposta considerata
- un sistema ha una costante di tempo $\tau$ unicamente se è convergente
- $\tau \approx \frac{63}{100}y_{max}$
- $3\tau \approx \frac{95}{100}y_{max}$

#approssimazione a funzione di second'ordine
$$H(s) = K \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta \omega_ns+\omega_n^2}$$
ponendo come ingresso: $\frac{|\, \overline{u} \,|}{s}$
otteniamo come risposta in uscita:
$\overline{u}K \Bigg(1-\frac{1}{\sqrt{1- \zeta ^2}} e^{- \zeta \omega_n t} sin(\omega_n \sqrt{1-\zeta^2 t}) + arccos(\zeta)\Bigg) \,\,\,\,, \,\, t\geq0$

viene definita sovraelongazione massima il seguente valore:$ s_{max} = \frac{y_{max}-y_\infty}{y_\infty}$

la sovraelongazione massima dipende unicamente dal fattore di smorzamento $\zeta$ ed è proporzionale alla seguente espressione: $e^{\frac{- \pi \, \zeta}{\sqrt{1- \zeta^2}}} \rightarrow \zeta = \frac{\big|ln(s_{max})\big|}{sqrt(\pi ^ 2 - ln^2(s_{max}))}$

mentre il tempo di smorzamento del picco è proporzionale a: $$t_{max} = \frac{\pi}{\omega _n \sqrt{1- \zeta ^2}}$$

il tempo di salita ovvero il primo istante in cui la risposta raggiunge il valore $y_\infty$ è proporzionale a: $t_s = \frac{1}{\omega _n \sqrt{1-\zeta ^ 2}} \big(\pi - arccos(\zeta)\big)$
e il tempo di salita dal $10%$ al $90%$ è proporzionale circa a: $t_r = \frac{2.16 \zeta + 0.6}{\omega _n}$

#condizioni di equilibrio
un sistema si dice in equilibrio quando, dato come ingresso $u(t) = \overline{u}
 \,$ ovvero un ingresso costante lo stato costante $\,\overline{x}\,$ è detto stato di equilibrio e l'uscita costante $\,\overline{y}\,$ è detta uscita di equilibrio, mentre la coppia $\,(\overline{x},\overline{u})\,$ è detto punto di equilibrio.

 ##condizione di equilibrio di un sistema continuo
 $$\dot{x}(t) = 0$$
che nel caso di sistema con esistenza di rappresentazione in matrici di stato si trasforma nella condizione:
$$ Ax(t)+Bu(t) = 0 \rightarrow Ax(t) = -Bu(t) \\ \overline{y} = Cx(t) + Du(t)$$

##linearizzazione di un sistema
quando in un sistema si è trovato lo stato di equilibrio solitamente si intende linearizzare intorno a questo stato in modo da ottenere una funzione di più facile computazione e semplificare i metodi matematici di analisi del problema, viene introdotta l'operazione nel seguente modo; sappiamo che:
$$x(t_0 + \delta) = x(t_0) + \sum_{i=0}^{n} \frac{\delta}{\delta x_i} x(t_0)$$

##asintotica stabilità
basta controllare che tutti gli autovalori $\lambda$ abbiano parte reale negativa

#proprietà necessarie per il controllo automatico
le proprietà di interesse per creare un controllo automatico sono:
- osservabilità
- raggiungibilità
- controllabilità

uno stato $\,x^*\,$si dice raggiungibile da una coppia $(t_0,x^*)\,$se esiste un istante di tempo $\, t' \in (t_0,+\infty)\,\,$ e un ingresso $u(t)$ tale che a partire dalla coppia $(t_0,x^*)\,$ si arrivi a $\, x(t') = x^*$

l'insieme di tutti gli stati raggiungibili a partire dalla coppia $(t_0,x^*)\,$ si dice **insieme di raggiungibilità di $\, x^*(t)\,$** all'istante $t = t'$

si definisce il sottospazio di controllabilità l'insieme degli stati raggiungibili da un istante $t'$ in un sistema $x$ avente coppia $(t,x^*)$ il $Max(X_t)$ dove $X_t$ sono tutti gli spazi raggiungibili da un sistema ovvero data una funzione $u(t)$ in ingresso l'insieme delle terne raggiungibili.

avendo il sottospazio di raggiungibilità di dimensione finita e di grado $\rho$ , e il sottospazio di non raggiungibilità di dimensione $m = n-\rho$, al sottospazio di raggiungibilità sono assegnati $\rho$ autovalori $\lambda$ della matrice $A$ (nel caso il sistema permetta rappresentazione sotto forma matriciale) e al sottospazio di non raggiungilità sono assegnati $m$ autovalori $\lambda '$ della matrice $A$

un sistema è completamente raggiungibile e anche controllabile se e solo se la dimensione del sottospazio di non raggiungibilità è 0.

**questa approssimazione è utilizzabile efficacemente nell'intorno di $\,20\,db\,$ dalla frequenza di taglio del filtro dove $w_n$ è data e $\xi \in (0.3,0.7)$**