Классификация групп порядка 75

Классификация групп порядка 75

Поскольку любая абелева группа раскладывается в произведение циклических, все абелевы группы порядка 75 - это Z75 и Z5xZ5xZ3. Рассмотрим теперь неабелеву группу G порядка 75. По теореме Силова, число 5-подгрупп Силова сравнимо с 75 по модулю 1, откуда заключаем, что 5-подгруппа единственная. Обозначим её H. Пусть теперь K - 3-подгруппа Силова, изоморфная Z3. По теореме Лагранжа, пересечение H и K тривиально, поэтому G раскладывается в их произведение. Тогда G раскладывается в их полупрямое произведение над некоторым действием F: K -> Aut(H). Подгруппы порядка 25 - это с точностью до изоморфизма Z25 и Z5xZ5. Предположим, что H - циклическая группа порядка 25. Aut(H) не имеет элементов порядка 3, поскольку Aut(H) изоморфна Z20 (теорема Лагранжа). Тогда единственный гомоморфизм K -> Aut(H) тривиальный, откуда полупрямое произведение совпадает с прямым, что противоречит предположению о том, что группа некоммутативна. Значит, H не циклическая и изоморфна Z5xZ5. Aut(Z5xZ5) - это группа квадратных невырожденных матриц порядка 2 над Z/5Z. Заметим, что порядок этой группы равен (5^2 - 1)(5^2 - 5) = 24*20 = 3*5*(2^5). Все 3-подгруппы Силова имеют порядок 3 и сопряжены с K. Поскольку Z3 - простая группа, ker f = 1, то есть, f - инъективный гомоморфизм, образом которого является 3-подгруппа Силова группы Aut(H). Все 3-подгруппы Силова сопряжены, так что все полупрямые произведения KH изомофрны. Таким образом, неабелева группа порядка 75 единственна с точностью до изоморфизма K*f*H (здесь должен быть значок полупрямого произведения).

Источник: Dummit D.S., Foote R.M. Abstract algebra