<form method="GET" action="/popup-teste" id="ID_DO_FORMULARIO">
    <button type="submit>OK!</button>
    <input name="teste" id="input1">
</form>

<script language="JavaScript">
    $(document).ready(function() {
        $('#ID_DO_FORMULARIO').submit(function() { // pega o evento do form submit
            $.ajax({ // create an AJAX call...
                data: $(this).serialize(), // pega os dados do form
                type: $(this).attr('method'), // GET ou POST
                url: $(this).attr('action'), // pega a url no form action
                success: function(response) { // quando bem sucedido
                    $('#DIV_PARA_ATUALIZAR').html(response); // atualiza o DIV
                }
            });
            return false;
        });
    });
</script>