\documentclass[french,11pt]{report}
\usepackage{amsmath}%math
\usepackage{amsfonts}%
\usepackage[utf8]{inputenc}%accent
\usepackage[T1]{fontenc}%accent
\usepackage{lmodern}
\usepackage{url}
\usepackage{babel}
\usepackage{float}
%\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage[a4paper, total={6in, 8in}]{geometry}
\usepackage{graphicx}%include graph
\usepackage{color}
\usepackage{pdfpages}%numu
\usepackage{amssymb}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{array,multirow,makecell}
\setcellgapes{1pt}
\makegapedcells
\newcolumntype{R}[1]{>{\raggedleft\arraybackslash }b{#1}}
\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\arraybackslash }b{#1}}
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash }b{#1}}


\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.5mm}}
\newcommand{\blap}[1]{\vbox to 0pt{#1\vss}}
\newcommand\AtUpperLeftCorner[3]{%
  \put(\LenToUnit{#1},\LenToUnit{\dimexpr\paperheight-#2}){\blap{#3}}%
}
\newcommand\AtUpperRightCorner[3]{%
  \put(\LenToUnit{\dimexpr\paperwidth-#1},\LenToUnit{\dimexpr\paperheight-#2}){\blap{\llap{#3}}}%
}

\title{\textbf{Mini projet : ETUDE D'UN TREILLIS 3D }}
\author{ZEGHRAOUI Aymane  \\ MOUHMID Kaoutar \\ SHAIMI Mohamed \\  Master mécanique et ingénierie }
\date{}
\makeatletter



\begin{document}



\begin{titlepage}
   \enlargethispage{1cm}

    \AddToShipoutPicture{

        \AtUpperRightCorner{1.5cm}{1cm}{\includegraphics[width=     6.5cm]{2.png}}
    }





    \begin{center}
        \vspace*{8cm}

        \textsc{\@title}
        \HRule
        \vspace*{0.5cm}

        \large{\@author}
    \end{center}
    \begin{center}        \makebox[\textwidth]{\includegraphics[width=3.5in]{1.png}}
    \end{center}

    \vspace*{.2cm}

 Encadré par : M.TRI Jalil

\end{titlepage}



\ClearShipoutPicture

\tableofcontents
\listoffigures
\chapter{ Etude théorique  }
\section{Introduction  }
\subsection{Les treillis}
Un treillis est un ensemble de poutres droites (éléments) reliées entre elles par des rotules (nœuds).
Les liaisons extérieures sont des rotules et des appuis simples. Les charges sont des forces portées par
les rotules, des gradients thermiques et des déplacements d'appui. La force intérieure dans une
section droite se réduit à l'effort normal. \\
treillis est plan si : \\
– Le plan ( O, x, y )  est un plan de symétrie pour toutes les sections droites.\\
– Les forces appliquées sont situées dans le plan (O,x,y). \\
On suppose que les déplacements sont petits.
\subsection{La méthode des éléments fini}
\textbf{définitions }
La méthode des éléments finis consiste à chercher une solution approchée d'un problème en équation à dérivée partiel en respectant les conditions aux limites ( dirichlet Newmamn Robin ) \\

\textbf{exigence } \\
le problème doit satisfaire un certain nombre d'exigence :                                              \\
-existence de la solution\\
-unicité de la solution\\
-propriétés de convergence\\
-erreur relatif faible ou résidus qui tant vers 0  \\  \\
\textbf{étapes de calcul} \\
\begin{enumerate}
\item créer le maillages. \\
\item dénir  l 'inconnu du problème dans chaque élément en respectant la continuité . \\
\item construction de la fonction d'interpolation .  \\
\item approximation de la fonction test . \\
\item calculer les matrices et valeurs élémentaire .\\
\item assemblage des matrices et vecteur élémentaires . \\
\item introduction des conditions aux limites . \\
\item Résolutions . \\
\item post-traitement des résultats

\end{enumerate}
\section{Matrice élémentaire en 2D }
Soit (i $\rightarrow$ j) un élément de treillis plan de section droite constante
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3.5in]{3.png}
\caption{Élément barre }
\end{figure}
\end{center}
L est la longueur de l'élément et A l'aire de sa section droite.
($x_i, y_i) ~et~ (x_j , y_j )$ sont les coordonnées des nœuds de l'élément.\\
Le vecteur unitaire $\vec{n}$ porté par l'axe de la poutre est défini par : \\$$
 \left\{
    \begin{array}{ll}
       n_x \\
       n_y
    \end{array}
\right\}
=\frac{1}{L} \ \left\{
    \begin{array}{ll}
       x_j-x_i \\
       y_j-y_i
    \end{array}
\right\}= \left\{
    \begin{array}{ll}
       cos(\theta)\\
       sin(\theta)
    \end{array}
\right\}
$$
\\ Avec $L^2=(x_j-x_i)^2+(y_j-y_i)^2$ \\
où $\theta$ est l'angle que fait $\vec{n}$ avec l'axe x. \\
E ; le module de Young du matériau . \\
L'élément est soumis à un effort normal N (positif : traction, négatif : compression)
 \\
$(u_i
, v_i) ~et~ (u_j , v_j )$ sont les déplacements nodaux (figure 2)
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3.5in]{4.png}
\caption{Déplacements élémentaires }
\end{figure}
\end{center}
Les efforts aux extrémités de l'élément sont : \\
-N$\vec{n} $en i , N $ \vec{n}$ en j
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3.5in]{5.png}
\caption{Efforts élémentaires  }
\end{figure}
\end{center}
\newpage
En dérivant la relation : \\
$$L^2=(x_j-x_i)^2+(y_j-y_i)^2$$ \\
$$2LdL=2(x_j-x_i)(dx_j-dx_i)+2(y_j-y_i)(dy_j-dy_i)$$
D'où l'expression de l'allongement unitaire suivant $\vec{n}$ :
$$\epsilon_n=\frac{dL}{L}=\frac{1}{L}\left( \frac{(x_j-x_i)}{L}(dx_j-dx_i)+\frac{(y_j-y_i)}{L}(y_j-y_i)\right)$$
Soit :
$$ \epsilon_n = \frac{1}{L}(n_x(u_j-u_i)+ny(v_j-v_i)) $$
L'effort normal s'écrit en fonction des déplacements nodaux :
$$N=EA(\epsilon_n)=\frac{EA}{L}(n_x(u_j-u_i)+n_y(v_j-v_i))$$
Soit :
$$N=\frac{EA}{L} [-n_x~~-n_y~~n_x~~ n_y] \left\{
    \begin{array}{ll}
      u_i\\
       v_i\\
       u_j\\
       v_j
    \end{array}
\right\}
$$
On en déduit : \\
$$ \vec{f_{nod}}=[K]\vec{u}$$
avec : \\
$$ \vec{f_{nod}}=N\left\{
    \begin{array}{ll}
      -n_x\\
       -n_y\\
       n_x\\
       n_y
    \end{array}
\right\}~~~~~~,~~~~~\vec{u}=\left\{
    \begin{array}{ll}
      u_i\\
       v_i\\
       u_j\\
       v_j
    \end{array}
\right\}
$$
$$K=\frac{EA}{L}\begin{pmatrix}
                         n_x^2&n_xn_y&-n_x^2&-n_xn_y\\
                          &n_y^2&-n_xn_y&-n_y^2\\
                          &&n_x^2 & n_xn_y \\
                          sym.&&&n_y^2
\end{pmatrix}
$$
$\vec{f_{nod}} $est le vecteur force nodal (N). \\
$vec{u}$est le vecteur déplacement élémentaire (m).\\
\section{Matrice élémentaire 3D}
On va procéder de la même manière que pour la matrice 2D en donnant 6 degré de liberté au points i et j  \\\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3.5in]{6.png}
\caption{Elément barre en 3D}
\end{figure}
\end{center}
$$ \vec{f_{nod}}=N\left\{
    \begin{array}{ll}
      -n_x\\
       -n_y\\
       -n_z \\
       n_x\\
       n_y \\
       n_z
    \end{array}
\right\}~~~~~~,~~~~~\vec{u}=\left\{
    \begin{array}{ll}
      u_i\\
       v_i\\
       w_i\\
       u_j\\
       v_j\\
       w_j
    \end{array}
\right\}
$$
$$K=\frac{EA}{L}\begin{pmatrix}
                         n_x^2&n_xn_y&n_zn_x&-n_x^2&-n_yn_x&-n_zn_x\\
                          &n_y^2&n_zn_y&-n_xn_y&-n_y^2&-n_zn_y\\
                          &&n_z^2 & -n_xn_z&-n_yn_z&-n_z^2 \\
                         &&&n_x^2&n_xn_y&n_zn_x\\
                         &&&&n_y^2&n_zn_y\\
                         sym.&&&&&n_z^2
\end{pmatrix}
$$
Avec : \\
$$L^2=(x_j-x_i)^2+(y_j-y_i)^2+(Z_j-Z_i)^2 $$\\
et: \\
$$
 \left\{
    \begin{array}{ll}
       n_x \\
       n_y \\
       n_z
    \end{array}
\right\}
= \left\{
    \begin{array}{ll}
      \frac{x_j-x_i}{L}\\
       \frac{y_j-y_i}{L} \\
       \frac{z_j-z_i}{L}
    \end{array}
\right\}
$$
\chapter{Résolution sur MATLAB}
Notre programme traitera un treillis 3D qui se présente comme suit : \\

\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3.5in]{1.png}
\caption{Treillis 3D}
\end{figure}
\end{center}
Il se compose de 3 parties :
\section{caractéristique du maillage}
cette étape consiste en 2 étapes
\begin{enumerate}
\item Déclaration des positions de chaque nœuds
\item déclarer la table de connectivité
\end{enumerate}
 \begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=1.5in]{7.png}\includegraphics[width=1in]{8.png}\includegraphics[width=0.7in]{9.png}\includegraphics[width=0.3in]{10.png}
\caption{Treillis 3D}
\end{figure}
 \end{center}
\section{Introduction des propriétés et des conditions aux limites}
\begin{enumerate}
\item Commençons par définir les propriétés du matériaux la section A et le module de young .
\item Déclarons le nombre de nœud et le nombre de DDL pour chaque nœud  ainsi que le nombre d'élément .
\item Déclarons par la suite sur quel nœud s'applique la force et précisant sa direction
\item Déclarons les nœuds libres notant que la base est encastré
\item initialisation des matrices
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=4.5in]{11.png}\includegraphics[width=1in]{12.png}
\caption{Initialisation et conditions aux limites}
\end{figure}
\end{center}
\newpage
\section{Calcul de la matrice de rigidité pour chaque éléments  et assemblage}
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=4.5in]{13.png}
\caption{Calcul de la matrice de rigidité}
\end{figure}
\end{center}
le programme de calcul va faire le tour de chaque éléments. \\ pour chaque élément il va se référer à la table de connectivité pour  donner à n1 et à n2 une valeur . \\les $x_1~y_1~z_1$ $x_2~y_2~z_2$ s'agissent des coordonnées des nœuds .\\ la notation $C_x$ $C_y$ $C_z$ correspond aux cosinus des différents angles que crée le vecteur $\vec{u}$ avec les différents axe (x,y,z) . \\ ensuite on calcule la matrice de rigidité élémentaire  pour chaque éléments .\\
on introduit un vecteur sctr qui nous donne pour chaque élément les degrés de liberté qui lui sont associé .\\
a chaque boucle la matrice K est de nouveau additionner a la matrice Ke et on obtient à la fin notre matrice assemblé
\section{résolution  et affichage des résultats }
en utilisant cette formule on peux avec le deplacement relative a chaque noeux non contraint :\\
$$d(isol)=K(isol,isol)/f(isol)$$
on régle un coefficient de taille pour nous permettre d'observer les déformations noté : sclf=250 \\
on affiche par la suite les résultats pour chaque éléments en ajoutant la déformation d calculer en dessous
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=4.5in]{14.png}
\caption{Résolution et affichage}
\end{figure}
\end{center}
On obtient finalement la figure ci dessous: \\
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3in]{15.png}
\caption{Resultats}
\end{figure}
\end{center}
\chapter{ Résolution sur maple : }
pour maple nous allons traiter un problème un poile différent :
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=2in]{32.png}
\caption{treillis 3D}
\end{figure}
\end{center}
\newpage
\section{caractéristique du maillage}
Nous devons introduire le nombre d'élément \textbf{NMAI} , nombre de noeuds \textbf{NBN} , nombre de noeud par éléments \textbf{NNPE} , nombre de degre de liberté par noeud \textbf{NDPN}  , nombre de degré de liberté \textbf{NDL} , nombre de degré par éléments  \textbf{NDPE}
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3in]{16.png}
\caption{caractéristique de maillage}
\end{figure}
\end{center}
\section{Table de coordonnées}
cette étape consiste a entré les coordonnées de chaque nœuds
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3in]{17.png}
\caption{coordonné des noeuds}
\end{figure}
\end{center}
\newpage
\section{Table de connectivité}
comme pour MATLAB cette étape permettre de définir les éléments qui lie chaque nœuds
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3in]{18.png}
\caption{Table de connectivités}
\end{figure}
\end{center}
\section{Matrice de rigidité de l'élément barre }
\subsection{proc de calcul de la matrice de rigidité}
on a utilisé le même principe que pour le programme matlab à une seul différence la partie d'assemblage sera faite indépendamment dans une autre partie du programme
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3in]{19.png}
\caption{Programme de calcul}
\end{figure}
\end{center}
\subsection{proc d'assemblage de matrice de rigidité }
on vas introduire un procédé dans un sous programme  qui va sommer les différent Ke pour obtenir la matrice de rigidité globale K
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3in]{20.png}
\caption{procédé assemblage de matrice}
\end{figure}
\end{center}
\subsection{calcul matrice de rigidité globale}
dans le problème principal nous allons faire appelle au sous problème pour calculer la matrice de rigidité globale
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3in]{21.png}
\caption{assemblage de matrice et affichage de la matrice globale}
\end{figure}
\end{center}
\section{Conditions aux limites}
\subsection{proc d'introduction des conditions aux limites }
nous allons introduire un procédé qui va appliqué les conditions aux limites à notre structure
matrice de rigidité globale
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3in]{22.png}
\caption{procédé pour les conditions aux limites}
\end{figure}
\end{center}
\subsection{introduction des conditions aux limites dans le programme principale }
ensuite dans notre programme principale nous allons prendre en considérations nos conditions aux limites
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3in]{23.png}
\caption{prise en compte des  conditions aux limites}
\end{figure}
\end{center}
\newpage
\section{application de la force}
\subsection{initialisation du vecteur force}
on va commencer par initialiser le vecteur force .
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3in]{24.png}
\caption{initialisation du vecteur force}
\end{figure}
\end{center}
\subsection{procedé d'application du vecteur force}
ce procédé permet d'appliquer une force à un noeud précis du problème
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3in]{25.png}
\caption{procédé d'application de la force }
\end{figure}
\end{center}
\subsection{construction du vecteur force}
dans le programme principale nous allons construire notre vecteur force
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3in]{26.png}
\caption{procédé d'application de la force }
\end{figure}
\end{center}
\section{Résolution}
c'est la même ligne de commande a savoir :
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3in]{27.png}
\caption{calcul des résultat }
\end{figure}
\end{center}

\section{procédé pour affichage des résultats}
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=3in]{29.png}
\caption{proc pour affichage des résultat }
\end{figure}
\end{center}
\section{affichage des résultats}
\begin{center}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=1.5in]{30.png}
\caption{affichage des résultat }
\end{figure}
\end{center}















\end{document}