Joli Sourire sur 4G, démonstration des formules

L'égalité p(A inter B) = p_A(B) * p(A) = p_B(A) * p(B) et le théorème des probabilités totales seront utilisés tout au long de la démonstration des formules.

Soient les évènements :
JS : le fait que Joli Sourire aie effet
A : obtenir un Pokémon asexué
S : obtenir un shiny
c_k : obtenir la configuration genre du JS'ieur / ratio de genre du Pokémon n° k (JS'ieur mâle, JS'ieur femelle et ratio de genre du Pokémon sauvage 50 % M | 50 % F etc ...)

On sait tout d'abord que A et JS sont incompatibles, que : p_A(S) = p_{non JS}(S) = 1/8192, et que : p_{non A}(JS) = 2/3

Premièrement :
p(S) = p_JS(S) * p(JS) + p_{non JS}(S) * p(non JS)

Or :  p(JS) = p_A(JS) * p(A) + p_{non A}(JS) * p(non A)
            = 2/3(1 - p(A))
On sait aussi que : p_JS(S) = somme_de_tous_les(p_JS(S inter c_k))
                            = somme_de_tout_les(p_{JS_{c_k}}(S) * p(c_k))

D'où :
p(S) = p_JS(S) * 2/3(1 - p(A)) + 1/8192  * (1 - 2/3(1 - p(A)))
     = p_JS(S) * 2/3(1 - p(A)) + 1/8192 * 1/3(1 + 2*p(A))
     = 1/3(p_JS(S) * 2(1 - p(A)) + 1/8192 * (1 + 2*p(A)))
Si p_JS(S) = 0, alors : p(S) = (2*p(A) + 1) / 24576

Secondement :
p_S(A) = p(A inter S) / p(S)
       = p_A(S) * p(A) / p(S)
       = p(A) / (8192 * p(S))