$(document).ready(function () {
        $("#login-button").click(function () {
            var userPassword = $("input#userPassword").val();
            var userLogin = $("input#userLogin").val();
            $.ajax({
                type: "POST",
                url: "login",
                data: {login: userLogin, password: userPassword},
                success: function (data) {
                    alert("Successful request! Data is " + data.toString());

                    }
                },
                dataType: "text",
                error: function (jqXHR) {
                    console.log(jqXHR);
                }
            });
        });
    });

protected void service(HttpServletRequest request, HttpServletResponse response) throws ServletException, IOException {

        response.setContentType("text/plain");
        response.setCharacterEncoding("UTF-8");
        response.getWriter().print("message");
        response.getWriter().close();
        // Так он передает управление обратно скрипту и не перенаправляет на welcome.html
        response.sendRedirect("welcome.html");

}

response.getWriter().close();
        // Так он передает управление обратно скрипту и не перенаправляет на welcome.html
        response.sendRedirect("welcome.html");

protected void service(HttpServletRequest request, HttpServletResponse response) throws ServletException, IOException {
    HttpSession session = request.getSession(true);
    session.setAttribute("user", user);
    response.setContentType("text/plain");
    response.setCharacterEncoding("UTF-8");
    response.getWriter().print("welcome.html");
}

protected void service(HttpServletRequest request, HttpServletResponse response) throws ServletException, IOException {
    HttpSession session = request.getSession(flase); // false не создавать сессию, использовать которая уже открыта или null когда сессии нет
    if (session == null) {
        // здесь тем или иным образом перенаправить на login
        return;
    }
    String user = (String)session.getAttribute("user", user);
    session.setAttribute("Для кучи", new Object());
    response.setContentType("text/plain");
    response.setCharacterEncoding("UTF-8");
    response.getWriter().print("welcome " + user);
}