<?php
$arraystring = ['cat','test','catty', 'meow'];
$letter = 'ca';
checkEarraystring($arraystring,$letter);
function checkEarraystring ($arraystring,$letter)
{
    $array = array();
    $indexofarray = 0;
    $indexofletter1 = 0;
    for ($i = 0; $i <count($arraystring); $i++) {
        for  ($j = 0; $j < count($arraystring[$i]); $j++) {
            $indexofletter = 0;
            if (($arraystring[$i][$j] == $letter[$indexofletter1]) === true) {
                $indexofletter++;
                if($indexofletter==(count($letter))){
                    $array[$indexofarray] = $arraystring[$i];
                    $indexofarray++;
                }
            } else {
                $indexofletter = 0;
                if (($arraystring[$i][$j] == $letter[$indexofletter]) === true) {
                    $indexofletter++;
                    if($indexofletter == count($letter)){
                        $array[$indexofarray] = $arraystring[$i];
                        $indexofarray++;
                    }}
            }
        }
    }
    if (count($array) === 0){
        echo("нихуя не найдено");
    }
    return $array;
}
var_dump(checkEarraystring($arraystring,$letter));