>>> for i in range(128):
...   if bc(i) == bc(i**2):
...     print(i, bin(i), i**2, bin(i**2))
...
0 0b0 0 0b0
1 0b1 1 0b1
2 0b10 4 0b100
3 0b11 9 0b1001
4 0b100 16 0b10000
6 0b110 36 0b100100
7 0b111 49 0b110001
8 0b1000 64 0b1000000
12 0b1100 144 0b10010000
14 0b1110 196 0b11000100
15 0b1111 225 0b11100001
16 0b10000 256 0b100000000
24 0b11000 576 0b1001000000
28 0b11100 784 0b1100010000
30 0b11110 900 0b1110000100
31 0b11111 961 0b1111000001
32 0b100000 1024 0b10000000000
48 0b110000 2304 0b100100000000
56 0b111000 3136 0b110001000000
60 0b111100 3600 0b111000010000
62 0b111110 3844 0b111100000100
63 0b111111 3969 0b111110000001
64 0b1000000 4096 0b1000000000000
79 0b1001111 6241 0b1100001100001
91 0b1011011 8281 0b10000001011001
96 0b1100000 9216 0b10010000000000
112 0b1110000 12544 0b11000100000000
120 0b1111000 14400 0b11100001000000
124 0b1111100 15376 0b11110000010000
126 0b1111110 15876 0b11111000000100
127 0b1111111 16129 0b11111100000001