Tegu $a$ ir $b$ yra du nekolinearūs erdviniai vektoriai.
[i]Lema1[/i]. $|a \times b|^2=\boxed{|a|^2\cdot |b|^2-|a \cdot b|^2}$
Vektorinė sandauga $|a \times b|$ lygi vektoriui, kuris yra statmenas šiems dviems, o jo ilgis lygus lygiagretainio su kraštinėmis $|a|$ ir $|b|$ plotui. Pagal formulę,
$|a \times b|=|a|\cdot |b|\cdot sin(a \wedge b).$
Algebriškai ir pagal taisyklę $|a \cdot b|=|a| \cdot |b|\cdot cos(a \wedge b)$,
$|a \times b|^2=|a|^2 \cdot |b|^2 \cdot sin^2(a \wedge b)=|a \times b|^2=|a|^2 \cdot  |b|^2 \cdot (1-cos^2(a \wedge b))=$
$=|a|^2\cdot |b|^2-|a \cdot b|^2.$
[i]Lema2[/i]. $|c(t)|'=\frac{c(t)\cdot c'(t)}{|c(t)|}$
Įrodoma koordinačių principu; pritaikyt pavyko įrodyt 3D kreivių formulių ekvivalentumui :)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
[img]http://www.encyclopediaofmath.org/legacyimages/common_img/f042200a.gif[/img]
Parametrinis paviršius priklauso nuo dviejų parametrų: $r=r(u,v)$. Fiksavus bet kurį iš parametrų, o kitą palikus kisti, gausime tam tikrą kreivę, einančią tuo paviršiumi. Mūsų atveju kitimo sritis tegul bus kuris nors baigtinis intervalas, tad kreivė turės pradžios ir pabaigos taškus.
Tarkime turime ruoželį erdviniame paviršiuje. Tai reiškia, jog jis bus apribotas dviejų kreivių, kurių parametrai slankioja duotuose intervaluose. Imant norimai mažus intervalus, vektoriai $\vec{r_u}$ ir $\vec{r_v}$ bus norimai maži ir paviršius tampa norimai artimas plokštumai. Imant jų suformuotą lygiagretainį, jo charakteristikos (plotas, atstumas tarp taškų ir kampas tarp vektorių) artės prie charakteristikų paviršiuje . Šie vektoriai yra minėtų kreivių liestinės, t.y. vienos ir kitos kreivės išvestinės pagal parametrus u ir v. Galiausiai, nagrinėsime tik norimai mažus vektorius $\vec{r_u}du$ ir $\vec{r_v}dv$
[b]Pirmoji fundamentalioji kvadratinė forma.[/b]
Forma $I=\vec{dr}^2=(r_udu+r_vdv)^2=\boxed{E \cdot du^2+2F \cdot  dudv+G \cdot dv^2}$, kur
$E=r_u^2$, $F=r_u \cdot r_v$, $G=r_v^2$ yra pirmoji fundamentalioji kvadratinė forma.
Pagal šią formą galima išvesti formules rasti tam tikros srities paviršiaus plotui, paviršiaus kreivės ilgiui tarp dviejų taškų ir kampui, kuriuo kertasi kreivės paviršiuje.
Paviršiaus plotas duotoje srityje lygus integralui $\iint  \limits_\Omega\! |r_u \times r_v|\,dudv$. Pagal įrodytą lemą, tai lygu $\iint  \limits_\Omega\! \sqrt{|r_u|^2\cdot |r_v|^2-|r_u \cdot r_v|^2}\,dudv$
$=\boxed{\iint  \limits_\Omega\! \sqrt{EG-F^2}\,dudv}$
Jei duota kreivė $\gamma (t)$, kur $t \in [a,b]$, einanti paviršiumi, tai jos ilgis lygus integralinei dėmenų $|\vec{dr}|=\sqrt{I}$ sumai, tačiau integruojama tik srityje (sudedami tik tie paviršiaus sektoriai), per kurią eina kreivė $\gamma$. Turime $\int \limits_\gamma \sqrt{I} \cdot dt=\int \limits_\gamma \sqrt{E \cdot du^2+2F \cdot  dudv+G \cdot dv^2}$ Integralinės sumos dėmenys kinta priklausomai nuo parametro $t$, kintančio intervale $[a,b]$, todėl galiausiai išraiška lygi $\int \limits_a^b \sqrt{E \cdot  \Big ( \frac{du}{dt} \Big ) ^2+2F \cdot   \frac{dudv}{dt^2}+G\Big ( \frac{dv}{dt} \Big ) ^2}=\int \limits_a^b \sqrt{E u_t''+2F u'_tv'_t+G v_t'' }$
[i]Pavyzdys.[/i] Tegu parametras $t$ kinta intervale $[0,1]$. Skaičiuosime kreivės $u=t$, $v=t$, esančios ant hiperbolinio paraboloido $r(u,v)=(u,v,uv)$, ilgį. Turime
$r_u=(1,0,v)$,
$r_v=(0,1,u)$,
$E=r_u^2=v^2+1$,
$F=r_u\cdot r_v=uv$,
$G=r_v^2=u^2+1$.
Kreivės taškuose galioja $(E, F, G)=(t^2+1,t^2,t^2+1).$
$L\!=\!\int \limits_0^1 \sqrt{E (u_t')^2+2F u'_tv'_t+G (v_t')^2}dt\!=\!\int \limits_0^1 \sqrt{(t^2+1) +2t^2+(t^2+1)}dt
$
$2 \int \limits_0^1 \sqrt{t^2+\frac{1}{2}}dt=\sqrt{\frac{3}{2}}+\frac{ln(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{2}$