[b]Solucion del Problema 11:[/b]

[spoiler]Es un hecho conocido que en un triangulo $\triangle ABC$, el conjugado isogonal del circuncentro es el ortocentro. Entonces, $\angle OAC = \angle HAB = \alpha$, y ademas, como $\angle OAC = \angle OCA$ porque $\triangle OAC$ es isosceles, tenemos que $\angle OCA = \angle HCB = \alpha$.

Como el incentro es el punto de interseccion de las bisectrices, tenemos que $\angle CAI = \angle BAI$, pero como $\angle OAC = \angle HAB$, tenemos que $\angle OAI = \angle HAI$. Como $AOIH$ es ciclico, tenemos que $\angle OAI = \angle OHI$ y $\angle HAI = \angle HOI$, de donde $\triangle OIH$ es isosceles con $IO=IH$.

De la misma manera, $\angle OCI = \angle HCI$. Miremos Teorema del Seno en $\triangle COI$ y $\triangle CHI$: $\dfrac{OI}{\sin \angle OCI} = \dfrac{CI}{\sin \angle COI}$ y $\dfrac{IH}{\sin \angle HCI} = \dfrac{CI}{\sin \angle CHI}$, de donde $\sin \angle COI = \sin \angle CHI$.

Tenemos dos casos entonces, $\angle COI = \angle CHI$ y $\angle COI = 180^{\circ}-\angle CHI$.

De la misma forma, vemos que pasa lo mismo con $B$, y tenemos los dos casos con $B$: $\angle BOI = \angle BHI$ y $\angle BOI=180^{\circ}-\angle BHI$.

Notemos que si $\angle COI = \angle CHI$ entonces $\angle BOI=180^{\circ}-\angle BHI$, y que si $\angle COI = 180^{\circ}-\angle CHI$ entonces $\angle BOI = \angle BHI$.

Esto se debe a que $\angle BOI=180^{\circ}-\angle BHI$ implica que $BOIH$ es ciclico, de donde $AOIHB$ es ciclico. Si tambien pasara que $\angle COI=180^{\circ}-\angle CHI$ tendriamos que $COIH$ tambien es ciclico de donde $ABCOIH$ seria ciclico, pero como $O$ es el centro de la circunferencia que pasa por $ABC$ esto es imposible. Y si tuvieramos que $\angle BOI = \angle BHI$ y $\angle COI = \angle CHI$ tendriamos que $CH=BH$ que nos lleva a una rapida contradiccion.

Entonces, $ACOIH$ es ciclico o $AOIHB$ es ciclico.[/spoiler]