Task 7

\documentclass{article}
\usepackage{cmap}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{euscript}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools}
\usepackage{esvect}

\begin{document}
\setlength{\oddsidemargin}{1cm}
 \pagenumbering{arabic}

  %Вопрос 7%
  \section{Расскажите о понятии функции, заданной на подмножестве прямой. Дайте определение функции ограниченной сверху(снизу), огранниченной функции, монотонной функции, суперпозиции функций и обратной функции. Дайте определение графика функции. Приведите примеры.}
   \begin{enumerate}
       \item Пусть заданы два множества $X$ и $Y$.
       \\\textit{Говорят, что имеется \textbf{функция,} определенная на $X$ со значениями в $Y$, если в силу некоторого закона $f$ каждому элементу $x\in X$ ∈ ставится в соответствие единственный элемент $y\in Y$ (обозначается $y= f(x)$).}
       \\Функция $f$ называется также отображением множества $X$ на множество $Y$. Мы будем употреблять следующие обозначения:
       $$f\colon X\to Y; X\overset{f}{\to} Y; x\to f(x); y=f(x).$$
       Значение $f(x)\in Y$, которое принимает функция на элементе $x\in X$, называют образом элемента $x$. Образом множества $A\subset X$ при отображении $f\colon X\to Y$ называют множество:
       $$f(A)=\{\ y\in Y \exists x\colon (x\in A)\wedge (f(x) = y)\}\ $$ \textit{Множество $X$ называется \textbf{областью определения функции,} а множество $f(X)$ всех значений функции, которые она принимает на элементах множества $X$ называется \textbf{множеством значений} $f$ на $X$.}
       \item Функция $y=f(x)$, определенная на множестве $X\subset\mathbb{R}$, называется оганиченной \textbf{сверху} на этом множестве, если:
       $$\forall x\in X \exists b\colon f(x)\le b$$
       \\ Функция $y=f(x)$, определенная на множестве $X\subset\mathbb{R}$, называется оганиченной \textbf{снизу} на этом множестве, если:
       $$\forall x\in X \exists a\colon f(x)\ge a$$
       \\ Функция $y=f(x)$, определенная на множестве $X\subset\mathbb{R}$, называется \textbf{оганиченной} на этом множестве, если:
       $$\forall x\in X \exists a,b\colon a\le f(x)\le b$$
       \textit{или}
       $$\forall x\in X \exists c\colon |f(x)|\le c $$
       \\\textbf{Пример.} На своей области определения ($\mathbb{R$}) функция $y=\frac{1}{1+x^2}$ - ограничена, функция $1-e^x$ - ограничена сверху, но не снизу, а функция $y=x^2+2x-3$ - ограничена снизу, но не сверху.
       \item \textbf{Определение.} Функция $y=f(x)$, определенная на множестве $X\subset\mathbb{R}$, называется: \\\textit{возрастающей на $X$}, если $\forall x_1,x_2\in X ((x_1<x_2)\Rightarrow (f(x_1)<f(x_2))$ \\\textit{неубывающей на $X$}, если $\forall x_1,x_2\in X ((x_1<x_2)\Rightarrow (f(x_1)\le f(x_2))$
       \\\textit{невозрастающей на $X$}, если $\forall x_1,x_2\in X ((x_1<x_2)\Rightarrow (f(x_1)\ge f(x_2))$
       \\\textit{убывающей на $X$}, если $\forall x_1,x_2\in X ((x_1<x_2)\Rightarrow (f(x_1)>f(x_2))$
       \\Все эти функции называются \textbf{монотонными} на $X$.
       \\\textbf{Пример.} На своей области определения ($\mathbb{R}$) функция $y=x^3$ - возрастает, $y=e^{-x}$ - убывает.
       \item Пусть заданы отображения $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to Z$, причем $f(X)\subset Y$. Тогда \textbf{композицией функций}(суперпозицией функций или сложной функцией) $f$ и $g$ называется функция $g\circ f$, определяемая формулой $(g\circ f)(x) = g(f(x))$, при этом $g$ называют внешней функцией, а $f$ - внутренней функцией.
       \\\textbf{Пример.} Функция $z = \sin{x^2} (x\in\mathbb{R})$ - сложная функция составленная из внешней функции $z=\sin{x}$ и внутренней функции $y=x^2$
       \item Функция $x=g(y)$ называется \textbf{обратной} функцией к функции $y=f(x)$, если:
       $$f(g(y))=y (\forall y\in Y)$$
       $$g(f(x))=x (\forall x\in X)$$
       \\\textbf{Пример.} Функция $y=x^2$ является обратной к функции $y=\sqrt{x}$
       \item\textbf{Графиком функции} $f\colon X\to Y$ называется подмножество $G$ прямого произведения $X\times Y$, элементы которого имеют вид $(x,f(x))$, то есть
       $$G=\{\ (x,y)\in X\times Y\colon y=f(x)\}\ $$
   \end{enumerate}


\end{document}