latex 1

\documentclass[fleqn]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{polish}
\usepackage{geometry}
\usepackage{algorithm}
\usepackage{algpseudocode}
\algnewcommand{\LeftComment}[1]{\Statex \(\triangleright\) #1}

\begin{document}

    % Insert the algorithm
    \begin{algorithm}
        \caption{Algorytm obliczający potęegę liczby rzeczywistej o wykładniku naturalnym}
        \label{array-sum}
        \begin{algorithmic}[1]
            \Require $n\geq 0 \vee x\neq 0$
            \Ensure $y= x^{n}$
            \State $y\Leftarrow 0$
            \State $X\Leftarrow x$
            \State $N\Leftarrow n$
            \While {$N\neq 0$}
            \If {$N$ is even}
                \State $X \Longleftarrow X \times X$
                \State $N\Leftarrow N/2$
            \Else \Comment {$N$ is odd}
                \State $y \Longleftarrow y \times X$
                \State $N\Leftarrow N-1$
            \EndIf
            \EndWhile
        \end{algorithmic}
    \end{algorithm}

\section{Potęgowanie}
\subsection{Potęga o wykładniku naturalnym}
\subsection{Notacja}
Potęgowanie zapisuje się zwykle umieszczając wykładnik w indeksie górnym za podstawą, np. $x^{y}$. Gdy jednak ze względów technicznych nie można użyć indeksu górnego stosuje się często zapisy xˆy, $x \star  \star y$ lub $x \uparrow y$.

W przypadku, gdy podstawą potęgi jest liczba $e$ (podstawa logarytmu naturalnego), to zamiast zapisu $e^{x}$ stosuje się często zapis exp($x$) (pomijając niekiedy nawiasy), gdyż dla liczb rzeczywistych potęgi liczby $e$ pokrywają się z wartościami funkcji exp .

\subsection{Potęga zespolona}
Jeżeli $a$ jest dodatnią liczbą rzeczywistą, a $z$ dowolną liczbą zespoloną, to potęgę $a^{z}$ definiuje się wzorem
\begin{equation}
a^{z}= e^{z\ln a}
\end{equation}
gdzie $x = \ln a$ jest jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania $e^{x} = a$.

Jeżeli $a$ jest liczbą zespoloną, to napotyka się pewne trudności: definiuje się albo funkcje nieciągłe, albo wielowartościowe. W dziedzinie zespolonej $\ln(x)$ jest funkcją wielowartosciową, a róznica między jej wartościami wynosi $2k\pi i$ dla $k$ $\in$ \mathbb{Z} to i funkcja wykładnicza jest okreslona niejednoznacznie, miewając nieskonczoną liczbę wartości.

\begin{table}[]
\centering
\caption{Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji $z=x^{y}$}
\label{my-label}
\begin{tabular}{|l|l||l|}
\hline
\textbf{Podstawa} $x$           & \textbf{Wykładnik} $y$                                                                    & \textbf{Potęga} $z$                                                                  \\ \hline
całkowita dodatnia   & całkowity nieujemy                                                             & całkowita dodatnia                                                                 \\ \hline
całkowita całkowity  & nieujemny                                                                      & całkowita                                                                          \\ \hline
rzeczywista dodatnia & rzeczywisty                                                                    & rzeczywista dodatnia                                                               \\ \hline
rzeczywista ujemna   & rzeczywisty                                                                    & zespolona                                                                          \\ \hline
zespolona            & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}zespolony nie będący\\ liczbą wymierną\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}zespolona (nieskończenie\\ wiele wartości)\end{tabular} \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

\end{document}