Task 18

\documentclass{article}
\usepackage{cmap}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{euscript}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools}
\usepackage{esvect}

\begin{document}
\setlength{\oddsidemargin}{1cm}
 \pagenumbering{arabic}

  %Вопрос 18%
  \section{Запишите неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим и докажите, что существует $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$$ Этот предел обозначается $e$. Покажите, что $1\le e\le 4$.}
   \begin{enumerate}
       \item\textbf{Неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим}: $$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\le\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}(a_1,a_2...a_n\ge 0)$$
       \itemРассмотрим числовую последовательность $$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n (n\ge 1)(1)$$
       Покажем, что эта последовательность сходящаяся.
       \\ \textbf{Теорема.} Последовательность(1) имеет конечный предел.
       \\ \textbf{Доказательство.} Рассмотрим вспомогательную последовательность $$b_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}(n\ge 1)(2)$$
       и докажем, что она имеет предел. Убедимся сначала, что последовательность (2) убывающая, для этого сравним с 1 отношение: $$\frac{b_{n-1}}{b_n} = \frac{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}} = \frac{n^{2n+1}}{(n-1)^n(n+1)^{n+1}} = \Big(\frac{n^2}{n^2-1}\Big)^n\frac{n}{(n+1)} = \Big(1+\frac{1}{n^2-1}\Big)^n\frac{n}{(n+1)}$$
       Далее воспользуемся неравенством Бернулли: $$\frac{b_{n-1}}{b_n}\ge \Big(1+\frac{n}{n^2-1}\Big)\frac{n}{(n+1)}=\frac{n^3+n^2-n}{n^3+n^2-n-1}>1$$ Последовательность (2) является ограниченной снизу: $$b_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\ge 0$$ Итак, последовательность $b_n$ монотонна и ограничена, следовательно, по теореме Вейерштрасса она имеет предел. Но тогда имеет предел и последовательность $a_n$, причем $$\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n =  \lim_{n\to\infty}\Big(\frac{n}{n+1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\Big) = 1*\lim_{n\to\infty}b_n \blacksquare$$ Пределом последовательночти (1) является число, обозначаемое буквой $e$.
       \item Покажем, что $1\le e\le 4$
       $$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)...\left(1+\frac{1}{n}\right) = 1 + ... \ge 1(n\ge 1)$$
       Левая часть неравенства доказана.
       \\Пусть $b_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^n(n\ge 1)$. Очевидно, что $0\ge b_n\ge 1$. Пусть $\lim_{n\to\infty}b_n=b$. Тогда при $n\ge 2$, $b_n\ge b_2=\frac{1}{4}\Rightarrow b\ge\frac{1}{4}$
       $$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}*\frac{n}{n+1} = \frac{1}{\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}}*\frac{n}{n+1} = $$ $$= \frac{1}{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}*\frac{n}{n+1} = \frac{1}{1+\frac{1}{n}}*\frac{1}{b_{n+1}}$$
       $\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\to 0$ при $n\to\infty$, $\frac{1}{b_{n+1}}\to\frac{1}{b}$ при $n\to\infty$
       \\Следовательно, $\lim_{n\to\infty}a_n=e =\frac{1}{b}$,   $b\ge\frac{1}{4}\Rightarrow e\le 4$
       \\Правая часть неравенства доказана. Тоесть, $1\le e\le 4$ $\blacksquare$



   \end{enumerate}

\end{document}