witt_vectors_and_p-adic_numbers

                      Векторы Витта и p-адические числа
                      =================================

Сначала докажем два утверждения.
--------------------------------------------------------------------------------
                        Утверждение 1. Лемма Гензеля.

Если у нас есть решение сравнения f(x)=0 (mod p^n), где f --- многочлен с
целочисленными коэффициентами и f'(x) =/= 0 (mod p), то мы можем поднять его
до решения mod p^{n+1}, причём единственным образом.

(Тавтологическое) доказательство.

                        f(x)=0 (mod p^n) <=> f(x)=ap^n

Поменять x так, чтобы его класс mod p^n не изменился <=> добавить к нему bp^n.

                          f(x+bp^n) =
                        = f(x)+f'(x)bp^n   mod p^{n+1} =
                        = ap^n+f'(x)bp^n   mod p^{n+1} =
                        = (a+f'(x)b)p^n    mod p^{n+1}

Поэтому, сократив на p^n, получаем, что

             f(x+bp^n)=0 (mod p^{n+1})  <=>  a+f'(x)b=0 (mod p).

Если f'(x) =/= 0 (mod p), то отсюда мы однозначно восстанавливаем b.
--------------------------------------------------------------------------------
                                 Утверждение 2.

                 a=b (mod p)  =>  a^{p^n}=b^{p^n} (mod p^{n+1})

                  Очевидным образом доказывается по индукции.
--------------------------------------------------------------------------------
Благодаря лемме Гензеля мы можем найти для каждого a_0 из Z/pZ p-адическое число
{a_0}+{a_1}p+{a_2}p^2+..., удовлетворяющее уравнению x^p=x. Оно называется
представителем Тейхмюллера для a_0. Очевидно, что p-адические числа можно
раскладывать в ряды по представителям Тейхмюллера: {t_0}+{t_1}p+{t_2}p^2+...,
где {t_i}^p = t_i.
--------------------------------------------------------------------------------
Утверждение, которые мы собираемся доказать, такое: если связать с каждым
p-адическим числом последовательность элементов из Z/pZ, отвечающих
коэффициентам его разложения по представителям Тейхмюллера, то сложение и
умножение p-адических чисел описывается полиномиальными формулами с целыми
коэффициентами.
--------------------------------------------------------------------------------
Рассмотрим p-адические числа
a={a_0}+{a_1}p+{a_2}p^2+...,
b={b_0}+{b_1}p+{b_2}p^2+...,
c={c_0}+{c_1}p+{c_2}p^2+...,
где a_i, b_i, c_i --- представители Тейхмюллера.

Условие, что c=a+b, можно записать так:

\sum_{i=0}^n  c_i p^i =
\sum_{i=0}^n  a_i p^i +
\sum_{i=0}^n  b_i p^i   mod p^(n+1)
для всех n.

Учитывая, что a_i, b_i, c_i --- представители Тейхмюллера, это можно
переписать так:

\sum_{i=0}^n  {c_i}^{p^{n-i}} p^i =
\sum_{i=0}^n  {a_i}^{p^{n-i}} p^i +
\sum_{i=0}^n  {b_i}^{p^{n-i}} p^i    mod p^(n+1)
для всех n.

А эти условия уже не зависят от того, какие поднятия элементов из Z/pZ мы
используем, благодаря утверждению 2 (то есть они зависят только от классов
a_i, b_i, c_i mod p).
--------------------------------------------------------------------------------
Мы выразим {c_i}ые в виде многочленов с целыми коэффициентами от
{a_i}ых и {b_i}ых таким образом, что равенства

\sum_{i=0}^n  {c_i}^{p^{n-i}} p^i =
\sum_{i=0}^n  {a_i}^{p^{n-i}} p^i +
\sum_{i=0}^n  {b_i}^{p^{n-i}} p^i
для всех n

будут выполнятся тождественно в кольце многочленов Z[a_0, a_1,... b_0, b_1,...].

Для умножения всё то же самое.

Тогда наше утверждение будет доказано.
--------------------------------------------------------------------------------
Перед тем, как двигаться дальше, сделаем очевидное
Утверждение 3. d/dt log (1+t+t^2+...) = 1+t+t^2+...
--------------------------------------------------------------------------------
Рассмотрим произвольное кольцо R. Будем называть последовательности его
элементов (X_1, X_2, ...) векторами Витта, а
        ___
  (n)   \      n/d
 X   := /__ d X    --- их призрачными компонентами.
        d|n    d

Мы хотим определить полиномиальные формулы сложения и умножения векторов
Витта, которые переходят в покоэффициентное сложение и умножение для их
призрачных компонент:

  (i)   (i)       (i)       (i)  (i)      (i)
 X   + Y   = (X+Y)         X    Y   = (XY).

Рассмотрим формальный ряд
  ____                ____
  |  |          n     \        n
  |  |  (1 - X t ) =  /___  A t
 n >= 1       n      n >= 0  n

A_n и X_n восстанавливаются друг из друга по индукции как многочлены с целыми
коэффициентами.

Тогда
             ____                ____
             |  |          n     \      (m) m
 -t d/dt log |  |  (1 - X t ) =  /___  X   t
            n >= 1       n      m >= 1

(Это легко увидеть, зная, например, утверждение 3.)

Теперь очевидно, как определить сложение --- это умножение рядов.

Определить умножение тоже не очень трудно.

                              [d,e] := lcm(d,e)

                           ____
                           \        m/d    m/e  m
                           /___  d X    e Y    t  =
                                    d      e
                         m >= 1,
                         d,e | m

                     ____
                     \          [d,e]/d   [d,e]/e  [d,e] n
                  =  /___  de (X         Y        t     )  =
                                d         e
                   n,d,e >= 1

                        ____
                        |  |       [d,e]/d   [d,e]/e  [d,e] de/[d,e]
          = -t d/dt log |  | (1 - X         Y        t     )
                                   d         e
                      d,e >= 1


                       (Первое равенство --- тавтология.)
             (Второе равенство легко увидеть, зная утверждение 3.)
--------------------------------------------------------------------------------
Обычные компоненты X_n и призрачные компоненты X^{(n)} легко восстанавливаются
друг из друга по индукции, только там возникают знаменатели. Мы делали то, что
делали, чтобы убедиться, что знаменатели сократятся.

X_{p^i} зависят только от X^{p^j}, и наоборот.

Взяв только эти компоненты, мы получим "p-типические" векторы Витта, которые и
дадут нам p-адические числа (если в качестве кольца коэффициентов взять Z/pZ).