EM 21/09/2011

// Nessa aula, falaremos sobre a lei de Ohm que conceitua "densidade de corrente"
// e sobre o modelo de Drude que serve para descrever e entender melhor a idéia de resistividade de cada material.

  Revisando Capacitores Dielétricos:
    q = c<phi>
  Onde q é a carga atualmente mantida no capacitor.
  <phi> é a diferença de potencial.
  e c é a constante de capacitância (que é uma constante do capacitor)

  Outro cálculo para <phi>:
    <phi> = -int E>.dl>

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Agora vamos falar da constante c.
  Acho que já comentei em outra aula que seu valor é função do formato do capacitor, e de uma constante que depende to meio que envolve o mesmo.
  assim, agente pode escrever c na forma:
    c = KC

  onde K é uma constante referente ao meio
  e K0 = 1 é o valor dessa constante quando o meio é o vácuo.
  E K é sempre igual ou maior que 1.

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

  // olha eu não sei bem como saímos d c = KC e chegamos no cálculo abaixo,
  // (eu estou passando isso a limpo duas semanas depois da aula, então nao lembro de mais nada xP)
  // (e se eu bem me lembro ainda cheguei atrasado nessa aula xP)
  // mas faz algum sentido:

  Para expressar a permissividade em função do meio podemos usar a mesma idéia
  Vamos então chamar genericamente a permissividade de €
  (enquanto a permissividade no vácuo nós chamamos de €0 como já faziamos)

    € = K€0.

  Dessa forma esse k expressa uma característica única de permissividade de cada material, quando multiplicado por €0 que é a permissividade no vácuo.

  E com isso podemos re-escrever a lei de gauss para generalizar o meio,

  Agora  "  int E>.da> = q/€ = q/(k€0)  "
  Ex:
    No meio a lei de gauss é: int E>.da> = q/(k€0)

  Assim como qualquer aparição do €0 nas equações que já estudamos.

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

  Agora dois problemas:

    1 - Não sei se o K em   " c = KC "   e o K em    " € = K€0 "   São o mesmo valor para um mesmo material, (cheguei atrasado na aula)

    2 - Agora tem ambiguidade, pois eu usava a letra K para descrever 1/(4pi€0)

  O problema 2 eu vou resolver assim:
    K maiusculo é esse que nós vimos nessa aula.
    k minusculo vou usar para 1/(4pi€0)

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Para ter uma idéia do que significa essa permissividade de material com um exemplo bom,
  o professor desenhou um capacitor com material de permissividade €x.
  E mostrou que se €x for grande o campo elétrico dentro do material é diminuido.

  A principio isso parece um pouco estranho. Se pensarmos que a carga gera linhas de força para onde elas foram?
  O motivo dessa diminuição não é pela desaparecimento do número de linhas de força,
  porém imagine que uma molecula qualquer de um material seja como um imã, com dois polos (obvio :P)
  Se o imã puder girar mas não se mover, ele irá girar com o polo positivo no sentido do campo magnetico, correto?
  E ao fazer isso ele vai apontar o próprio campo magnetico para o sentido oposto! não é mesmo?

  Assim o novo campo magnetico é reduzido pois voce tem de subtrair o campo atual do campo gerado pela polarização do material.

  Assim a permissividade diéletrica de um material pode ser pensada como capacidade de polarização das moléculas de um material.

// Note que não citei eletrons livres, se o material possuir eletrons livres, esses eletrons vão simplismente conduzir,
// e causar um curto circuito no capacitor.

  Agora vamos falar de isolantes. Qual o isolante mais poderoso?
  O de alta permissividade ou o de baixa permissividade?

  O que define a força de um isolante é a diferença de potencial necessária para soltar seus eletrons dos protons.
  Assim se voce pensar que um material muito permissivo, diminui o efeito do campo elétrico ao gerar um campo oposto,
  fica fácil perceber que um material muito permissivo ou melhor, muito polarizável isola muiiiito melhor.
  Porque os eletrons são protegidos do campo elétrico externo.

  Legal? Bem bizzarro isso né.

NOTAS:

  - O campo elétrico gerado pela polarização é oposto e menor que o original, note que a resultante ainda tem o mesmo sentido.

  - Uma coisa curiosa: Uma casca colocada ao redor de uma carga positiva não altera o campo eletromagnetico fora da casca,
    nem dentro da casca, porém dentro da superficie da casca, ou seja pense que ela é grossa
    como acabamos de ver o campo é diferente porque a casca polariza,
    o que faz com que o campo se re-estabeleça por fora da carga?
    Se voce pensar na analogia do imã, cada carga negativa fica ligeiramente deslocada em direção a carga positiva,
    e cada positiva no sentido oposto. Assim na superficie externa do material voce tem um acumulo de cargas positivas
    gerando as linhas de campo que foram "consumidas" pela polarização, e compensando a perda.
// Talvez tenha ficado confuso espero que não =P

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Para casa:
    Calcule a capacitancia de um capacitor com distancia d e area A.
    O meio desse capacitor é formado por 3 tipos, k1, k2 e k3.

    E eles estão distribuidos assim:

                           \/materiais\/
                                               \/fio do capacitor
                      /  |  k1  |      |  \
            ==========|  |------|  k3  |  |==========
                      \  |  k2  |      |  /

    // Ou seja, é um material que parece o frankstein.
    // PS: deu pra entender o desenho? isso era pra ser um capacitor

    De forma escrita:
     - k1 e k2 ficam a esquerda e k3 a direita ( a divisa fica bem no meio )
     - A divisão de k1 e k2 é pela metade também. mas é uma divisão horizontal.

// Eu acho que a resposta é:
   Seja K1,K2 e K3 a permissividade de cada um dos 3 materiais.
   A capacitancia desse capacitor é dado por:
     c = KC
     c = MAX( MIN( K1, K2), K3) * C
// Agora repare que eu estou assumindo que aquele K em:  " c=KC "  e em  " €=K€0 "
// Ou seja, a permissividade é função de K e portanto eu posso
// argumentar que a capacitância é função dessa mesma constante.
// Mas se o K for diferente então a permissividade não teria nada haver com a capacitancia.
// Mas eu acho que tem. Então deve tá tudo beleza.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Nota para pensar:

  O campo elétrico dentro de uma casca esférica de permissividade 4€0 ao redor de uma carga q é:
  E = 1/4pi(4€0) * q/r²
  e ele é oposto e menor que o campo elétrico original.
//  Notem que ele é 4 vezes menor que o original para sermos mais precisos.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Relembrando Corrente:

    R * I = <phi>

  Onde R é a resistencia do fio, I é a corrente e U é o potencial elétrico.

    I = <phi>/R

  Mas nós vamos usar uma definição mais complexa de corrente,
  já que agora estamos na faculdade veja:

  Corrente = I = <delta>q/<delta>t (variação de carga por variação de tempo)

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

  Densidade de Corrente

    É a corrente dividida pela área pela qual ela passa e é denotada por j.
    // É uma definição um tanto estranha não? Onde será que usaremos isso?

    Assim pode-se tratar a corrente de forma análoga a um fluxo com o cálculo:

      I = int j>.da>

    // sendo . uma multiplicação escalar, e da> um vetor unitário normal a área de uma secção do fio.

    Um modo de se cálcular a densidade de corrente em um sistema "bem comportado" por assim dizer é usar o cálculo simples:

      j = I/A

    Sendo A a area por onde ela passa.

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

  Lei de Ohm

TEOREMA:
  Basicamente a lei de Ohm o Campo Elétrico e a Resistividade com a Densidade de Corrente.
  A formula é:

    j> = E>/<ro>

  // Simples não?, mas houve uma demonstração que segue abaixo para provar isso tudo.

  DEMONSTRAÇÃO:

  Vamos lembrar de 2 formulas de ensino médio e da fórmula de densidade de corrente e relaciona-las:

    (1) <phi> = RI
    (2) R = <ro> * l / A
    (3) I = j*A
                   ( <ro> = resistividade, l = comprimento, A = área de uma secção do fio )

  Substituindo I e R em (1) temos:

    <phi> = <ro> * l * j   ( reparem a área some da eq. )

  Sabemos já a um bom tempo que:

    <phi> = int E>.dl>

  Então podemos escrever:

    <phi> = int E>.dl> = <ro> l j

    int E>.dl> = <ro> l j

  Agora supondo um campo elétrico constante, podemos tirar o E> para fora da integral:

    E> . int dl> = <ro> l j

  Integrando:

    E * l = <ro> l j

    E = <ro> j

    j = E/<ro>,

  Moleza ? até foi simples né.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  CONCEITO:
    Condutividade é o inverso de resistividade, e vou usar <alfa> para denota-la.

    O relação fica:

      <alfa> = 1/<ro>, e vice-versa

  // Bem bobo isso né.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Modelo de Drude:

TEOREMA:

  O modelo de Drude descreve a resistividade de um material, pensando em cada eletrón como uma particula separada.
  Assim esse modelo é interessante para evidenciar a diferença entre, isolantes, semi-condutores e condutores.

  De forma sucinta:

    j = <n> e² T E/m
    // Onde <n> é a densidade de eletrons (e é escrito no papel com um n rebuscado)
    // e é a carga individual de cada eletron, m é a massa individual de cada eletrón
    // e T é o tempo médio que um eletron vaga pelo fio sem colidir com outro eletron.

    <ro> = E/j

    <ro> = E / (<n> e² T E/m)

    <ro> = m/(<n> e² T)

// Mostrando que a resistividade de um material é função do número <n> de eletróns livres,
// e do tempo T de colisão de um eletron livre com outro eletron (não necessáriamente livre).
// Já que "m" e "e" são valores constantes até onde eu sei =P.

DEMONSTRAÇÃO

  Dado um fio, com uma velocidade media de movimentação dos eletrons Va e uma area A
  Assim a distancia percorrida por um elétron é Va * <delta>t

  Sabendo que <n> é a densidade de eletrons,
  o número de eletróns que cruza uma secção do fio durante um tempo <delta>t pode ser cálculado por:

    <delta>N = <n> * Va * <delta>t * A

  E se eu quiser saber a carga que cruzou por essa secção?
  Basta múltiplicar esse número de eletrons pela carga individual de cada eletron "e"

    <delta>N*e = <delta>q = <n> * Va * <delta>t * A * e

  Dividindo pelo tempo temos a Corrente:

    I = <delta>q/<delta>t = <n> * Va * A * e

  E pela área temos a densidade de corrente:

    j = I/A = <n> * e * Va

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

  Agora vamos fazer um cálculo mucho loco,
  para encontrar uma alternativa para se escrever Va, na eq. acima,
  o que vai nos aproximar da eq. que demonstra o modelo de Drude.

  Lembram da formula de Força = Massa vezes Aceleração?

    F = ma

  Pensando no eletron como particula, m é a massa do eletrón individualmente.

  Aceleração pode ser entendida como a variação de velocidade do eletron em relação ao tempo
  Assim podemos escrever:

    F = m * dVa/dt    (1)

  Agora sabemos que a força sobre eletrica sobre uma carga pode ser escrita:

    F = E*q

  ou no caso de um eletron:

    F = E*e        (2)

  Onde "e" é a carga do elétron individualmente.

  Assim juntando (1) com (2) e isolando dVa/dt temos:

    dVa/dt = Ee/m

      ou se integrarmos:

    Va = int(0,T) Ee/m dt

  Onde T é o tempo que o eletron consegue caminhar livremente antes de se chocar com um objeto, ou seja, um outro elétron livre, ou um atomo.

  Resolvendo a integral:

    Va = EeT/m, e voilá!

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

  Assim chegamos na formula:

    j = <n> * e * Va

    j = <n> * e * (EeT/m)
            ou
    j = <n>e²T/m * E

  E assim, com base na lei de Ohm, a resistencia de um material é:

    <ro> = E/j   // Essa formula veio da lei de Ohm: j = E/<ro>

  Substituindo j:

    <ro> = E / (<n> e² T/m * E)

    <ro> = 1/ ( <n> e² T/m )

    <ro> = m/(<n> e² T)

  E essa é a formula que o modelo de Drude usa
  para descrever o comportamento de isolantes, condutores e semi-condutores.
  Moleza?

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Trabalho! Valendo 5 pts!
  Expliquem porque a resistencia de um condutor é da ordem 10⁻⁸, a de um semi-condutor varia entre 0,03 e 10⁶ e a de um isolante é da ordem de 10¹⁵

  // Lembrando que a densidade de eletrons é a densidade de eletrons livres!
  // Semi-condutor a baixa temperatura é um super isolante, explique isso também!

  // Nota pessoal: Se bem me lembro na pagina 99 do livro de eletromagnetismo do Alaor Chaves tem uma tabela
  //               com a ressistividade de vários condutores, isolantes e semi-condutores, para voces terem uma idéia mais precisa dos valores.

  // Fim da aula!