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Sep 18th, 2019
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  1. \documentclass[11pt]{article}
  2.  
  3. %Gummi|065|=)
  4.  
  5. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  6. %%ATAJOS UTILES------------------------------------
  7. \newcommand{\PD}{\textbf{Por demostrar: }}
  8. \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
  9. \newcommand{\C}{\mathbb{C}}
  10. \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
  11. \newcommand{\I}{\mathcal{I}}
  12. \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
  13. \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
  14. \newcommand{\integraldef}[2]{\int_{#1}^{#2}}
  15. \newcommand{\Caso}{\textbf{Caso}}
  16. \newcommand{\entonces}{\Rightarrow}
  17. \newcommand{\sii}{\syss}
  18. \newcommand{\syss}{\Leftrightarrow}
  19. \newcommand{\regreso}{\Leftarrow}
  20. \newcommand{\derivada}[1]{\frac{d}{d #1}}
  21. \newcommand\Mydiv[2]{%
  22. \strut#1\Rern.25em\smash{\raise.3ex\hbox{\big)}}\mRern-8mu
  23. \overline{\enspace\strut#2}}
  24. \newcommand\setItemnumber[1]{\setcounter{enumi}{\numexpr#1-1\relax}}
  25.  
  26. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  27.  
  28. \usepackage[spanish]{babel}
  29. \usepackage[utf8]{inputenc}
  30. \usepackage{mathtools}
  31. \usepackage{amsthm}
  32. \usepackage{amsfonts}
  33. \usepackage{graphicx}
  34. \usepackage{amsmath}
  35. \usepackage{amssymb}
  36. \usepackage{tabularx}
  37. \usepackage{mathrsfs}
  38. \usepackage{polynom}
  39. %% Esto te permite poner caso durante las demostraciones
  40. \newtheorem*{remark}{Caso}
  41.  
  42. %% Cambios en el tipo de papel
  43. \usepackage[
  44. top=1.5cm,
  45. bottom=2cm,
  46. left=1cm,
  47. right=1cm,
  48. heightrounded,
  49. ]{geometry}
  50.  
  51.  
  52.  
  53. \begin{document}
  54.  
  55.  
  56. \title{Tarea de algebra superior}
  57. \author{Alejandro Cano Hernandez \\Rubalcava Cortés Javier Roberto}
  58. \date{}
  59.  
  60. \maketitle
  61.  
  62. \begin{enumerate}
  63. \setItemnumber{5}
  64. \item Sean $f(x), g(x) \in F[x]$ con $g(x)\neq0$. Asumamos que
  65. $f(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x)$, donde $r(x)=0$ ó $gr(r) < gr(g)$.
  66. Prueba que $(gx) \mid f(x)$ si y sólo si $r(x) = 0$.
  67.  
  68. \begin{proof}
  69.  
  70. $\entonces$) Sup $g(x) \mid f(x)$
  71.  
  72. \PD $r(x) = 0$
  73.  
  74. Entonces, por definición de $\mid$ tenemos que
  75. $f(x) = g(x) \cdot q(x)$ y por hipótesis
  76. $f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$
  77.  
  78. $\therefore$ $g(x) \cdot q(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ $\entonces$
  79. $r(x) = 0$ que es lo que se quería probar.
  80.  
  81. $\regreso$) Sup $r(x) = 0$
  82.  
  83. \PD $g(x) \mid f(x)$
  84.  
  85. Por hipótesis tenemos:
  86.  
  87. \begin{equation*}
  88. \begin{aligned}
  89. f(x) &= g(x) \cdot q(x) + r(x) \\
  90. &= g(x) \cdot q(x) + \hat{0} \\
  91. &= g(x) \cdot q(x)
  92. \end{aligned}
  93. \end{equation*}
  94.  
  95. $\therefore \exists q(x) \in F[x] : f(x) = g(x) \cdot q(x)$, ed,
  96. $g(x) \mid q(x)$
  97.  
  98. \end{proof}
  99.  
  100.  
  101. %%By Rubal
  102. %%Creo que esta demostracion parece estar hecha para una clase de calculo
  103. \setItemnumber{6}
  104. \item Si $a, b \in F,$ demuestra que $(x-a) |(x-b)$ si $y$ sólo si $a=b$ :\\
  105. \begin{proof}
  106. \PD $a = b$\\
  107. \PD $a -b = 0$
  108. Sea $ f:F \mapsto f$, tal que $ f(x) = x-b$. Por el algoritmo de la division aseguramos la existencia de $ q(x) \in F[x]$, de modo que
  109. $ x-b = (x-a) q(x) + r(x)$, pero por hipotesis tenemos que $(x-a) |(x-b) $, por el inciso (5) sabemos que $(x-a) |(x-b) \sii r(x) = 0 $
  110. por lo tanto: $ f(x) = x-b = (x-a)q(x)$.
  111. \begin{equation*}
  112. \begin{aligned}
  113. f(a) &= a-b = (a-a)q(x)\\
  114. &\syss a-b = (0)q(x)\\
  115. &\syss a-b = 0\\
  116. &\syss a = b
  117. \end{aligned}
  118. \end{equation*}
  119. \end{proof}
  120.  
  121. \setItemnumber{7}
  122. \item Para qué valores de $a\in\R$ se cumple que:
  123. $$(x^2+ax-a^2)\mid(x^3+ax^2-4x-a+2)$$
  124.  
  125. Veamos para qué valores el resuiduo es cero:
  126.  
  127. Sean $f(x)=(x^3+ax^2-4x-a+2)$, $g(x) = (x^2+ax-a^2)$
  128.  
  129. \polylongdiv{x^3+ax^2-4x-a+2}{x^2+ax-a^2}
  130.  
  131. Veamos cuando:
  132. \begin{equation*}
  133. \begin{aligned}
  134. (a^2-4)x + (-a+2) = 0 &\entonces (a^2-4)x + (-a+2) = 0x + 0\\
  135. &\entonces
  136. \begin{cases} (a^2-4)=0 \\ -a+2=0 \end{cases} \\
  137. &\entonces a = 2
  138. \end{aligned}
  139. \end{equation*}
  140.  
  141.  
  142. \setItemnumber{9}
  143. \item Sea $a \in F \mathrm{y} \operatorname{sean} f(x), g(x) \in F[x] .$ Si $x-a | f(x)$ y $x-a \nmid g(x),$
  144. prueba que$x-a \nmid f(x)+g(x)$ :\\
  145. \begin{proof}
  146. Sea $ f(x) + g(x) = \gamma(x)$\\
  147. \PD $x-a \nmid \gamma(x)$ \\
  148. Supongamos que $ x-a | f(x) + g(x) $ para alcanzar una contradiccion. Por el teorema
  149. del factor podemos asegurar que $x-a | f(x) \sii f(a) = 0$, analogamente
  150. podemos decir que $x-a \nmid f(x) \sii f(a) \neq 0$.
  151. \begin{equation*}
  152. \begin{aligned}
  153. x-a | \gamma(x) & \sii \gamma(a) = 0 &&\text{ Por el teorema del factor .}\\
  154. \text{ De este modo: }
  155. 0 &= \gamma (a) \\
  156. &= f(a) + g(a)\\
  157. &= 0 + g(a) && \text{ Por hipotesis } f(a) = 0\\
  158. &= g(a) \\
  159. &\neq 0
  160. \end{aligned}
  161. \end{equation*}
  162. Lo cual es una contradiccion debida a suponer que $ x-a | f(x) + g(x) $.
  163. \end{proof}
  164. \setItemnumber{10}
  165. \item Por medio del método de Ruffini (división sintética) realiza
  166. \textbf{dos} de las cosas que en seguida se piden:
  167.  
  168. \begin{enumerate}
  169. \item Encuentra el cociente y el residuo de dividir
  170. $3x^3 + x^2 + x - 5$ entre $x + 2$
  171.  
  172. \polyhornerscheme[x=-2]{3x^3 + x^2 + x - 5}
  173.  
  174. $\therefore q(x) = 3x^2 - 5x + 11$, $r(x) = -27$
  175.  
  176. \item Calcula el valor del polinomio
  177. $31x^5 + 17x^4 - x^2 + 1$ al ser evaluado en $3$.
  178.  
  179.  
  180. \polyhornerscheme[x=3]{31x^5 + 17x^4 - x^2 + 1}
  181.  
  182. $\therefore f(3) = 8902$
  183. \end{enumerate}
  184.  
  185. \setItemnumber{11}
  186. \item Para dos de los siguientes incisos expresa el polinomio $ f(x)$ en términos de
  187. potencias de $ g(x)$ :
  188. \begin{enumerate}
  189. \item $f(x)=x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}-4 x+1 \quad \quad g(x)=x+1$ \\
  190. \polylongdiv{x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x +1 }{x+1}
  191.  
  192. \polylongdiv{ x^3 + x^2 - 4x }{x+1}
  193.  
  194. \polylongdiv{ x^2 - 4}{x+1}
  195.  
  196. De este modo:
  197. \begin{equation*}
  198. \begin{aligned}
  199. x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}-4 x+1 &= (x+1)(x^3 + x^2 - 4x) + 1 \\
  200. &= (x+1)[(x+1 )( x^2 -4) +4 ] + 1 \\
  201. &= (x+1)[(x+1 )[ (x + 1)( x- 1) - 3 ] +4 ] + 1 \\
  202. &= (x+1)[(x+1 )^{2} ( x- 1) - 3 (x+1) +4 ] + 1 \\
  203. &= (x+1 )^{3} ( x- 1) - 3 (x+1)^2 +4 (x+1)^1 + 1 (x+1)^0 \\
  204. \end{aligned}
  205. \end{equation*}
  206. \item $f(x)= x^{5} +1 \quad \quad g(x)=x-2$ \\
  207. \polylongdiv{ x^{5}+1}{x-2}
  208.  
  209. \polylongdiv{ x^4 +2 x^3 +4x^2 + 8x + 16 }{x-2}
  210.  
  211. \polylongdiv{x^3 + 4x^2 + 12x + 32 }{x-2}
  212.  
  213. \polylongdiv{ x^2 + 6x + 24 }{x-2}
  214.  
  215.  
  216. De este modo:
  217. \begin{equation*}
  218. \begin{aligned}
  219. x^{5} +1 &= (x -2)(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x +16) + 33 \\
  220. &= (x -2)[(x -2) (x^3 + 4x^2 + 12x^ + 80 ) ] + 33 \\
  221. &= (x-2)[(x-2 )[ (x-2)(x^2 +6x + 24 ) + 80 ] + 80 ] + 33 \\
  222. &= (x-2)[(x-2 )[ (x-2)[ (x-2)(x+ 8) + 40 ] + 80 ] + 80 ] + 33 \\
  223. &= (x-2)[(x-2 )[ (x-2)^2 (x+ 8) + 40 (x-2) ] + 80 ] + 80 ] + 33 \\
  224. &= (x-2)[(x-2)^3 (x+ 8) + 40 (x-2)^2 + 80(x-2) + 80 ] + 33 \\
  225. &= (x-2)^4 (x+ 8) + 40 (x-2)^3 + 80(x-2)^2 + 80(x-2) + 33 \\
  226. \end{aligned}
  227. \end{equation*}
  228.  
  229. \item $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 \quad g(x)=x^{2}+2 x+1$ \\
  230. \polylongdiv{ x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 }{x^{2}+2 x+1}
  231.  
  232. \polylongdiv{ x^2 - x +2 }{x^{2}+2 x+1}
  233.  
  234.  
  235.  
  236. De este modo:
  237. \begin{equation*}
  238. \begin{aligned}
  239. x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 &= (x^{2}+2 x+1) (x^2 -x +2 ) + (-2x -1) \\
  240. &= (x^{2}+2 x+1) [ (x^{2}+2 x+1) (1) + (-3x +1) ] + (-2x -1) \\
  241. &= (x^{2}+2 x+1)^2 + (x^{2}+2 x+1)(-3x +1) + (-2x -1) \\
  242. \end{aligned}
  243. \end{equation*}
  244. \end{enumerate}
  245.  
  246.  
  247. \setItemnumber{15}
  248. \item Calcula el $m.c.d.$ y el $m.c.m.$ de \textbf{una} de las siguientes
  249. parejas de polinomios en $\Q[x]$, luego expresa su $m.c.d.$ como
  250. combinación lineal de ellos:
  251.  
  252. \begin{enumerate}
  253. \setcounter{enumii}{2}
  254. \item $f(x) = x^5 + x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 2x$,
  255. $g(x) = x^4 + 3x^3 - x^2 - 6x - 2$
  256.  
  257. Veamos $(f;g)$:
  258.  
  259. \polylongdiv{x^5 + x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 2x}
  260. {x^4 + 3x^3 - x^2 - 6x - 2}
  261.  
  262. Sean $q_1(x) = x - 2$, $r_1(x) = 4x^3 + 8x^2 - 8x - 4$
  263.  
  264. Procedamos.
  265.  
  266. \polylongdiv{x^4 + 3x^3 - x^2 - 6x - 2}
  267. {4x^3 + 8x^2 - 8x - 4}
  268.  
  269. Sean $q_2(x) = \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}$,
  270. $r_2(x) = -x^2 - 3x - 1$
  271.  
  272. Procedamos.
  273.  
  274. \polylongdiv{4x^3 + 8x^2 - 8x - 4}
  275. {-x^2 - 3x - 1}
  276.  
  277. Y al encontrarnos al primer residuo distinto de cero, aseguramos
  278. que $(f;g)$ es $r_2(x)$ mónico, es decir, $(f;g) = x^2 + 3x + 1$
  279.  
  280. Luego, observamos que:
  281.  
  282. \begin{equation*}
  283. \begin{aligned}
  284. f(x) &= g(x)q_1(x) + r_1(x) \\
  285. g(x) &= r_1(x)q_2(x) + r_2(x)
  286. \end{aligned}
  287. \end{equation*}
  288.  
  289. Entonces despejando y sustituyendo, podemos realizar el
  290. procedimiento siguiente:
  291.  
  292. \begin{equation*}
  293. \begin{aligned}
  294. r_2(x) &= g(x) - r_1(x)q_2(x) \\
  295. &r_1(x) = f(x) - g(x)q_1(x) \\
  296. r_2(x) &= g(x) - q_2(x)[f(x) - g(x)q_1(x)] \\
  297. &= g(x) - q_2(x)f(x) + g(x)q_2(x)q_1(x) \\
  298. &= [-q_2(x)]f(x) + [q_2(x)q_1(x) + 1]g(x) \\
  299. \end{aligned}
  300. \end{equation*}
  301.  
  302. Luego, notemos que $(f;g) = x^2 + 3x + 1 = -r_2(x)$
  303.  
  304. Entonces la combinación lineal que buscamos es:
  305.  
  306. $$-r_2(x) = [q_2(x)]f(x) + [-q_2(x)q_1(x) - 1]g(x) $$
  307.  
  308. Desarollando obtenemos:
  309.  
  310. \begin{equation*}
  311. \begin{aligned}
  312. -q_2(x)q_1(x) - 1 &= -(q_2(x)q_1(x) + 1) \\
  313. &= -\Big[\Big(\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}\Big)(x - 2)
  314. + 1\Big] \\
  315. &= -\big[\frac{1}{4}x^2 - \frac{2}{4}x + \frac{1}{4}x
  316. - \frac{1}{2} + 1\Big]
  317. &= -\Big[\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}\Big] \\
  318. &= -\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}x - \frac{1}{2}
  319. \end{aligned}
  320. \end{equation*}
  321.  
  322. Finalmente, la combinación lineal buscada es:
  323. $$\Big[\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}\Big]f(x) +
  324. \Big[\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}x - \frac{1}{2}\Big]g(x)$$
  325.  
  326. Ahora veamos el mínimo común múltiplo. Por definición:
  327. $$[f;g] = \frac{f(x)g(x)}{(f;g)}$$, pero como:
  328.  
  329. \polylongdiv{x^5 + x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 2x}
  330. {x^2 + 3x + 1}
  331.  
  332. Entonces $f(x) = (x^2 + 3x + 1)(x^3 - 2x^2 + 2x)$ y por lo tanto
  333. tenemos:
  334.  
  335. \begin{equation*}
  336. \begin{aligned}
  337. [f;g] &= \frac{f(x)g(x)}{(f;g)} \\
  338. &= \frac{(x^2 + 3x + 1)(x^3 - 2x^2 + 2x)
  339. (x^4 + 3x^3 - x^2 - 6x - 2)}{x^2 + 3x + 1} \\
  340. &= (x^3 - 2x^2 + 2x)(x^4 + 3x^3 - x^2 - 6x - 2) \\
  341. &= x^7 + 3x^6 - x^5 - 6x^4 - 2x^3 \\
  342. &\quad - 2x^6 - 6x^5 + 2x^4 + 12x^3 + 4x^2 \\
  343. &\quad + 2x^5 + 6x^4 - 2x^3 - 12x^2 - 4x \\
  344. &= x^7 + x^6 - 5x^5 + 2x^4 + 8x^3 - 8x^2 - 4x
  345. \end{aligned}
  346. \end{equation*}
  347.  
  348. $\therefore [f;g] = x^7 + x^6 - 5x^5 + 2x^4 + 8x^3 - 8x^2 - 4x$
  349.  
  350. \end{enumerate}
  351.  
  352.  
  353. \setItemnumber{16}
  354. \item Sea $p(x) \in F[x] .$ Muestra que $p(x)$ es irreducible si $\mathrm{v}$ sólo si, para cualesquiera
  355. $f(x), g(x) \in F[x], p(x) | f(x) \cdot g(x)$ implica $p(x) | f(x)$ ó $p(x) | g(x)$.
  356. \begin{proof}
  357. ($\entonces$)Supongamos que $ f(x) $es irreducible, y que $ p(x) \nmid f(x) $. \\
  358. \PD $p(x) | g(x)$\\
  359. Ya que $ f(x)$es irreducible y $ p(x) \nmid f(x)$, entonces tenemos que
  360. $ (f(x); p(x) ) = 1$, de modo que:
  361. $$ p(x) s(x) + f(x) t(x) = 1$$
  362. para algunos $ t(x),s(x)\in K[x]$.\\
  363. \begin{equation*}
  364. \begin{aligned}
  365. p(x) s(x) + f(x) t(x) &= 1\\
  366. g(x) [ p(x) s(x) + f(x) t(x)] &= g(x)\\
  367. g(x) p(x) s(x) + g(x) f(x) t(x) &=
  368. \end{aligned}
  369. \end{equation*}
  370. Por hipotesis sabemos que $ p(x) | f(x) g(x) \entonces f(x) g(x) = p(x) z(x) $
  371. para algun $ z(x) \in K[x] $.\\
  372. \begin{equation*}
  373. \begin{aligned}
  374. g(x) p(x) s(x) + g(x) f(x) t(x) &= g(x) \\
  375. g(x) p(x) s(x) + p(x) z(x) t(x) &= \\
  376. p(x) [g(x) s(x) + z(x) t(x) ] &=
  377. \end{aligned}
  378. \end{equation*}
  379. Sea $ \gamma (x) = g(x) s(x) + z(x) t(x)$, claramente $ \gamma (x) \in K[x]$
  380. de modo que $ g(x) = p(x) \gamma (x) \entonces p(x) | g(x)$ \\
  381. \\
  382. ($\regreso$) Supongamos que $ \forall f(x), g(x) \in F[x], p(x) | f(x) \cdot
  383. g(x)\entonces p(x) | f(x)$. Sean $ a(x),b(x) \in F[x]$ tal que $ p(x) = a(x) b(x) $,
  384. entonces $ p(x) | a(X) b(x) $. Por hipotesis $ p(x) | a(x)$ o $ p(x)| b(x) $. Supongamos
  385. que $ p(x) | a(x) \entonces a(x) = p(x) q(x) $ para algun $ q(x) \in F[x]$ , de este modo
  386. $ p(x) = a(x) b(x) = [p(x) q(x)] b(x) \entonces 1 = q(x) b(x)$, notamos que $ \delta(1) =0$
  387. de modo que $ 0 = \delta (q(x)b(x)) = \delta (q(x)) + \delta (b(x)) $, por lo tanto
  388. $ \delta (b(x)) = 0$, por lo tanto tal polinomio es constante , pero como por hipotesis
  389. $ p(x) = a(x) b(x) $, de modo que $ p(x) $ es irreducible.
  390. \end{proof}
  391.  
  392. \setItemnumber{18}
  393. \item Determina la multiplicidad de la raíz $\alpha = 1$ en cada uno de los
  394. siguientes polinomios en $\C[x]$:
  395.  
  396. \begin{enumerate}
  397. \item $f(x) = x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$
  398.  
  399. \polyhornerscheme[x=1]{x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1}
  400.  
  401. \polyhornerscheme[x=1]{x^3 - x^2 + x - 1}
  402.  
  403. \polyhornerscheme[x=1]{x^2 + 1}
  404.  
  405. $\therefore \alpha$ es de multiplicidad $2$.
  406.  
  407. \item $g(x) = x^4 - (2-2i)x^3 - 4ix^2 + (2+2i)x - 1$
  408.  
  409. \polyhornerscheme[x=1]{x^4 + (-2+2i)x^3 - 4ix^2 + (2+2i)x - 1}
  410.  
  411. \polyhornerscheme[x=1]{x^3 +(-1+2i)x^2 + (-1-2i)x + 1}
  412.  
  413. \polyhornerscheme[x=1]{x^2 + 2ix - 1}
  414.  
  415. $\therefore \alpha$ es de multiplicidad $2$.
  416. \end{enumerate}
  417.  
  418.  
  419. \setItemnumber{19}
  420. \item Demuestra que los siguientes enunciados son equivalentes:
  421. \begin{enumerate}
  422. \item Todo $f(x) \in \mathbb{C}[x]$ de grado positivo tiene todas sus raíces
  423. en $\mathbb{C} .$
  424. \item Todo $f(x) \in \mathbb{C}[x]$ de grado positivo tiene alguna de sus raíces
  425. en $\mathbb{C} .$
  426. \end{enumerate}
  427. \begin{proof}
  428. $(1) \entonces (2)$\\
  429. Como consecuencia directa de $(1)$ podemos asegurar que $ \exists r \in \C$ tal que
  430. r es raiz del $ f(x)$.\\
  431. $(2) \entonces (1) $\\
  432. Supongamos que $ f(x) \in \C [x] $, con $ gr(f) >0$ tiene alguna raiz en $ \C$
  433. Por induccion en $ gr(f(x))$.\\
  434. \textbf{Paso base} \\
  435. Sea $f(x) a_1 x^1 + a_0$ con $ a_1, a_0 \in \C$\\
  436. \begin{equation*}
  437. \begin{aligned}
  438. a_1 x^1 + a_0 = 0 & \syss a_1 x = - a_0 \\
  439. & \syss x = \frac{a_0}{a_1} \in \C\\
  440. \end{aligned}
  441. \end{equation*}
  442. De modo que $ f(x) $ tiene todas sus raices en $ \C$ ya que su grado es 1.\\
  443. \textbf{HI} \\
  444. Supongamos que $ \forall f(x) \in \C [x]$ con $ gr(f(x) ) = k$, tiene todas sus
  445. raices en $ \C$
  446. \textbf{Paso inductivo} \\
  447. Supongamos que $ f(x) = a_{k+1} x^{k+1} + ...+ a_0 $tiene raiz $ b \in \C $,
  448. sabemos que $ (x- b) | f(x)$
  449. \begin{equation*}
  450. \begin{aligned}
  451. f(x) = (x-b) h(x) & \entonces gr(f(x)) = gr(x-b) + gr(h) \\
  452. & \entonces k+1 = 1 +m \\
  453. & \entonces k = m \\
  454. & \entonces gr(h) = k \\
  455. \end{aligned}
  456. \end{equation*}
  457. Por la hipotesis de induccion podemos asegurar que $ h(x)$ tiene k raices en
  458. $ \C$, de modo que f(x) tiene $ k+1 $ raices.\\
  459.  
  460. \end{proof}
  461. \setItemnumber{20}
  462. \item Construye un polinomio en $\C[x]$ de grado mínimo que tenga por
  463. raíz doble a $1$ y como raíces simples a $2$ y $1+i$.
  464.  
  465. Buscamos una $f(x)$ tal que:
  466. $$f(x) = (x-1)^2(x-2)(x-(1+i))$$
  467.  
  468. Desarrollando tenemos:
  469.  
  470. \begin{equation*}
  471. \begin{aligned}
  472. f(x) &= (x^2 - 2x + 1)(x - 2)(x - (1+i)) \\
  473. &= (x^3-2x^2+x-2x^2+4x-2)(x-(1+i)) \\
  474. &= (x^3-4x^2+5x-2)(x-(1+i)) \\
  475. &= x^4-4x^3+5x^2-2x-(1+i)x^3+4(1+i)x^2-5(1+i)x+2(1+i) \\
  476. &= x^4-(5+i)x^3+(9+4i)x^2-(7+5i)x+(2+i)
  477. \end{aligned}
  478. \end{equation*}
  479.  
  480.  
  481. \setItemnumber{21}
  482. \item Sea $f(x)=x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}+14 x+26 \in \mathbb{R}[x]$ . Sabiendo que 3 2i es una
  483. raíz de , encuentra la descomposición de como producto de polinomios
  484. irreducibles en. Cuál sería la descomposición de como producto de
  485. irreducibles en ?
  486. La descomposicion en $ \R$ se obtiene de la siguiente forma:
  487. \begin{equation*}
  488. \begin{aligned}
  489. f(x) &= (x - ( 3 - 2i) q_1 (x) \\
  490. q_1 (x) &= x^3 + (-1 +2) x^2 + (-4 +4i )x + (-16 + 9i) \\
  491. &= (x- ( 3 + 2i)) (x^2 +2x +2) \\
  492. f(x) &= (x - ( 3 - 2i) (x- ( 3 + 2i)) (x^2 +2x +2 ) \\
  493. &= (x^2 -6x + 13)(x^2 +2x +2 )
  494. \end{aligned}
  495. \end{equation*}
  496. Por otra parte la descomposicion en $ \C$ es :
  497. \begin{equation*}
  498. \begin{aligned}
  499. f(x) &= (x - ( 3 - 2i) (x- ( 3 + 2i)) (x^2 +2x +2 ) \\
  500. &= (x - ( 3 - 2i) (x- ( 3 + 2i)) (x -( 1+ i)) (x -(1-i))
  501. \end{aligned}
  502. \end{equation*}
  503. \setItemnumber{22}
  504. \item Utilizando el método de Horner calcula $\sqrt3$ con dos cifras
  505. decimales.
  506.  
  507. \begin{equation*}
  508. \begin{aligned}
  509. x = \sqrt3 &\entonces x^2 = 3 \\
  510. &\entonces x^2 - 3 = 0
  511. \end{aligned}
  512. \end{equation*}
  513.  
  514. Sea $f(x) = x^2-3$. Luego, como $1^2=1$ y $2^2=4 \entonces 1 < \sqrt3
  515. < 2$
  516.  
  517. Evaluando:
  518.  
  519. \polyhornerscheme[x=11/10]{x^2-3}
  520. \polyhornerscheme[x=12/10]{x^2-3}
  521. \polyhornerscheme[x=13/10]{x^2-3}
  522.  
  523. \polyhornerscheme[x=14/10]{x^2-3}
  524. \polyhornerscheme[x=15/10]{x^2-3}
  525. \polyhornerscheme[x=16/10]{x^2-3}
  526.  
  527. \polyhornerscheme[x=17/10]{x^2-3}
  528. \polyhornerscheme[x=18/10]{x^2-3}
  529.  
  530. \polyhornerscheme[x=171/100]{x^2-3}
  531. \polyhornerscheme[x=172/100]{x^2-3}
  532. \polyhornerscheme[x=174/100]{x^2-3}
  533.  
  534. $\therefore \sqrt3\approx1.74$
  535.  
  536.  
  537. \setItemnumber{23}
  538. \item Sea $f(x)=x^{3}-7 x+7 \in \mathbb{R}[x]$ \\
  539. \begin{enumerate}
  540. \item Encuentra la sucesión de Sturm de $f(x)$ \\
  541. \polylongdiv{x^3 -7x +7 }{3x^2 - 7}
  542. \\
  543. \polylongdiv{ 3x^2 - 7}{- \frac{14}{3}x + 7 }
  544.  
  545.  
  546. De este modo tenemos que:
  547. \begin{equation*}
  548. \begin{aligned}
  549. x^3 -7x + 7 &= (3x^2 - 7)( \frac{1x}{3}) + ( - \frac{14x}{3} +7) \\
  550. 3x^2 - 7 &= ( - \frac{14x}{3} +7) ( \frac{9x}{14} - \frac{27}{28} ) +(- \frac{1}{4})
  551. \end{aligned}
  552. \end{equation*}
  553. De modo que la sucesion de Strum de $ f(x) $es :
  554. \begin{equation*}
  555. \begin{aligned}
  556. f(x) &= x^3 -7x + 7 \\
  557. f_1 (x) &= 3x^2 -7 \\
  558. f_2 (x) &= - \frac{14x}{3} +7 \\
  559. f_3 (x) &= - \frac{1}{4}
  560. \end{aligned}
  561. \end{equation*}
  562. \item Usando el Teorema de Sturm determina el número de raíces reales
  563. que $ f(x) $tiene entre:
  564. \begin{enumerate}
  565. \item $-4 \quad y-3$
  566. \begin{equation*}
  567. \begin{aligned}
  568. f(-4) &= (-4)^3 -7(-4) + 7 = -29 \\
  569. f_1 (-4) &= (-4)^2 -7 = 41\\
  570. f_2 (-4) &= - \frac{14(-4)}{3} +7 \approx 25 \\
  571. f_3 (-4) &= - \frac{1}{4}
  572. \end{aligned}
  573. \end{equation*}
  574. De modo que $ V_f ( -4) = 2$
  575. \begin{equation*}
  576. \begin{aligned}
  577. f(-3) &= (-3)^3 -7(-3) + 7 = 1 \\
  578. f_1 (x) &= (-3)^2 -7 = 20\\
  579. f_2 (x) &= - \frac{14(-3)}{3} +7 = 21 \\
  580. f_3 (x) &= - \frac{1}{4}
  581. \end{aligned}
  582. \end{equation*}
  583. Analogamente $ V_f (-3) = 1$, por tanto hay una raiz en este intervalo
  584.  
  585. \item $-1 \quad \mathrm{y} \quad 0$
  586. \begin{equation*}
  587. \begin{aligned}
  588. f(-1) &= (-1)^3 -7(-1) + 7 = 13 \\
  589. f_1 (-1) &= (-1)^2 -7 = - 6 \\
  590. f_2 (-1) &= - \frac{14(-1)}{3} +7 \approx 11 \\
  591. f_3 (-1) &= - \frac{1}{4}
  592. \end{aligned}
  593. \end{equation*}
  594. De modo que $ V_f ( -4) = 3 $
  595. \begin{equation*}
  596. \begin{aligned}
  597. f(0) &= (0)^3 -7(0) + 7 = 7 \\
  598. f_1 (0) &= (0)^2-7 = -7\\
  599. f_2 (0) &= - \frac{14(0)}{3} +7 = 7 \\
  600. f_3 (0) &= - \frac{1}{4}
  601. \end{aligned}
  602. \end{equation*}
  603. Analogamente $ V_f (-3) = 3$, por tanto no hay raices en este intervalo
  604.  
  605. \item $ 1 \mathrm{y} \quad 2$
  606. \begin{equation*}
  607. \begin{aligned}
  608. f(1) &= (1)^3 -7(1) + 7 = 1 \\
  609. f_1 (1) &= (1)^2 -7 = - 6 \\
  610. f_2 (1) &= - \frac{14(1)}{3} +7 = \frac{7}{3} \\
  611. f_3 (1) &= - \frac{1}{4}
  612. \end{aligned}
  613. \end{equation*}
  614. De modo que $ V_f ( -4) = 3 $
  615. \begin{equation*}
  616. \begin{aligned}
  617. f(2) &= (2)^3 -7(2) + 7 = 1 \\
  618. f_1 (2) &= (2)^2 -7 = 5 \\
  619. f_2 (2) &= - \frac{14(2)}{3} +7 = - \frac{7}{3} \\
  620. f_3 (2) &= - \frac{1}{4}
  621. \end{aligned}
  622. \end{equation*}
  623. Analogamente $ V_f (-3) = 1$, por tanto hay dos raices en este intervalo
  624.  
  625.  
  626. \end{enumerate}
  627.  
  628. \item Aproximamos las raices en los intervalos
  629. \begin{enumerate}
  630. \item $ -4 . -2$.\\
  631.  
  632. \polyhornerscheme[x=-39/10]{x^{3}-7 x+7}
  633. \polyhornerscheme[x=-38/10]{x^{3}-7 x+7}
  634.  
  635. \polyhornerscheme[x=-37/10]{x^{3}-7 x+7}
  636. \polyhornerscheme[x=-36/10]{x^{3}-7 x+7}
  637.  
  638. \polyhornerscheme[x=-35/10]{x^{3}-7 x+7}
  639. \polyhornerscheme[x=-34/10]{x^{3}-7 x+7}
  640.  
  641. \polyhornerscheme[x=-33/10]{x^{3}-7 x+7}
  642. \polyhornerscheme[x=-32/10]{x^{3}-7 x+7}
  643. \polyhornerscheme[x=-31/10]{x^{3}-7 x+7}
  644.  
  645.  
  646. \polyhornerscheme[x=-30/10]{x^{3}-7 x+7}
  647. \polyhornerscheme[x=-75/25]{x^{3}-7 x+7}
  648. De modo que la raiz es $ \approx 3.04$
  649.  
  650. \end{enumerate}
  651. \end{enumerate}
  652. \end{enumerate}
  653. \end{document}
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