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Untitled

a guest Sep 18th, 2019 100 Never
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  1. \documentclass[11pt]{article}
  2.  
  3. %Gummi|065|=)
  4.  
  5. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  6. %%ATAJOS UTILES------------------------------------
  7. \newcommand{\PD}{\textbf{Por demostrar:  }}
  8. \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
  9. \newcommand{\C}{\mathbb{C}}
  10. \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
  11. \newcommand{\I}{\mathcal{I}}
  12. \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
  13. \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
  14. \newcommand{\integraldef}[2]{\int_{#1}^{#2}}
  15. \newcommand{\Caso}{\textbf{Caso}}
  16. \newcommand{\entonces}{\Rightarrow}
  17. \newcommand{\sii}{\syss}
  18. \newcommand{\syss}{\Leftrightarrow}
  19. \newcommand{\regreso}{\Leftarrow}
  20. \newcommand{\derivada}[1]{\frac{d}{d #1}}
  21. \newcommand\Mydiv[2]{%
  22. \strut#1\Rern.25em\smash{\raise.3ex\hbox{\big)}}\mRern-8mu
  23.         \overline{\enspace\strut#2}}
  24. \newcommand\setItemnumber[1]{\setcounter{enumi}{\numexpr#1-1\relax}}
  25.  
  26. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  27.  
  28. \usepackage[spanish]{babel}
  29. \usepackage[utf8]{inputenc}
  30. \usepackage{mathtools}
  31. \usepackage{amsthm}
  32. \usepackage{amsfonts}
  33. \usepackage{graphicx}
  34. \usepackage{amsmath}
  35. \usepackage{amssymb}
  36. \usepackage{tabularx}
  37. \usepackage{mathrsfs}
  38. \usepackage{polynom}
  39. %% Esto te permite poner caso durante las demostraciones
  40. \newtheorem*{remark}{Caso}
  41.  
  42. %% Cambios en el tipo de papel
  43. \usepackage[
  44.   top=1.5cm,
  45.   bottom=2cm,
  46.   left=1cm,
  47.   right=1cm,
  48.   heightrounded,
  49. ]{geometry}
  50.  
  51.  
  52.  
  53. \begin{document}
  54.  
  55.  
  56. \title{Tarea de algebra superior}
  57. \author{Alejandro Cano Hernandez \\Rubalcava Cortés Javier Roberto}
  58. \date{}
  59.  
  60. \maketitle
  61.  
  62. \begin{enumerate}
  63.     \setItemnumber{5}
  64.     \item Sean $f(x), g(x) \in F[x]$ con $g(x)\neq0$. Asumamos que
  65.         $f(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x)$, donde $r(x)=0$ ó $gr(r) < gr(g)$.
  66.         Prueba que $(gx) \mid f(x)$ si y sólo si $r(x) = 0$.
  67.  
  68.         \begin{proof}
  69.  
  70.             $\entonces$) Sup $g(x) \mid f(x)$
  71.  
  72.             \PD $r(x) = 0$
  73.  
  74.             Entonces, por definición de $\mid$ tenemos que
  75.             $f(x) = g(x) \cdot q(x)$ y por hipótesis
  76.             $f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$
  77.  
  78.             $\therefore$ $g(x) \cdot q(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ $\entonces$
  79.             $r(x) = 0$ que es lo que se quería probar.
  80.  
  81.             $\regreso$) Sup $r(x) = 0$
  82.  
  83.             \PD $g(x) \mid f(x)$
  84.  
  85.             Por hipótesis tenemos:
  86.  
  87.             \begin{equation*}
  88.             \begin{aligned}
  89.                 f(x) &= g(x) \cdot q(x) + r(x) \\
  90.                      &= g(x) \cdot q(x) + \hat{0} \\
  91.                      &= g(x) \cdot q(x)
  92.             \end{aligned}
  93.             \end{equation*}
  94.  
  95.             $\therefore \exists q(x) \in F[x] : f(x) = g(x) \cdot q(x)$, ed,
  96.             $g(x) \mid q(x)$
  97.  
  98.         \end{proof}
  99.  
  100.  
  101.     %%By Rubal
  102.     %%Creo que esta demostracion parece estar hecha para una clase de calculo
  103.     \setItemnumber{6}
  104.     \item Si $a, b \in F,$ demuestra que $(x-a) |(x-b)$ si $y$ sólo si $a=b$ :\\
  105.         \begin{proof}
  106.             \PD $a = b$\\
  107.             \PD $a -b = 0$
  108.             Sea $ f:F \mapsto f$, tal que $ f(x) = x-b$. Por el algoritmo de la division aseguramos la existencia de $ q(x) \in F[x]$, de modo que
  109.             $ x-b = (x-a) q(x) + r(x)$, pero por hipotesis tenemos que $(x-a) |(x-b) $, por el inciso (5) sabemos que  $(x-a) |(x-b) \sii r(x) = 0 $
  110.             por lo tanto: $ f(x) = x-b = (x-a)q(x)$.
  111.                 \begin{equation*}
  112.                     \begin{aligned}
  113.                         f(a) &= a-b = (a-a)q(x)\\
  114.                              &\syss a-b = (0)q(x)\\
  115.                              &\syss a-b = 0\\
  116.                              &\syss a = b
  117.                     \end{aligned}
  118.                 \end{equation*}
  119.         \end{proof}
  120.  
  121.     \setItemnumber{7}
  122.     \item Para qué valores de $a\in\R$ se cumple que:
  123.         $$(x^2+ax-a^2)\mid(x^3+ax^2-4x-a+2)$$
  124.  
  125.         Veamos para qué valores el resuiduo es cero:
  126.  
  127.         Sean $f(x)=(x^3+ax^2-4x-a+2)$, $g(x) = (x^2+ax-a^2)$
  128.  
  129.         \polylongdiv{x^3+ax^2-4x-a+2}{x^2+ax-a^2}
  130.  
  131.         Veamos cuando:
  132.         \begin{equation*}
  133.         \begin{aligned}
  134.             (a^2-4)x + (-a+2) = 0 &\entonces (a^2-4)x + (-a+2) = 0x + 0\\
  135.             &\entonces
  136.              \begin{cases} (a^2-4)=0 \\ -a+2=0 \end{cases} \\
  137.             &\entonces a = 2
  138.         \end{aligned}
  139.         \end{equation*}
  140.  
  141.  
  142.     \setItemnumber{9}
  143.     \item  Sea $a \in F \mathrm{y} \operatorname{sean} f(x), g(x) \in F[x] .$ Si $x-a | f(x)$ y $x-a \nmid g(x),$
  144.         prueba que$x-a \nmid f(x)+g(x)$ :\\
  145.         \begin{proof}
  146.             Sea $ f(x) + g(x) = \gamma(x)$\\
  147.             \PD $x-a \nmid \gamma(x)$ \\
  148.             Supongamos que $ x-a | f(x) + g(x) $ para alcanzar una contradiccion. Por el teorema
  149.             del factor podemos asegurar que $x-a | f(x) \sii f(a) = 0$, analogamente
  150.             podemos decir que $x-a \nmid f(x) \sii f(a) \neq 0$.
  151.                 \begin{equation*}
  152.                     \begin{aligned}
  153.                         x-a | \gamma(x) & \sii \gamma(a) = 0  &&\text{ Por el teorema del factor .}\\
  154.                         \text{ De este modo: }
  155.                         0 &= \gamma (a) \\
  156.                           &= f(a) + g(a)\\
  157.                           &= 0 + g(a) && \text{ Por hipotesis } f(a) = 0\\
  158.                           &= g(a) \\
  159.                           &\neq 0
  160.                     \end{aligned}
  161.                 \end{equation*}
  162.             Lo cual es una contradiccion debida a suponer que $ x-a | f(x) + g(x) $.
  163.         \end{proof}
  164.     \setItemnumber{10}
  165.     \item Por medio del método de Ruffini (división sintética) realiza
  166.         \textbf{dos} de las cosas que en seguida se piden:
  167.  
  168.         \begin{enumerate}
  169.             \item Encuentra el cociente y el residuo de dividir
  170.                 $3x^3 + x^2 + x - 5$ entre $x + 2$
  171.  
  172.                 \polyhornerscheme[x=-2]{3x^3 + x^2 + x - 5}
  173.  
  174.                 $\therefore q(x) = 3x^2 - 5x + 11$, $r(x) = -27$
  175.  
  176.             \item Calcula el valor del polinomio
  177.                 $31x^5 + 17x^4 - x^2 + 1$ al ser evaluado en $3$.
  178.  
  179.        
  180.                 \polyhornerscheme[x=3]{31x^5 + 17x^4 - x^2 + 1}
  181.  
  182.                 $\therefore f(3) = 8902$
  183.         \end{enumerate}
  184.  
  185.         \setItemnumber{11}
  186.     \item  Para dos de los siguientes incisos expresa el polinomio $ f(x)$ en términos de
  187.         potencias de $ g(x)$ :
  188.        \begin{enumerate}
  189.            \item $f(x)=x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}-4 x+1 \quad \quad g(x)=x+1$ \\
  190.  \polylongdiv{x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x +1 }{x+1}
  191.    
  192.     \polylongdiv{ x^3 + x^2 - 4x }{x+1}
  193.  
  194.     \polylongdiv{ x^2 - 4}{x+1}
  195.  
  196.      De este modo:
  197.         \begin{equation*}
  198.             \begin{aligned}
  199.                 x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}-4 x+1 &= (x+1)(x^3 + x^2 - 4x) + 1  \\
  200.                                             &= (x+1)[(x+1 )( x^2 -4) +4 ] + 1  \\
  201.                                             &= (x+1)[(x+1 )[ (x + 1)( x- 1) - 3 ] +4 ] + 1  \\
  202.                                             &= (x+1)[(x+1 )^{2} ( x- 1) - 3 (x+1)  +4 ] + 1  \\
  203.                                             &= (x+1 )^{3} ( x- 1) - 3 (x+1)^2 +4 (x+1)^1 + 1 (x+1)^0  \\
  204.             \end{aligned}
  205.         \end{equation*}
  206. \item $f(x)= x^{5} +1 \quad \quad g(x)=x-2$ \\
  207.  \polylongdiv{ x^{5}+1}{x-2}
  208.    
  209.     \polylongdiv{ x^4 +2 x^3 +4x^2 + 8x + 16 }{x-2}
  210.  
  211.     \polylongdiv{x^3 + 4x^2 + 12x + 32 }{x-2}
  212.  
  213.     \polylongdiv{ x^2 + 6x + 24 }{x-2}
  214.  
  215.  
  216.      De este modo:
  217.         \begin{equation*}
  218.             \begin{aligned}
  219.                 x^{5} +1 &= (x -2)(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x +16) + 33  \\
  220.                          &= (x -2)[(x -2) (x^3 + 4x^2 + 12x^ + 80 ) ] + 33 \\
  221.                          &= (x-2)[(x-2 )[ (x-2)(x^2 +6x + 24 ) + 80  ] + 80 ] + 33  \\
  222.                          &= (x-2)[(x-2 )[ (x-2)[ (x-2)(x+ 8) + 40  ] + 80  ] + 80 ] + 33  \\
  223.                          &= (x-2)[(x-2 )[ (x-2)^2 (x+ 8) + 40 (x-2)  ] + 80  ] + 80 ] + 33  \\
  224.                          &= (x-2)[(x-2)^3 (x+ 8) + 40 (x-2)^2    + 80(x-2)  + 80 ] + 33  \\
  225.                          &= (x-2)^4 (x+ 8) + 40 (x-2)^3    + 80(x-2)^2   + 80(x-2) +   33  \\
  226.             \end{aligned}
  227.         \end{equation*}
  228.  
  229.     \item $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 \quad g(x)=x^{2}+2 x+1$ \\
  230.     \polylongdiv{ x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 }{x^{2}+2 x+1}
  231.    
  232.     \polylongdiv{ x^2 - x +2  }{x^{2}+2 x+1}
  233.  
  234.  
  235.  
  236.      De este modo:
  237.         \begin{equation*}
  238.             \begin{aligned}
  239.                 x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 &= (x^{2}+2 x+1) (x^2 -x +2 ) + (-2x -1)  \\
  240.                                       &= (x^{2}+2 x+1) [ (x^{2}+2 x+1) (1) + (-3x +1) ] + (-2x -1)  \\
  241.                                       &=  (x^{2}+2 x+1)^2  + (x^{2}+2 x+1)(-3x +1)  + (-2x -1)  \\
  242.             \end{aligned}
  243.         \end{equation*}
  244.        \end{enumerate}
  245.  
  246.    
  247. \setItemnumber{15}
  248.     \item Calcula el $m.c.d.$ y el $m.c.m.$ de \textbf{una} de las siguientes
  249.         parejas de polinomios en $\Q[x]$, luego expresa su $m.c.d.$ como
  250.         combinación lineal de ellos:
  251.  
  252.         \begin{enumerate}
  253.             \setcounter{enumii}{2}
  254.             \item $f(x) = x^5 + x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 2x$,
  255.                 $g(x) = x^4 + 3x^3 - x^2 - 6x - 2$
  256.  
  257.                 Veamos $(f;g)$:
  258.  
  259.                 \polylongdiv{x^5 + x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 2x}
  260.                     {x^4 + 3x^3 - x^2 - 6x - 2}
  261.  
  262.                 Sean $q_1(x) = x - 2$, $r_1(x) = 4x^3 + 8x^2 - 8x - 4$
  263.  
  264.                 Procedamos.
  265.  
  266.                 \polylongdiv{x^4 + 3x^3 - x^2 - 6x - 2}
  267.                     {4x^3 + 8x^2 - 8x - 4}
  268.  
  269.                 Sean $q_2(x) = \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}$,
  270.                 $r_2(x) = -x^2 - 3x - 1$
  271.  
  272.                 Procedamos.
  273.  
  274.                 \polylongdiv{4x^3 + 8x^2 - 8x - 4}
  275.                     {-x^2 - 3x - 1}
  276.  
  277.                 Y al encontrarnos al primer residuo distinto de cero, aseguramos
  278.                 que $(f;g)$ es $r_2(x)$ mónico, es decir, $(f;g) = x^2 + 3x + 1$
  279.  
  280.                 Luego, observamos que:
  281.  
  282.                 \begin{equation*}
  283.                 \begin{aligned}
  284.                     f(x) &= g(x)q_1(x) + r_1(x) \\
  285.                     g(x) &= r_1(x)q_2(x) + r_2(x)
  286.                 \end{aligned}
  287.                 \end{equation*}
  288.  
  289.                 Entonces despejando y sustituyendo, podemos realizar el
  290.                 procedimiento siguiente:
  291.  
  292.                 \begin{equation*}
  293.                 \begin{aligned}
  294.                     r_2(x) &= g(x) - r_1(x)q_2(x) \\
  295.                     &r_1(x) = f(x) - g(x)q_1(x) \\
  296.                     r_2(x) &= g(x) - q_2(x)[f(x) - g(x)q_1(x)] \\
  297.                     &= g(x) - q_2(x)f(x) + g(x)q_2(x)q_1(x) \\
  298.                     &= [-q_2(x)]f(x) + [q_2(x)q_1(x) + 1]g(x) \\
  299.                 \end{aligned}
  300.                 \end{equation*}
  301.  
  302.                 Luego, notemos que $(f;g) = x^2 + 3x + 1 = -r_2(x)$
  303.  
  304.                 Entonces la combinación lineal que buscamos es:
  305.  
  306.                 $$-r_2(x) = [q_2(x)]f(x) + [-q_2(x)q_1(x) - 1]g(x) $$
  307.  
  308.                 Desarollando obtenemos:
  309.  
  310.                 \begin{equation*}
  311.                 \begin{aligned}
  312.                     -q_2(x)q_1(x) - 1 &= -(q_2(x)q_1(x) + 1) \\
  313.                     &= -\Big[\Big(\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}\Big)(x - 2)
  314.                      + 1\Big] \\
  315.                     &= -\big[\frac{1}{4}x^2 - \frac{2}{4}x + \frac{1}{4}x
  316.                      - \frac{1}{2} + 1\Big]
  317.                     &= -\Big[\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}\Big] \\
  318.                     &= -\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}x - \frac{1}{2}
  319.                 \end{aligned}
  320.                 \end{equation*}
  321.  
  322.                 Finalmente, la combinación lineal buscada es:
  323.                 $$\Big[\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}\Big]f(x) +
  324.                 \Big[\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}x - \frac{1}{2}\Big]g(x)$$
  325.  
  326.                 Ahora veamos el mínimo común múltiplo. Por definición:
  327.                 $$[f;g] = \frac{f(x)g(x)}{(f;g)}$$, pero como:
  328.  
  329.                 \polylongdiv{x^5 + x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 2x}
  330.                     {x^2 + 3x + 1}
  331.  
  332.                 Entonces $f(x) = (x^2 + 3x + 1)(x^3 - 2x^2 + 2x)$ y por lo tanto
  333.                 tenemos:
  334.  
  335.                 \begin{equation*}
  336.                 \begin{aligned}
  337.                     [f;g] &= \frac{f(x)g(x)}{(f;g)} \\
  338.                     &=  \frac{(x^2 + 3x + 1)(x^3 - 2x^2 + 2x)
  339.                      (x^4 + 3x^3 - x^2 - 6x - 2)}{x^2 + 3x + 1} \\
  340.                     &= (x^3 - 2x^2 + 2x)(x^4 + 3x^3 - x^2 - 6x - 2) \\
  341.                     &= x^7 + 3x^6 - x^5 - 6x^4 - 2x^3 \\
  342.                      &\quad - 2x^6 - 6x^5 + 2x^4 + 12x^3 + 4x^2 \\
  343.                      &\quad + 2x^5 + 6x^4 - 2x^3 - 12x^2 - 4x \\
  344.                     &= x^7 + x^6 - 5x^5 + 2x^4 + 8x^3 - 8x^2 - 4x
  345.                 \end{aligned}
  346.                 \end{equation*}
  347.  
  348.                 $\therefore [f;g] = x^7 + x^6 - 5x^5 + 2x^4 + 8x^3 - 8x^2 - 4x$
  349.  
  350.         \end{enumerate}
  351.  
  352.    
  353.     \setItemnumber{16}
  354.     \item  Sea $p(x) \in F[x] .$ Muestra que $p(x)$ es irreducible si $\mathrm{v}$ sólo si, para cualesquiera
  355.         $f(x), g(x) \in F[x], p(x) | f(x) \cdot g(x)$ implica $p(x) | f(x)$ ó $p(x) | g(x)$.
  356.         \begin{proof}
  357.             ($\entonces$)Supongamos que $ f(x) $es irreducible, y que $ p(x) \nmid f(x) $. \\
  358.             \PD $p(x) | g(x)$\\
  359.             Ya que $ f(x)$es irreducible y $ p(x) \nmid f(x)$, entonces tenemos que
  360.             $ (f(x); p(x) ) = 1$, de modo que:
  361.             $$ p(x) s(x) + f(x) t(x) = 1$$
  362.             para algunos $ t(x),s(x)\in K[x]$.\\
  363.                 \begin{equation*}
  364.                     \begin{aligned}
  365.                         p(x) s(x) + f(x) t(x) &= 1\\
  366.                         g(x) [  p(x) s(x) + f(x) t(x)] &= g(x)\\
  367.                         g(x) p(x) s(x) + g(x) f(x) t(x) &=
  368.                     \end{aligned}
  369.                 \end{equation*}
  370.                 Por hipotesis sabemos que $ p(x) | f(x) g(x) \entonces f(x) g(x) = p(x) z(x) $
  371.                 para algun $ z(x) \in K[x] $.\\
  372.                     \begin{equation*}
  373.                         \begin{aligned}
  374.                             g(x) p(x) s(x) + g(x) f(x) t(x) &= g(x) \\
  375.                             g(x) p(x) s(x) + p(x) z(x) t(x) &= \\
  376.                             p(x) [g(x) s(x) +  z(x) t(x) ] &=
  377.                         \end{aligned}
  378.                     \end{equation*}
  379.                     Sea $ \gamma (x) = g(x) s(x) +  z(x) t(x)$, claramente $ \gamma (x) \in K[x]$
  380.                     de modo que $ g(x) = p(x) \gamma (x) \entonces p(x) | g(x)$ \\
  381.             \\
  382.             ($\regreso$) Supongamos que $ \forall f(x), g(x) \in F[x], p(x) | f(x) \cdot
  383.             g(x)\entonces p(x) | f(x)$. Sean $ a(x),b(x) \in F[x]$ tal que $ p(x) =  a(x) b(x) $,
  384.             entonces $ p(x) | a(X) b(x) $. Por hipotesis $ p(x) | a(x)$ o $ p(x)| b(x) $. Supongamos
  385.             que $ p(x) | a(x) \entonces a(x) = p(x) q(x)  $ para algun $ q(x) \in F[x]$ , de este modo
  386.             $ p(x) = a(x) b(x) = [p(x) q(x)] b(x) \entonces 1 = q(x) b(x)$, notamos que $ \delta(1) =0$
  387.             de modo que $ 0 = \delta (q(x)b(x)) = \delta (q(x)) + \delta (b(x)) $, por lo tanto
  388.             $ \delta (b(x)) = 0$, por lo tanto tal polinomio es constante , pero como por hipotesis
  389.             $ p(x) = a(x) b(x) $, de modo que $ p(x) $ es irreducible.
  390.         \end{proof}
  391.  
  392.         \setItemnumber{18}
  393.     \item Determina la multiplicidad de la raíz $\alpha = 1$ en cada uno de los
  394.         siguientes polinomios en $\C[x]$:
  395.  
  396.         \begin{enumerate}
  397.             \item $f(x) = x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$
  398.  
  399.                 \polyhornerscheme[x=1]{x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1}
  400.  
  401.                 \polyhornerscheme[x=1]{x^3 - x^2 + x - 1}
  402.  
  403.                 \polyhornerscheme[x=1]{x^2 + 1}
  404.  
  405.                 $\therefore \alpha$ es de multiplicidad $2$.
  406.  
  407.             \item $g(x) = x^4 - (2-2i)x^3 - 4ix^2 + (2+2i)x - 1$
  408.  
  409.                 \polyhornerscheme[x=1]{x^4 + (-2+2i)x^3 - 4ix^2 + (2+2i)x - 1}
  410.  
  411.                 \polyhornerscheme[x=1]{x^3 +(-1+2i)x^2 + (-1-2i)x + 1}
  412.  
  413.                 \polyhornerscheme[x=1]{x^2 + 2ix - 1}
  414.  
  415.                 $\therefore \alpha$ es de multiplicidad $2$.
  416.         \end{enumerate}
  417.  
  418.  
  419.     \setItemnumber{19}
  420.         \item Demuestra que los siguientes enunciados son equivalentes:
  421.             \begin{enumerate}
  422.                 \item Todo $f(x) \in \mathbb{C}[x]$ de grado positivo tiene todas sus raíces
  423.                     en $\mathbb{C} .$
  424.                 \item Todo $f(x) \in \mathbb{C}[x]$ de grado positivo tiene alguna de sus raíces
  425.                     en $\mathbb{C} .$
  426.             \end{enumerate}
  427.             \begin{proof}
  428.                 $(1) \entonces (2)$\\
  429.                 Como consecuencia directa de $(1)$ podemos asegurar que $ \exists r \in \C$ tal que
  430.                 r es raiz del $ f(x)$.\\
  431.                 $(2) \entonces (1) $\\
  432.                 Supongamos que $ f(x) \in \C [x] $, con $ gr(f) >0$ tiene alguna raiz en $ \C$
  433.                 Por induccion en $ gr(f(x))$.\\
  434.                 \textbf{Paso base} \\
  435.                 Sea $f(x) a_1 x^1 + a_0$  con $ a_1, a_0 \in \C$\\
  436.                     \begin{equation*}
  437.                         \begin{aligned}
  438.                             a_1 x^1 + a_0 = 0 & \syss a_1 x = - a_0 \\
  439.                                               & \syss x = \frac{a_0}{a_1} \in \C\\
  440.                         \end{aligned}
  441.                     \end{equation*}
  442.                     De modo que $ f(x) $ tiene todas sus raices en $ \C$ ya que su grado es 1.\\
  443.                 \textbf{HI} \\
  444.                 Supongamos que $ \forall f(x) \in \C [x]$ con $ gr(f(x) ) = k$, tiene todas sus
  445.                 raices en $ \C$
  446.                 \textbf{Paso inductivo} \\
  447.                 Supongamos que $ f(x) = a_{k+1} x^{k+1} + ...+ a_0  $tiene raiz $ b \in \C $,
  448.                 sabemos que $ (x- b) | f(x)$
  449.                     \begin{equation*}
  450.                         \begin{aligned}
  451.                             f(x) = (x-b) h(x) & \entonces gr(f(x)) = gr(x-b) + gr(h) \\
  452.                                               & \entonces k+1 = 1 +m \\
  453.                                               & \entonces k = m \\
  454.                                               & \entonces gr(h) = k \\
  455.                         \end{aligned}
  456.                     \end{equation*}
  457.                     Por la hipotesis de induccion podemos asegurar que $ h(x)$ tiene k raices en
  458.                     $ \C$, de modo que f(x) tiene $ k+1 $ raices.\\
  459.  
  460.             \end{proof}
  461.     \setItemnumber{20}
  462.     \item Construye un polinomio en $\C[x]$ de grado mínimo que tenga por
  463.         raíz doble a $1$ y como raíces simples a $2$ y $1+i$.
  464.  
  465.         Buscamos una $f(x)$ tal que:
  466.         $$f(x) = (x-1)^2(x-2)(x-(1+i))$$
  467.  
  468.         Desarrollando tenemos:
  469.  
  470.         \begin{equation*}
  471.         \begin{aligned}
  472.             f(x) &= (x^2 - 2x + 1)(x - 2)(x - (1+i)) \\
  473.             &= (x^3-2x^2+x-2x^2+4x-2)(x-(1+i)) \\
  474.             &= (x^3-4x^2+5x-2)(x-(1+i)) \\
  475.             &= x^4-4x^3+5x^2-2x-(1+i)x^3+4(1+i)x^2-5(1+i)x+2(1+i) \\
  476.             &= x^4-(5+i)x^3+(9+4i)x^2-(7+5i)x+(2+i)
  477.         \end{aligned}
  478.         \end{equation*}
  479.  
  480.  
  481.         \setItemnumber{21}
  482.     \item Sea $f(x)=x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}+14 x+26 \in \mathbb{R}[x]$ . Sabiendo que 3 2i es una
  483. raíz de  , encuentra la descomposición de como producto de polinomios
  484. irreducibles en. Cuál sería la descomposición de como producto de
  485. irreducibles en ?
  486.         La descomposicion en $ \R$ se obtiene de la siguiente forma:
  487.                 \begin{equation*}
  488.                     \begin{aligned}
  489.                         f(x) &= (x - ( 3 - 2i) q_1 (x) \\
  490.                         q_1 (x) &= x^3 + (-1 +2) x^2 + (-4 +4i )x + (-16 + 9i) \\
  491.                         &= (x- ( 3 + 2i)) (x^2 +2x +2)  \\
  492.                         f(x) &=  (x - ( 3 - 2i) (x- ( 3 + 2i)) (x^2 +2x +2 ) \\
  493.                              &= (x^2 -6x + 13)(x^2 +2x +2 )
  494.                     \end{aligned}
  495.                 \end{equation*}
  496.         Por otra parte la descomposicion en $ \C$ es :
  497.             \begin{equation*}
  498.                 \begin{aligned}
  499.                     f(x) &=  (x - ( 3 - 2i) (x- ( 3 + 2i)) (x^2 +2x +2 ) \\
  500.                          &=  (x - ( 3 - 2i) (x- ( 3 + 2i))  (x -( 1+ i)) (x -(1-i))
  501.                 \end{aligned}
  502.             \end{equation*}
  503.     \setItemnumber{22}
  504.     \item Utilizando el método de Horner calcula $\sqrt3$ con dos cifras
  505.         decimales.
  506.  
  507.         \begin{equation*}
  508.         \begin{aligned}
  509.             x = \sqrt3 &\entonces x^2 = 3 \\
  510.             &\entonces x^2 - 3 = 0
  511.         \end{aligned}
  512.         \end{equation*}
  513.  
  514.         Sea $f(x) = x^2-3$. Luego, como $1^2=1$ y $2^2=4 \entonces 1 < \sqrt3
  515.         < 2$
  516.  
  517.         Evaluando:
  518.  
  519.         \polyhornerscheme[x=11/10]{x^2-3}
  520.         \polyhornerscheme[x=12/10]{x^2-3}
  521.         \polyhornerscheme[x=13/10]{x^2-3}
  522.  
  523.         \polyhornerscheme[x=14/10]{x^2-3}
  524.         \polyhornerscheme[x=15/10]{x^2-3}
  525.         \polyhornerscheme[x=16/10]{x^2-3}
  526.  
  527.         \polyhornerscheme[x=17/10]{x^2-3}
  528.         \polyhornerscheme[x=18/10]{x^2-3}
  529.  
  530.         \polyhornerscheme[x=171/100]{x^2-3}
  531.         \polyhornerscheme[x=172/100]{x^2-3}
  532.         \polyhornerscheme[x=174/100]{x^2-3}
  533.  
  534.         $\therefore \sqrt3\approx1.74$
  535.  
  536.  
  537.     \setItemnumber{23}
  538.     \item Sea $f(x)=x^{3}-7 x+7 \in \mathbb{R}[x]$ \\
  539.         \begin{enumerate}
  540.             \item Encuentra la sucesión de Sturm de $f(x)$ \\
  541.                 \polylongdiv{x^3 -7x +7 }{3x^2 - 7}
  542.                \\
  543.                 \polylongdiv{ 3x^2 - 7}{- \frac{14}{3}x + 7 }
  544.  
  545.  
  546.             De este modo tenemos que:
  547.                     \begin{equation*}
  548.                         \begin{aligned}
  549.                             x^3 -7x + 7 &= (3x^2 - 7)( \frac{1x}{3}) + ( - \frac{14x}{3} +7) \\
  550.                             3x^2 - 7 &= (  - \frac{14x}{3} +7) ( \frac{9x}{14}  - \frac{27}{28} ) +(- \frac{1}{4})
  551.                         \end{aligned}
  552.                     \end{equation*}
  553.                     De modo que la sucesion de Strum de $ f(x) $es :
  554.                         \begin{equation*}
  555.                             \begin{aligned}
  556.                                 f(x) &=  x^3 -7x + 7 \\
  557.                                 f_1 (x) &= 3x^2 -7  \\
  558.                                 f_2 (x) &= - \frac{14x}{3} +7 \\
  559.                                 f_3 (x) &= - \frac{1}{4}
  560.                             \end{aligned}
  561.                         \end{equation*}
  562.             \item Usando el Teorema de Sturm determina el número de raíces reales
  563.                 que $ f(x) $tiene entre:
  564.                 \begin{enumerate}
  565.                     \item $-4 \quad y-3$
  566.                          \begin{equation*}
  567.                             \begin{aligned}
  568.                                 f(-4) &=  (-4)^3 -7(-4) + 7 = -29 \\
  569.                                 f_1 (-4) &= (-4)^2 -7  = 41\\
  570.                                 f_2 (-4) &= - \frac{14(-4)}{3} +7 \approx 25 \\
  571.                                 f_3 (-4) &= - \frac{1}{4}
  572.                             \end{aligned}
  573.                         \end{equation*}
  574.                         De modo que $ V_f ( -4) = 2$
  575.                         \begin{equation*}
  576.                             \begin{aligned}
  577.                                 f(-3) &=  (-3)^3 -7(-3) + 7 = 1 \\
  578.                                 f_1 (x) &= (-3)^2 -7  = 20\\
  579.                                 f_2 (x) &= - \frac{14(-3)}{3} +7 = 21 \\
  580.                                 f_3 (x) &= - \frac{1}{4}
  581.                             \end{aligned}
  582.                         \end{equation*}
  583.                         Analogamente $ V_f (-3) = 1$, por tanto hay una raiz en este intervalo
  584.                    
  585.                     \item $-1 \quad \mathrm{y} \quad 0$
  586.                         \begin{equation*}
  587.                             \begin{aligned}
  588.                                 f(-1) &=  (-1)^3 -7(-1) + 7 =  13 \\
  589.                                 f_1 (-1) &= (-1)^2 -7  = - 6 \\
  590.                                 f_2 (-1) &= - \frac{14(-1)}{3} +7 \approx 11 \\
  591.                                 f_3 (-1) &= - \frac{1}{4}
  592.                             \end{aligned}
  593.                         \end{equation*}
  594.                         De modo que $ V_f ( -4) = 3 $
  595.                         \begin{equation*}
  596.                             \begin{aligned}
  597.                                 f(0) &=  (0)^3 -7(0) + 7 = 7 \\
  598.                                 f_1 (0) &= (0)^2-7  = -7\\
  599.                                 f_2 (0) &= - \frac{14(0)}{3} +7 = 7 \\
  600.                                 f_3 (0) &= - \frac{1}{4}
  601.                             \end{aligned}
  602.                         \end{equation*}
  603.                         Analogamente $ V_f (-3) = 3$, por tanto no hay raices en este intervalo
  604.  
  605.                     \item $ 1 \mathrm{y} \quad 2$
  606. \begin{equation*}
  607.                             \begin{aligned}
  608.                                 f(1) &=  (1)^3 -7(1) + 7 =  1 \\
  609.                                 f_1 (1) &= (1)^2 -7  = - 6 \\
  610.                                 f_2 (1) &= - \frac{14(1)}{3} +7 = \frac{7}{3}  \\
  611.                                 f_3 (1) &= - \frac{1}{4}
  612.                             \end{aligned}
  613.                         \end{equation*}
  614.                         De modo que $ V_f ( -4) = 3 $
  615.                         \begin{equation*}
  616.                             \begin{aligned}
  617.                                 f(2) &=  (2)^3 -7(2) + 7 = 1 \\
  618.                                 f_1 (2) &= (2)^2 -7  =  5 \\
  619.                                 f_2 (2) &= - \frac{14(2)}{3} +7 =  - \frac{7}{3}  \\
  620.                                 f_3 (2) &= - \frac{1}{4}
  621.                             \end{aligned}
  622.                         \end{equation*}
  623.                         Analogamente $ V_f (-3) = 1$, por tanto  hay dos  raices en este intervalo
  624.  
  625.  
  626.                 \end{enumerate}
  627.  
  628.             \item Aproximamos las raices en los intervalos
  629.                 \begin{enumerate}
  630.                     \item $ -4 . -2$.\\
  631.  
  632.         \polyhornerscheme[x=-39/10]{x^{3}-7 x+7}
  633.         \polyhornerscheme[x=-38/10]{x^{3}-7 x+7}
  634.        
  635.         \polyhornerscheme[x=-37/10]{x^{3}-7 x+7}
  636.         \polyhornerscheme[x=-36/10]{x^{3}-7 x+7}
  637.        
  638.         \polyhornerscheme[x=-35/10]{x^{3}-7 x+7}
  639.         \polyhornerscheme[x=-34/10]{x^{3}-7 x+7}
  640.        
  641.         \polyhornerscheme[x=-33/10]{x^{3}-7 x+7}
  642.         \polyhornerscheme[x=-32/10]{x^{3}-7 x+7}
  643.         \polyhornerscheme[x=-31/10]{x^{3}-7 x+7}
  644.        
  645.        
  646.         \polyhornerscheme[x=-30/10]{x^{3}-7 x+7}
  647.         \polyhornerscheme[x=-75/25]{x^{3}-7 x+7}
  648.         De modo que la raiz es $ \approx 3.04$
  649.        
  650.                 \end{enumerate}
  651.         \end{enumerate}
  652. \end{enumerate}
  653. \end{document}
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