\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[left=2cm,right=2cm,
top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

\usepackage{chngcntr}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amssymb}

\usepackage{tikz}

\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }

\usepackage{ dsfont }

\usepackage{wrapfig}
\usepackage{framed}

\usepackage{mdframed}

%for inserting pdf
\usepackage{pdfpages}

% for basis
\usepackage[bbgreekl]{mathbbol}
\DeclareSymbolFontAlphabet{\mathbbold}{bbold}
\DeclareSymbolFontAlphabet{\mathbb}{AMSb}

%\usepackage{MnSymbol,wasysym}

\usepackage{mathtools}
\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil}
\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor}

\usepackage{comment}
\usepackage{systeme}

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\lrarrow}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\rarrow}{\Rightarrow}

\newcommand{\ans}{\textbf{Ответ: }}
\newcommand{\proofend}{%
    \begin{flushright}%
        $\blacksquare$%
    \end{flushright}%
}

\newcounter{solution}

\newcommand{\solution}[1]{%
    \stepcounter{solution}%
    \paragraph{#1)}%
}

\linespread{1.7}

\counterwithin*{equation}{solution}

\newcommand{\osm}{%
    \bar{o}
}

\newcommand{\obg}{%
    \underline{O}
}


\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\partial}
\newcommand{\Dis}{\mathbb{D}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\Cov}{\text{cov}}
\newcommand{\parder}[2]{%
    \dfrac{\partial #1}{\partial #2}%
}
\newcommand{\jac}{\mathbf{J}}

\newcommand{\pardermix}[3]{%
    \dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}%
}

\newcommand{\parderr}[2]{%
    \dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}%
}

\newcommand{\Sum}[1]{%
    \sum \limits_{n=1}^{\infty}%
}

\usepackage{amsthm}
\newtheorem*{claim*}{Утв}
\newtheorem{claim}{Утв}

\renewcommand{\phi}{\varphi}

\usepackage{wasysym}

\begin{document}
    \begin{tabular}{p{0.5\textwidth} p{0.5\textwidth}}
        \begin{flushleft}\bf{ПМИ-201-2 Егоров Егор}\end{flushleft} & \begin{flushright}03/10/2021\end{flushright}
    \end{tabular}

    \solution{1}

    Введём индикаторную случайную величину
    $I_t = \left\{ \begin{aligned}
        &1, \text{ если в $m$-ом ящике ровно 1 шар}\\
        &0, \text{иначе}
    \end{aligned} \right.$

    Тогда $\xi = \displaystyle \sum_{t = 1}^m I_t$\\

    Если $k = 1$, то $\xi = 1, \; \E[\xi] = 1, \; \Dis[\xi] = 0$, пусть далее $k > 1$

    Если $m = 1, k > 1$, то $\xi = 0, \; \E[\xi] = 0, \; \Dis[\xi] = 0$, пусть далее $m > 1$

    \textbf{а)} Найдём $P(I_t = 1)$, если шары неразличимы
    {
    Рассмотрим вероятностное пространство как мн-во всех возможных вариантов раскладки $k$ неразличимых шаров по $m$ ящикам, все раскладки равновероятны, каждой из них взаимно однозначно соответствует последовательность $\{b_1, b_2, \ldots, b_m\}$, где $b_i$ --- кол-во шаров, попавших в $i$-ый ящик, причём $b_1 + \ldots + b_m = k$.\\
    Тогда всего элементарных исходов $\overline{C}^k_m = C^k_{k + m - 1}$.\\

    Раскладок, в которых в $t$-ом ящике ровно 1 шар ---
        $\overline{C}^{k-1}_{m-1} = C^{k-1}_{k+m-3}$ ($k \geq 2, m \geq 2$)
    (раскладываем оставшиеся $k-1$ шаров по остальным $m-1$ ящикам)

    Тогда
    \begin{flalign*}
        \Pr[I_t = 1] &= \overline{C}^{k-1}_{m-1}  \div  \overline{C}^k_m =
            C^{k-1}_{k+m-3} \div C^k_{k + m - 1} =
            \dfrac{(k+m-3)!}{(k-1)! (m-2)!} \cdot \dfrac{k!(m-1)!}{(k+m-1)!} =
            \dfrac{k(m-1)}{(k+m-2)(k+m-1)}
    \end{flalign*}

    Тогда, по линейности математического ожидания:
    \begin{flalign*}
    \bullet \; \E[\xi] &= \E \left[ \sum_{t=1}^m I_t \right] =
        \sum_{t=1}^m \E[I_t] =
        \sum_{t=1}^m \left(1 \cdot \Pr[I_t = 1] + 0 \cdot \Pr[I_t = 0]\right) =
        m \cdot \Pr[I_t = 1] =&\\&=
    \dfrac{k\cdot m(m-1)}{(k+m-2)(k+m-1)}
    \end{flalign*}

    \begin{flalign*}
        \Dis[\xi] &= \E[\xi^2] - (\E[\xi])^2 =
        \E[(I_1 + \ldots I_m)^2] - (\E[I_1 + \ldots + I_m])^2 =
        \E\left[ \sum_{t = 1}^m I^2_t + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq m} I_i \cdot I_j \right] -
        (m\E[I_1])^2 =&\\&=
        %
        m\E[I^2_1] + 2 C^2_m \E[I_1 \cdot I_2] - m^2(\E[I_1])^2 =
        m\E[I_1] + m(m-1)\E[I_1 \cdot I_2] - m^2(\E[I_1])^2
    \end{flalign*}

    $\E[I_1 \cdot I_2] = \Pr[I_1 = 1, I_2 = 1]$ --- вероятность того, что в двух разных ящиках лежит ровно по одному шару

    Раскладок, в которых и в $i$-ом ящике, и в $j$-ом лежит ровно по одному шару ---
    $\left\{\begin{aligned}
        1&, \; k = 2, \; m = 2\\
        0&, \; k \neq 2, \; m =2\\
        \overline{C}^{k-2}_{m-2}&, k \geq 2, \; m > 2
    \end{aligned}\right.$\\
    (раскладываем оставшиеся $(k-2)$ шара по остальным $(m-2)$ ящикам)

    Тогда при $m > 2$:
    \begin{flalign*}
        \Pr[I_1 = 1, I_2 = 1] &= \overline{C}^{k-2}_{m-2} \div \overline{C}^{k}_{m} =
        C^{k-2}_{k+m-5} \div C^{k}_{k+m-1} =
        \dfrac{(k+m-5)!}{(k-2)!(m-3)!} \cdot
        \dfrac{k! (m-1)!}{(k+m-1)!} =&\\&=
        %
        \dfrac{k(k-1)(m-1)(m-2)}{(k+m-1)(k+m-2)(k+m-3)(k+m-4)}
    \end{flalign*}



\begin{comment}
    \[
    \Dis[\xi] = \Dis\left[ \sum_{t = 1}^m I_t \right] =
    \sum_{t = 1}^m \Dis[I_t] + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq m} \Cov(I_i, I_j)
    \]
    \begin{flalign*}
        \Dis[I_t] &= \E[I^2_t] - \left(\E[I_t]\right)^2 = \E[I_t] - \left(\E[I_t]\right)^2 =
        \E[I_t] (1 - \E[I_t] ) =&\\&=
        \dfrac{k\cdot m(m-1)}{(k+m-2)(k+m-1)} \cdot \left(1 - \dfrac{k\cdot m(m-1)}{(k+m-2)(k+m-1)} \right)
    \end{flalign*}

    Теперь для вычисления $\Cov(I_i, I_j)$ найдём $\Pr[I_i = 1, I_j = 1]$ при $i \neq j, m \geq 2$

    Раскладок, в которых и в $i$-ом ящике, и в $j$-ом лежит ровно по одному шару ---
    $\left\{\begin{aligned}
        1&, \; k = 2, \; m = 2\\
        0&, \; k \neq 2, \; m =2\\
        \overline{C}^{k-2}_{m-2}&, m > 2
    \end{aligned}\right.$\\
    (раскладываем оставшиеся $(k-2)$ шара по остальным $(m-2)$ ящикам)

    Тогда при $m > 2$:
    \begin{flalign*}
        \Pr[I_i = 1, I_j = 1] &= \overline{C}^{k-2}_{m-2} \div \overline{C}^{k}_{m} =
            C^{k-2}_{k+m-5} \div C^{k}_{k+m-1} =
            \dfrac{(k+m-5)!}{(k-2)!(m-3)!} \cdot
            \dfrac{k! (m-1)!}{(k+m-1)!} =&\\&=
        %
        \dfrac{k(k-1)(m-1)(m-2)}{(k+m-1)(k+m-2)(k+m-3)(k+m-4)}
    \end{flalign*}
    %
    \begin{flalign*}
        \Cov(I_i, I_j) &= \E[I_i \cdot I_j] - \E[I_i]\cdot \E[I_j] =
        \Pr[I_i = 1, I_j = 1] - (\E[I_i])^2 =&\\&=
        %
        \dfrac{k(k-1)(m-1)(m-2)}{(k+m-1)(k+m-2)(k+m-3)(k+m-4)} -
        \left( \dfrac{k\cdot m(m-1)}{(k+m-2)(k+m-1)} \right)^2
    \end{flalign*}

    Таким образом,
    \begin{flalign*}
        \Dis[I_t] &= \sum_{t = 1}^m \Dis[I_t] + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq m} \Cov(I_i, I_j) =
        m \cdot \Dis[I_t] + 2 C^2_m \cdot \Cov(I_i, I_j) =&\\&=
        %
        m \cdot \dfrac{k\cdot m(m-1)}{(k+m-2)(k+m-1)} \cdot \left(1 - \dfrac{k\cdot m(m-1)}{(k+m-2)(k+m-1)} \right) +&\\&+
        m(m-1) \cdot \left( \dfrac{k(k-1)(m-1)(m-2)}{(k+m-1)(k+m-2)(k+m-3)(k+m-4)} -
        \left( \dfrac{k\cdot m(m-1)}{(k+m-2)(k+m-1)} \right)^2 \right)
    \end{flalign*}
\end{comment}

    }


    %\textbf{b)} Найдём $P(I_t = 1)$, если шары различимы

\end{document}