Guía de matemática-Hispachan

Versión preliminar de la guía para estudiar Matemáticas.

Esta es una recopilación de textos con las cuales puedes empezar a estudiar matemáticas. Es muy importante que hagas ejercicios, pues es lo que te ayudará a saber si realmente estas avanzando o si hay algún concepto que no entiendes. La guía la he dividido en cuatro secciones: entendiendo matemáticas, matemáticas básicas, matemáticas nivel medio y matemáticas avanzadas. Cada sección la he dividido en varios temas y en cada uno he puesto algunos temas que aprenderás en los libros enlistados en cada tema. Para saber si una sección es adecuada para ti, busca uno de los libros de algún tema que te guste; si es muy avanzado para ti, intenta con una sección anterior, si es muy básico, intenta con una sección posterior.

Para los que están interesados en aprender pero sólo tienen los conocimientos de preparatoria/bachiller, deberían de empezar en la sección de "entendiendo matemáticas", esta es la única sección que no he puesto requisitos previos. Los temas de las secciones posteriores tienen requisitos recomendados. No es necesario leer todos los libros de un tema para avanzar, usualmente basta con terminar uno para ver todo el material que se requiere ver (a un lado de cada recomendación pondré notas al respecto). No esperes terminar los libros en 1 mes, son libros que requieren bastante dedicación y algunos de ellos te tomarán varios años terminarlos.

Los libros los puedes encontrar en tu biblioteca o librería favorita; si tu intención es descargarlos ilegalmente, puedes intentar buscar en tu buscador favorito (bookfi y library genesis son dos opciones muy buenas).

Esta no es una guía para matemáticas de preparatoria/bachiller o ingeniería, por lo que los libros pudieran estar algo deficientes en el tema de ejercicios numéricos (espero que pronto podamos empezar a redactar una guía para matemáticas de ingeniería).

Finalmente una pequeña advertencia para los que jamás han estudiado matemáticas serias: acostúmbrate al fracaso. Muchos de los ejercicios son en verdad difíciles y tomará bastante de tu esfuerzo poder avanzar. Fracasar es algo muy común en esta diciplina y esto no debería desalentarte a dejar de estudiar.

La recopilación:

Entendiendo el lenguaje de las matemáticas: Las matemáticas son mucho más que hacer cuentas; lo importante es entender lo que se está haciendo. Para eso uno tiene que entender el lenguaje de las matemáticas, comprender por que las demostraciones son importantes y aprender a leerlas. Los siguientes temas son importantes para cubrir estos aspectos.

Lógica y conjuntos: El concepto de conjunto es de los más básicos en matemáticas y es importante desarrollar intuición de como se comportan estos. Con estos libros deberías aprender lo básico de conjuntos, los métodos de demostración y algo de lógica proposicional.

A transition to advanced mathematics. Smith, Eggen ,Andre. Los primeros 4 capítulos.
Proofs and fundamentals: a first course in abstract mathematics. Ethan D. Bloch. Los primeros 5 capítulos.

Álgebra: Aprenderás a contar de manera eficiente, sobre divisibilidad, sistemas de ecuaciones y lo básico de álgebra lineal así como las estructuras numéricas básicas. También aprenderas indirectamente a escribir demostraciones (puedes leer esta parte sin haber leido sobre lógica y conjuntos).

Cárdenas H., Lluis E., Raggi F. Y Tomás F., Álgebra Superior. Viene todo en el libro..
Pérez M.L., Combinatoria, Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas. Ejercicios de conteo.
Pérez M.L., Teoría de Números, Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas. Ejercicios de divisibilidad.
Ash, R.B. A primer of Abstract Mathematics. Viene todo en el libro.
Introduction to mathematical structures and proofs, Larry J. Gerstein. Le falta la parte de Álgebra Lineal.

Matemáticas básicas: La mayoría de estos temas se ven en carreras de ingeniería, pero es raro que se vean con el detalle que estos libros tratan. Todas las recomendaciones tienen como requisito saber como leer demostraciones.

Cálculo (de una variable): Sucesiones, funciones continuas, derivación, integración y series.

Requisitos: Saber leer demostraciones.

Spivak M., Calculus*. Viene todo en el libro.
Tom Apostol, Calculus. Los primeros 11 capítulos.

Geometría Euclidiana: Abstraer conceptos clásicos del plano como son lineas, perímetro y area. Construcciones con regla y compás.

Requisitos: Saber leer demostraciones.

Coxeter, Greitzer, Geometry Revisited. Los primeros 3 capítulos (pero se recomienda todo el libro si te gusta el material)
Moise, Downs, Geometry*. Todo el libro.

Geometría Analítica: Representaciones de cónicas y varias superficies de manera algebraica.

Requisitos: Saber leer demostraciones.

Douglas F. Riddle, Analytic Geometry. Todo el libro.


Matemáticas nivel medio. No recomiendo empezar a leer estos libros sin antes dominar parte del material de la sección anterior.

Cálculo (varias variables): Diferenciación e integración de funciones de varias variables e introducción a las formas diferenciales.

Requisitos: Cálculo de una variable, Geometría Analítica (no es necesario, pero ayuda bastante).

Marsden, Tromba, Vector Calculus*. Todo el libro.
Spivak, Calculus on Manifolds*. Todo el libro.

Álgebra Lineal: Espacios Vectoriales y las relaciones que hay entre ellos, producto interno y formas canónicas.

Requisitos: Álgebra, Geometría Analítica (no es necesario, pero ayuda bastante).

Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right. Todo el libro.
Artin, Algebra. La parte de álgebra lineal y sólo para consulta (puede a llegar a ser algo rudo).

Probabilidad: Espacios de probabilidad, variables aleatorias, esperanza y momentos.

Requisitos: Cálculo de una variable.

DeGroot, Schervish. Probability and statistics*. Los primeros 5 capítulos.

Matemáticas Avanzadas: Para este nivel ya debes ser capaz de escribir matemáticas y saber buscar en los textos la información importante (es muy dificil ya decir que capítulos son los que puedes leer).

Los libros de Carlos Ivorra: Cubren varios temas y están en español. Puedes descargarlos gratuitamente en el siguiente vínculo: https://www.uv.es/ivorra/Libros/Libros.htm

Análisis: Análisis Real y Complejo, teoría de la medida y análisis funcional. Este es un curso grande.

Requisitos: Cálculo de una variable y Álgebra Lineal. Se recomienda también Cálculo de varias variables. Geometría podría ser útil para la parte de Análisis Complejo y probabilidad para teoría de la medida.

Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis. Baby Rudin.
Walter Rudin, Real and Complex Analysis. Papa Rudin.
Terence Tao, Analysis.
Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications.
Conway J., A Course in Functional Analysis
Kolmogorov, Fomin, Elements of the theory of functions and functional analysis.
Gelbaum, Olmsted, Counterexamples in Analysis.
Stein, Shakarch, Complex Analysis.

Álgebra abstracta: Grupos, Anillos, Campos, Modulos y Teoría de Galois. Otro curso grande.

Requisitos: Álgebra Lineal.

Artin, Algebra.
Dummit, Foote, Abstract Algebra.

Teoría de conjuntos: Sistemas axiomáticos, ZFC, teoría de ordinales y cardinales.

Requisitos: En teoría nada, pero algunos ejemplos requieren conocimientos de Análisis y Algebra abstracta.

Just W., Weese M., Discovering Modern Set theory vol 1.
Hernández F., Teoría de Conjuntos.

Topología: Espacios topológicos y sus relaciones, metrizabilidad, compactificaciones, homotopía.

Requisitos: Cálculo de una variable. Se recomienda fuertemente Teoría de Conjuntos y que ya hayas empezado a estudiar Análisis o almenos Cálculo de varias variables. Para homotopía se recomienda que ya hayas empezado a estudiar Álgebra abstracta.

Munkres, Topology*
Willard, General Topology.
Engelking, General Topology.
Steen, Seebach, Counterexamples in Topology.

Lógica Matemática: Teoría de la demostración, teoría de modelos y teoría de recursión.

Requisitos: Teoría de conjuntos.

Enderton, A Mathematical introduction to Logic.
Kunen K., The Foundations of Mathematics.