% SECTION ====================================================================================
\section{Kapitel 3 - Graphische Hilfsmittel \& systemtheoretische Grundlagen}
% ============================================================================================

\subsection{Indikatorvariable und Redundanzstruktur-Funktion}
\sectionbox{
{~\includegraphics[width=.8\columnwidth]{indikatorvariable.png}} \newline
\textbf{TTF}$=$Time To Failure; \textbf{TTR}$=$T. To Repair;\textbf{TBF}$=$T. Between Failure
}


\subsection{Zeit- und Balkendiagramme und Zuverlässigkeits-Blockschaltbild}
\sectionbox{
{~\includegraphics[width=.8\columnwidth]{redundanzstrukturfkt.png}} \newline
\textbf{Zuverlässigkeits-Blockschaltbild}
\begin{itemize}
\item\textbf{System S intakt}, wenn es wenigstens einen Pfad(Kantenzug) mit ausschließlich intakten Komponenten gibt.
\item System \textbf{S} als Gerichteter Graph
\item Komponenten \textbf{K\textsubscript{i}} als Rechtecke mit Nummern oder Namen
\item zeigt die Redundanzstruktur des Systems an
\item funktionsorientiertes Modell
\end{itemize}
\textbf{Ergebnis:}\center{$V\textsubscript{s}=(V\textsubscript{1}+V\textsubscript{2}-V\textsubscript{1}\cdot V\textsubscript{2})\cdot V\textsubscript{3}\cdot (1-V\textsubscript{4})+V\textsubscript{4}$} \bigskip

{~\includegraphics[width=.8\columnwidth]{zeitbalkendiagramm.png}} \bigskip

{~\includegraphics[width=.9\columnwidth]{serienparallelschaltung.png}} \bigskip


\textbf{2v3-System:} Zwei von insg. drei Komponenten müssen intakt sein, damit das System funktioniert (ansonsten Systemausfall)
}

\subsection{Fehlerbäume}
\sectionbox{
\begin{itemize}
\item Baumähnliche graphische Darstellung Boolescher Funktionen
\item Komponentenausfälle als Blätter des Baumes
\item zeigt die Redundanzstruktur des Systems an
\item fehlerorientiertes Modell

\end{itemize}

\textbf{System S defekt}, wenn die Wurzel des Baumes ein \textbf{aktives} Signal zeigt.
\medskip

\textbf{Ergebnis} $X\textsubscript{S}=((X\textsubscript{1}\wedge X\textsubscript{2})\land X\textsubscript{3})\wedge X\textsubscript{4}$
}

\sectionbox{
{~\includegraphics[width=0.275\columnwidth]{fehlerbaum.png}}
{~\includegraphics[width=0.65\columnwidth]{loesung_fehlerbaum.png}}
}

\subsection{Zustandsdiagramme und Petrinetze}
\sectionbox{
{~\includegraphics[width=.8\columnwidth]{zustandsdiagramm_defekt.png}}
\bigskip

{~\includegraphics[width=.8\columnwidth]{petrinetz_1.png}}
}


\subsection{Systemtheoretische Grundlagen}
\sectionbox{
Modellbildung für ein \textbf{reparierbares} System:
{~\includegraphics[width=.4\columnwidth]{reparierbares_system.png}} \newline
Kontinuitätsgleichung: $\frac{dP\textsubscript{1}(t)}{dt} = -\lambda\cdot P\textsubscript{1}(t) + \mu\cdot P\textsubscript{2}(t)$ \newline
Normierungsbedingung: $P\textsubscript{1}(t) + P\textsubscript{2}(t) = 1$ \newline
Verfügbarkeit: $V\textsubscript{S} = lim_{t\rightarrow \infty} P\textsubscript{1}(t)$
\medskip

\paragraph{Kenngrößen aus wahrscheinlichkeitstechnischer Sicht}

\textbf{Zuverlässigkeit(Reliability):}\newline
Beschaffenheit einer Funktionseinheit bzgl. ihrer Fähigkeit, während oder nach vorgegebenen Zeitspannen bei festgelegten Betriebsbedingungen die Zuverlässigkeitsanforderungen zu erfüllen. \newline
\textbf{Verfügbarkeit(Availability):}\newline
Wahrscheinlichkeit, ein System zu einem vorgegebenen Zeitpunkt \textbf{t} in einem \textbf{funktionsfähigen} Zustand anzutreffen. \newline
\textbf{Unverfügbarkeit(Unavailability):}\newline ... \textbf{U} ist das \textbf{1er-Komplement} der Verfügbarkeit \textbf{V, d.h.: $U:= 1 - V$} \newline
\textbf{Lebensdauer(Life Time):} \newline... für die einzelne \textbf{nicht instandsetzbare} Betrachtungseinheit die beobachtete \textbf{Zeitspanne L} vom Beanspruchungsbeginn \textbf{t\textsubscript{0}} bis zum Ausfallzeitpunkt \textbf{t\textsubscript{F}}: \textbf{$L := t\textsubscript{F} - t\textsubscript{0}$} \newline
\textbf{Downtime DT in [min/yr]:} \newline ... die \textbf{Zeitdauer}, für die die Dienste bzw. die Funktionalität eines Systems in einen bestimmten Zeitraum (meistens \textbf{bezogen auf ein Jahr}) nicht verfügbar sind. Typisch ist der Durchschnittswert über eine große Zahl von Benutzern. \newline
$DT = U \cdot 525.600 [min/yr]$ wobei \textbf{U} $=$ Unavailability. $525.600 = 365\cdot24\cdot60$ \newline
}
\sectionbox{
\textbf{Erwartungs- bzw. Durchschnittswerte:} \newline
\begin{itemize}
\item MTTF = avg <TTF\textsubscript{i}>\newline
Mean Time To Failure (mittlere ausfallfreie Zeitspanne)
\item MTTR = avg <TTR\textsubscript{i}>\newline
Mean Time To Repair (mittlere Ausfalldauer)
\item MTBF = avg <TBF\textsubscript{i}>\newline
Mean Time Between Failure (mittlere Zeitdauer zwischen Ausfällen)
\end{itemize}
Bei uns gilt stets: \textbf{MTBF $=$ MTTF + MTTR}\newline

\textbf{Ausfall- und Reparaturrate:}
Ausfallrate $\lambda : \lambda = \frac{1}{MTTF}$ \newline
Reparaturrate $\mu : \mu =\frac{1}{MTTR}$ \newline
Mittlere Fehlerhäufigkeit (bzw. durchschnittliche Fehlerrate AFR) $v : v = \frac{1}{MTBF}$\newline

Demnach gilt der Zusammenhang: $v = \frac{\lambda \cdot \mu}{\lambda + \mu}$\newline
}

\sectionbox{
\subsection{Kenngrößen eines reparierbaren Systems:}
Mit Hilfe von MTTF und MTBF lassen sich die Verfügbarkeit \textbf{V}, die Unverfügbarkeit \textbf{U} und die durchschnittliche Fehlerrate \textbf{AFR} experimentell aus dem Systemverhalten ermitteln. \newline
V, U und AFR beschreiben das Systemverhalten eines reparierbaren Systems dann, wenn sich \textbf{Betriebsintervalle} (System = intakt) und \textbf{Ausfallphasen} (System = defekt) abwechseln.\newline


Im stationären Fall gilt:\newline
{~\includegraphics[width=.5\columnwidth]{kenngroesse_reparierbar.png}}\newline
\medskip


V und U als Funktion von MTTR/MTTF:\newline
{~\includegraphics[width=.8\columnwidth]{vu_mttr.png}}\newline
\medskip

\textbf{Rechenbeispiel}
\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
 \hline
 Verfügbarkeit & Unverfügbarkeit & Downtime \\
 \hline
 99.99 \% & 0.01 \% & 53 nin/yr \\
 99.98 \% & 0.02 \% & 106 min/yr \\
 99.95 \% & 0.05 \% & 265 min/yr \\
 99.90 \% & 0.10 \% & 530 min/yr \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}

... diese drücken das Systemverhalten bei ununterbrochenem Betrieb ohne zwischengeschobenen Reparaturphasen aus.
\begin{itemize}
\item Lebensdauer (Life Time) $\rightarrow$ L
\item Mittlere Lebensdauer (Mean Life Time) $\rightarrow$ \textbf{$T\textsubscript{M} := <L> = MTTF$}
\item Ausfallwahrscheinlichkeit (Probability Of Failure) $\rightarrow$ \textbf{F(t)}
\item Überlebenswahrscheinlichkeit $\rightarrow$ \textbf{$R(t) = 1 - F(t)$}
\item Ausfallrate oder Ausfallhäufigkeitsdichte $\rightarrow$ \textbf{A(t)}
\end{itemize}
\bigskip
}

\sectionbox{
\textbf{Mittlere Lebensdauer T\textsubscript{M}:}
$T\textsubscript{M} = E(L) = <L> := \int_{0}^{+\infty}t\cdot f\textsubscript{L}(t) dt = \int_{0}^{+\infty} R(t) dt $ \newline

\begin{itemize}
\item L $=$ Lebensdauer $(L\geq 0)$
\item E(L) $=$ Erwartungswert der Lebensdauer
\item $f\textsubscript{L} =$ Dichtefunktion der Lebensdauer
\item $R(t) =$ Überlebenswahrscheinlichkeit
\end{itemize}
\bigskip

\textbf{Ausfallwahrscheinlichkeit}\newline
Wahrscheinlichkeit einer Betrachtungseinheit des Anfangsbestandes (die zum Zeitpunkt $t=0$ intakt ist) bis zu einem vorgegebenen Zeitpunkt \textbf{t} auszufallen \textbf{$\rightarrow$F(t)}\newline
$\Rightarrow$ entspricht der Verteilungsfunktion der Lebensdauer! D.h. $\textbf{F(t) = F\textsubscript{L}(t)}$

\bigskip

\textbf{Ausfallwahrscheinlichkeit}\newline
$ F(t) = P(L\leq t) := F\textsubscript{L}(t) := \int_{0}^{t} f\textsubscript{L}(\tau)d\tau $ \newline

\begin{itemize}
\item $L =$ Lebensdauer
\item $P =$ Wahrscheinlichkeit
\item $f\textsubscript{L} =$ Dichtefunktion der Lebensdauer
\item $F\textsubscript{L} =$ Verteilungsfunktion der Lebensdauer
\item $F =$ Ausfallwahrscheinlichkeit
\end{itemize}
\bigskip

\textbf{Überlebenswahrscheinlichkeit:}\newline
Die Überlebenswahrscheinlichkeit ist das Komplement der Ausfallwahrscheinlichkeit zu 1 \textbf{$\rightarrow R(t)$} \newline
$\Rightarrow$ Überlebenswahrscheinlichkeit $= 1 - $ Ausfallswahrscheinlichkeit. \newline
$\Rightarrow R(t) = 1 - F(t)$\newline
\bigskip

\textbf{Ausfallrate A(t)}\newline
Ausfallrate: Maß für temporäre Ausfallhäufigkeit/$\Rightarrow$ Ausfallhäufigkeitsdichte. \newline
$\Rightarrow A(t) = - \frac{1}{R(t) \cdot \frac{dR(t)}{dt} }$ \newline

R(t) $=$ Überlebenswahrscheinlichkeit\newline
$\frac{d}{dt} =$ Ableitung nach der Zeit t\newline
$A(t) =$ Ausfallrate in [Ausfälle/Zeiteinheit]\newline
\bigskip

\textbf{Kenngrößen eines nicht-reparierbaren Systems}\newline
{~\includegraphics[width=.9\columnwidth]{nicht_rep_sys.png}}
\medskip

\textbf{Einführungsbeispiel}\newline
{~\includegraphics[width=.8\columnwidth]{doppelrechnersys.png}}\newline

}

\sectionbox{
\subsection{Boolsche Funktion}
Auf $B = \{0, 1\}$ definieren wir Funktionen $f$ mit endlich vielen Argumenten (Variablen) $x\textsubscript{1} , x\textsubscript{2} , ..., x\textsubscript{n}$ aus $B$ mit den Funktionswerten $y\textsubscript{m} = f (x\textsubscript{1} , x\textsubscript{2} , ..., x\textsubscript{n})$ in $B$. $f$ heißt \textbf{Boolesche Funktion}.\newline
Unter der Funktion $f(x\textsubscript{1} , x\textsubscript{2}, ...,
x\textsubscript{n})$
versteht man somit die Abbildung $f : B\textsuperscript{n} \rightarrow B\textsuperscript{1} = \{0, 1\}$ ,\newline
wobei $B\textsuperscript{n}$ der n-dimensionale Binärraum aller n-Tupel aus Nullen und Einsen ist. \newline
Bei \textbf{n} Variablen gibt es $m = 2\textsuperscript{2\textsuperscript{n}}$ (sprich: 2 hoch 2 hoch n) nicht äquivalente Boolesche Funktionen (im Falle $n = 2$ also 16)
\medskip

{~\includegraphics[width=.8\columnwidth]{boolsche_algebra_arith.png}}\newline

\textbf{Gesetzmäßigkeiten und Verknüpfungsregeln:}\newline
Distributivgesetz\newline
$a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c); \quad a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c)$
Absorption / Redundanz \newline
$a \land (a \lor b) = a$\quad sowie \quad $a \lor (a \land b) = a$\newline
Idempotenzgesetze\newline
$1 \lor a = 1$\quad $0 \lor a = a\quad 0 \land a = 0 \quad 1 \land a = a$\newline
Vereinfachungen\newline
$a \cdot a = a\textsuperscript{2} = a;\quad a\cdot a ... \cdot a = a\textsuperscript{n} = a\quad a\cdot \bar{a} = 0$
\bigskip
\textbf{Anwenden auf Fehlerbaummethode:}\newline
Berechnung der System-Verfügbarkeit V\textsubscript{S} oder der System-Unverfügbarkeit U\textsubscript{S} aus der Redundanzstruktur-Funktion $X\textsubscript{S} = f(X\textsubscript{1} , X\textsubscript{2} , ..., X\textsubscript{n})$ - abgeleitet aus dem Fehlerbaum.
\medskip

\textbf{Vorgehensweise}
\begin{itemize}
\item Entwickle einen Fehlerbaum mit den Indikatorvariablen $X\textsubscript{1}, X\textsubscript{2}, ..., X\textsubscript{n}$
\item Ermittle die Redundanzstruktur-Funktion $X\textsubscript{S} = f (X\textsubscript{1}, X\textsubscript{2}, ..., X\textsubscript{n})$ aus dem Fehlerbaum (logische Funktion):\newline
gfs. Vereinfachung unter Beachtung der Verknüpfungsregeln. \newline
Z.B.: $X\textsubscript{i}\land \bar{X\textsubscript{i}} = 0 \quad X\textsubscript{i} \land X\textsubscript{i} = X\textsubscript{i}$
\item Ersetze Boolesche Operationen durch äquivalente arithmetische
Ausdrücke gemäß obiger Tabelle:\newline
gfs. Vereinfachung unter Beachtung von z. B.: $X\textsubscript{i}\cdot X\textsubscript{i} = X\textsubscript{i}$
\item Wenn alle Potenzen $X\textsubscript{i}\textsuperscript{n} = X\textsubscript{i}$ für die Variablen X\textsubscript{i} verschwunden,
ersetze X\textsubscript{i} durch U\textsubscript{i} und 1 – X\textsubscript{j} durch $V\textsubscript{j} = 1 - U\textsubscript{j} (i, j = 1, 2, ..., n)$.
\end{itemize}
\bigskip

\textbf{Entwicklungssatz von Shannon}\newline
Jede Boolesche Funktion $f : B\textsuperscript{n} \rightarrow B\textsuperscript{1} = \{0,1\}$ kann für jede ihrer Variablen X\textsubscript{i} durch
\begin{flushright}
$f(X\textsubscript{1}, ..., X\textsubscript{i}, ..., X\textsubscript{n}) = X\textsubscript{i}\cdot f(X\textsubscript{1}, ..., X\textsubscript{i -1}, \textbf{1}, X\textsubscript{i+1},..., X\textsubscript{n})$\newline
$\lor\quad X\textsubscript{i} \cdot f(X\textsubscript{1}, ..., X i-1 , \textbf{0}, X\textsubscript{i+1} ,..., X\textsubscript{n})$
\end{flushright}
dargestellt werden. Hierin ist $X\textsubscript{i}\cdot f$ die Abkürzung für $X\textsubscript{i} \land f$.\newline
\textbf{Kurzform:}
\begin{center}
$f = X\textsubscript{i}\cdot f | \textsubscript{X\textsubscript{i} = 1} \lor \bar{X\textsubscript{i}}\cdot f | \textsubscript{X\textsubscript{i} = 0}$
\end{center}
Bei rekursiver Anwendung des Shannonschen Entwicklungssatzes erhält man eine binär-baumartige Klammerstruktur, aus der man leicht die sogenannte disjunktive Normalform (DNF) bilden kann.
}