Соснила про теорию Галуа (часть 1.5)

Одновременно с ответом на этот вопрос я напишу кусочек, который все равно пригодится для продолжения моей тирады.

Я написал очень формальное и непонятное определение — берем минимальное поле, в котором многочлен имеет все корни (которое почему-то существует), и считаем его автоморфизмы.

Из этого определения, конечно не следует, что группа должна иметь тот же порядок, что и степень многочлена, поэтому Гришин вопрос неуместен, но я тем не менее объясню, как строить это поле, чтобы было более понятно, что происходит.

Итак, будем строить поле, пользуясь индукции по степени многочлена. Для многочленов степени 1 мы знаем поле, над которым они имеют все корни, потому что они все имеют вид (x-a). Теперь пусть есть многочлен f степени n. Если он раскладывается на неприводимые сомножители (меньших, естественно, степеней), то берем для одного из сомножителей p поле F(p), построенное по индукции, и над ним берем поле (F(p))(f/p). Понятно, что здесь p имеет все корни и f/p имеет все корни, а значит и f=p*(f/p) имеет все корни.
Теперь самая суть. Пусть f не раскладывается ни на какие множители, то есть f — неприводимый многочлен. Тогда можно фактор-кольцо F[x]/(f), то есть формально взять и добавить корень x многочлена f в поле. Во-первых, это поле, ровно потому что f — неприводимый. Ну и очевидно, над ним f имеет корень. Но на этом этапе еще все не заканчивается, потому что возможно у f есть еще другие интересные корни, и на них тоже нужно посмотреть, поэтому нужно посмотреть на неприводимые компоненты f над этим полем, которые будут иметь меньшую степень, и для них построить поле по индукционному предположению.

Теперь если взять x^p=2, то применив конструкцию один раз, то есть построив F[x]/(x^p-2) мы получим расширение степени p, но над ним многочлен все еще имеет не все корни, потому что есть другие корни вида x*(корень из единицы p-ой степени), поэтому нужно еще добавить корни из единицы степени p.
Пересланные сообщения
Гриша Герасев
Гриша Герасев
25.07.16
"а для многочлена x^p = 2 она равна 2*p (p — простое, большее двух)."

Совершенно не понял почему. Это же вроде многочлен степени p, у него p корней?
Получается, конечно, не диэдральная группа как я написал, а группа порядка p(p-1), которая C_p полупрямо на C_{p-1}.
Считать явно эту группу Галуа сейчас не хочу, особенно потому, что это пока что тяжело, зная только то, что я написал.
Ну мы определили ее как группу автоморфизмов поля с корнями. Значит можно увидеть, какие корни можно менять местами, какие нет. Примерно это я имел в виду под "взаимодействием" и под "помнит".