estabilidad fraccionaria

\documentclass[spanish]{amsart}
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\begin{document}
\section*{introduccion}
Esta parte del trabajo esta basada en un articulo \emph{\lq\lq A fractional-order differential equation model of HIV infection of CD $4^{+}$ T-cells\rq\rq} de Yongsheng Ding y Haiping Ye.
En este articulo se habla de la modelación del virus del VIH. Al hacer esta modelación se uso la \emph{Derivada Fraccionaria} ya que se apega mucho mas a la realidad del crecimiento del virus.\\
El cual esta basado en las sig. ecuaciones:
\begin{align*}
  D^\alpha T &= S -\mu_{T} T+rT\left(1-\dfrac{T+I}{T_{max}}\right)-\dfrac{K_{1}VT}{1+\alpha V},\\
 D^\alpha I  &= \dfrac{K'_{1}VT}{1-\alpha V}-\mu_{I}I,\\
D^\alpha V   &= N\mu_{b}I-\dfrac{k_{1}VT}{1-\alpha V}-\mu_{V}V.\\
\end{align*}
Donde $D^\alpha$ es la derivada de Caputo de orden $\alpha$. Como la derivada de Caputo de una función constante es cero, podemos hallar las soluciones de equilibrio resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones,
\begin{align*}
S -\mu_{T} T+rT\left(1-\dfrac{T+I}{T_{max}}\right)-\dfrac{K_{1}VT}{1+\alpha V}&=0\\
\dfrac{K'_{1}VT}{1-\alpha V}-\mu_{I}I&=0\\
N\mu_{b}I-\dfrac{k_{1}VT}{1-\alpha V}-\mu_{V}V&=0.\\
\end{align*}
Donde las variables son T(celulas no infectadas), I(celulas infectadas) y V(densidad inicial de VIH).\\
Todas las demas son constantes.
\section*{Calculos}
Vamos a hacer los calculos para encontar los los puntos de equilibrio.\\
\begin{description}
\item[Caso I ] $V\neq 0$ y $T\neq 0$\\
Sean $w=\dfrac{TV}{1+\alpha V}$, $k=\dfrac{k'_{1}}{\mu_{I}}$ y $\gamma=N\mu_{b}k-k_{1}$.
vamos a usar las tres ecuaciones planteadas en un inicio. Por la w y la k que definimos tenemos que:$$I=kw$$.
Vamos a empezar por sustituir y tratar de llegar a un resultado.
\begin{align*}
Tomamos\,la\,tercera\,ecuacion,\\
T\gamma &= -\mu_{V}-\alpha\mu_{V}V\\
T\gamma + \alpha\mu_{V}V &= -\mu_{V}\\
despejando,\\
V&=\dfrac{-\mu_{V}-T\gamma}{\alpha\mu_{V}}
\end{align*}
Ahora vamos a encontrar el o los valores de T.
\begin{align*}
S-\mu_{I}T+rT-\dfrac{rT^2}{T_{max}}-\dfrac{krTw}{T_{max}}-k_{1}w&=0\\
S-\mu_{I}T+rT-\dfrac{rT^2}{T_{max}}&=\left(\dfrac{krt}{T_{max}}+k_{1}\right)w=\left(\dfrac{krt}{T_{max}}+k_{1}\right)\dfrac{TV}{1+\alpha V}\\
\left(\dfrac{-r}{T_{max}}T^{2}+(r-\mu_{I})T+S\right)\left(1+\left(-1+\dfrac{T\gamma}{\mu_{V}}\right)\right)&=\left(\dfrac{krT}{T_{max}}+k_{1}\right)\left(\dfrac{-\mu_{V}T-T^{2}\gamma}{\alpha\mu_{V}}\right)\\
\text{cancelamos y nos queda,}\\
-\dfrac{r\gamma}{T_{max}}T^{3}+\gamma(
\end{align*}
\item[Caso II ] $V=0$ $T=0$\\
En el caso en el que V y T son cero, las ecuaciones que nos quedan son las siguientes:
\begin{align*}
S&=0,\\
-\mu_{I}I&=0,\\
N\mu_{b}    I&=0,\\
\end{align*}
es fácil ver como I=0 por lo que $E_{1}=(0,0,0)$.\\
\item[Caso III ] $V=0$\\
Al tener V=0, las ecuaciones que tenemos son:
\begin{align*}
S-\mu_{T}T+rT\left(1-\dfrac{T+I}{T_{max}}\right)&=0\\
-\mu_{I}I&=0\\
N\mu_{b}I&=0
\end{align*}
entonces tenemos que I=0.\\
ahora tenemos que:
\begin{align*}
S-\mu_{T}T+rT\left(1-\dfrac{T}{T_{max}}\right)&=rT^{2}+\mu_{T}TT_{max}-rTT_{max}-ST_{max}\\
&=rT^{2}+(\mu_{T}T_{max}-rT_{max})T-ST_{max}\\
&=0\\
\end{align*}
Ahora vamos a ver el determinante de la ecuación para ver si tiene soluciones.
\begin{align*}
D&=\sqrt{(\mu_{T}TT_{max}-rT_{max})^{2}-4r(-ST_{max}}\\
&=\sqrt{T_{max}^{2}(\mu_{T})^{2}+4rST_{max}}\\
&=\sqrt{T_{max}(T_{max}(\mu_{T}^{2}-2\mu_{T}r+r^{2})+4Sr)}\\
\end{align*}
Sabemos por los valores de las constantes que el discriminante es mayor que que cero por lo que existen dos soluciones en este caso por lo cual la soluciones son $E_{2}=(T_{0},0,0)$, donde
\[T_{0}=\dfrac{-T_{max}(\mu_{T}-r)\pm\sqrt{T_{max}(T_{max}(\mu_{T}^{2}-2\mu_{T}r+r^{2})+4Sr)}}{2r}.\]\\
\item[Caso IV ] $T=0$\\
En el caso en el que T=0 nos quedan las siguientes ecuaciones:
\begin{align*}
S&=0\\
-\mu_{I}I&=0\\
N\mu_{b}I-\mu_{V}V&=0\\
\end{align*}
este caso tiene la misma solución que el \emph{Caso II} y es $E_{1}=(0,0,0)$,por lo tanto cuando se haga el analisis de estabilidad son un mismo resultado.
\end{description}
\end{document}