1

стереометрия
 2

 пространство, плоскость, прямые, точки - такое множество и такие его подмножества, для которых выполняюся следующие утверждения:
 3

 А1: в пространстве существует хотя бы 1 прямая и плоскость, прямая и плоскость не пустые и не совпадающие подмножества пространства.
 4

на каждой прямой есть хотя бы 2 различные точки
 5

 А2: через 2 различные точки пространства проходит единственная прямая
 6

 А3: если 2 различные точки принадлежат некой плоскости, то все точки этой прямой принадлежат плоскости
 7

 А4: через 3 точки не лежащие на 1 прямой проходит единственная плоскость
 8

 А5: если 2 различные плоскости имеют хотя бы 1 общую точку, то их пересечение - прямая
 9

 А6: для любой плоскости, для всех её подмножеств и элементов выполняются все аксиомы и все теоремы планиметрии
 10

 Th1: через прямую не лежащую на ней точку проходит ровно 1 плоскость
 11

 пересекающиеся прямые - прямые, имеющие ровно 1 общую точку
 12

 Th2: через 2 пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость
 13

 параллельные прямые - прямые, лежащие в 1 плоскости и не имеющие общих точек
 14

 Th3: для любых 2 параллельных не совпадающих прямых существует единственная плоскость, в которой они содержатся
 15

 Th4: через точку не лежащую на данной прямой проходит ровно 1 прямая, параллельная данной
 16

 17

взаимное расположение прямых в пространстве
 18

 4 вида расположения прямых: параллельны, скрещиваются, пересекаются, совпадают
 19

 скрещивающиеся прямые - прямые, для которых не существует плоскости, содержащей их одновременно
 20

 признак скрещиваемости - если одна из 2 прямых лежит в некоторой плоскости, а 2 прямая пересекает эту плоскость в точке,
 21

не лежащей на этой прямой, то такие прямые скрещиваются
 22

 транзитивность параллельности - если 1 прямая параллельна 2, а 2 параллельна 3, то 1 параллельна 3
 23

 L1: если 1 из 2 параллельных прямых пересекает некую плоскость, то 2 тоже её пересекает
 24


 25

взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
 26

 a x α <=> ∃ A = a ∩ α
 27

 a || α <=> a ∩ α = ∅
 28

 признак параллельности - если в плоскости есть прямая, параллельная данной, то данная прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней
 29


 30

взаимное расположение двух плоскостей
 31

 α || β <=> α ∩ β = ∅
 32

 α x β <=> ∃ a = α ∩ β
 33

 Th1: если 2 пересекающиеся прямые 1 плоскости соответсвенно параллельны 2 другим параллельным прямым 2 плоскости, то плоскости
 34

либо параллельны, либо совпадают
 35

 Th2: если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и вторую
 36

 Th3: если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и вторую, а прямые пересечения - параллельны
 37

 Th4: через точку не лежащую на данной плоскости проходит единственная плоскость, параллельная данной
 38

 Th5: транзитивность параллельности плоскостей α || β & β || γ => α || γ or α = γ
 39


 40

 теорема Фалеса - параллельные плоскости, пересекающие 2 данные прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки
 41

 42

угол между прямыми в пространстве
 43

 1) величина угла в пространстве: число 0°, если прямые параллельны, или совпадают
 44

 2) величина меньшего угла, образованного при пересечении, если они пересекаются
 45

 3) величина угла между пересекающимися прямыми, соответсвенно параллельным данным, если они скрещиваются
 46

 Th: о корректности: величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора пересекающихся прямых, параллельных данным
 47

 перпендикулярные прямые - прямые, между которыми угол 90°
 48

 Th: если прямая перпендикулярна 2 пересекающися прямым, лежащим в некоторой плоскости, то она перпендикулярна всем
 49

прямым, лежащим в этой плоскости
 50


 51

параллельная проекция
 52

 α, l: l x α параллельная проекция точки А на плоскость α вдоль прямой l -
 53

 1) сама точка А, если A ∈ α
 54

 2) точка B ∈ α: прямая AB || l или AB = l, B = Pr-l_α(A)
 55

 Th1: параллельная проекция отрезка, непараллельного линии проектирования, является отрезок, концами которого являются проекции его концов
 56

 Th2: параллельная проекция прямой, непараллельной линии проектирования, является прямая, проходящая через проекции его концов
 57

 Th3: параллельные проекции параллельных прямых, непараллельных линии проекторования параллельны, или совпадают
 58

 Th4: параллельные проекции отрезков лежащих на параллельных прямых, непараллельных линии проектирования относятся также, как и данные отрезки
 59

 изображение плоской фигуры - любая ее параллельная проекция на плоскость, вдоль прямой, непараллельной плоскости фигуры
 60

 Th:
 61

 1) изображение треугольника - треугольник произвольного вида
 62

 2) изображение параллелограмма - параллелограмм произвольного вида
 63

 3) изображение трапеции - трапеция произвольного вида
 64

 4) изображение n-угольника - произвольный n-угольник
 65

 66

угол между прямой и плоскостью
 67

 прямая перпендикулярная плоскости - прямая, которая перпендикулярна всем прямым лежащим в этой плоскости
 68

 Th: признак перпендикулярности: если прямая перпендикулярна 2 непараллельным прямым, лежащим в этой плоскости, то она перпендикулярна плоскости
 69

 Th1: если одна из 2 параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то вторая тоже
 70

 Th2: если 2 прямые перпендикулярны 1 плоскости, то они либо параллельны, либо совпадают
 71

 Th3: если 2 плоскости перпендикулярны 1 прямой, то они либо параллельны, либо совпадают
 72

 Th4: если одна из 2 параллельных плоскостей перпендикулярная прямой, то вторая тоже
 73

 74

 Th5: ∀ a, A ∃! α : A ∈ α & a ⊥ α
 75

 Th6: ∀ α, A ∃! a : A ∈ α & a ⊥ α
 76

 77

 расстояние в пространстве
 78

 1) расстоения между точками - отрезок
 79

 2) между фигурами - ρ(φ, ψ) = inf{ x |A ∈ φ B ∈ ψ, |AB| = x}
 80

 3) между точкой и прямой/плоскостью - перпендикуляр
 81

 82

расстояние между скрещивающимися прямыми
 83

 ∀ a,b a∸b => ∃! A ∈ a B ∈ b: AB ⊥ a & AB ⊥ b, ρ(a, b) = [AB]
 84

 расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра
 85

 Th: о трех перпендикулярах если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции,
 86

то она перпендикулярна и самой наклонной
 87


 88

угол между прямой и плоскостью
 89

 1) 0°, если прямая лежит в плоскости или параллельна ей
 90

 2) 90°, если прямая перпендикулярна плоскости
 91

 3) величина угла между наклонной и её ортогональной проекцией на плоскость, если прямая наклонная
 92

 экстремальное свойство - угол между прямой и плоскостью, наименьший из углов, которые прямая образуеь с другими прямыми
 93

лежащими в данной плоскости
 94

 95

угол между плоскостями
 96

 двугранный угол - объединение двух полуплоскостей, имеющих общую границу
 97

 линейный угол двугранного угла - сечение этого угла плоскостью, перпендикулярной его углу (все линейные углы равны)
 98

 величина двугранного угла - величина его линейного угла (от 0° до 180°)
 99

 угол между плоскостями -
 100

 1) 0°, если они параллельны или совпадают
 101

 2) величина наименьшего угла при их пересечении, если они пересекаются (от 0° до 90°)
 102


 103

 площадь ортогональной проекции многоугольника - площадь этого многоугольника на косинус угла между плоскостью и плоскостью сечения
 104

 перпендикулярные плоскости - плоскости, угол между которыми 90°
 105

 Th: если одна из 2 плоскостей содержит прямую ⊥ другой, то эти плоскости перпендикулярны
 106

 Th: если 2 плоскости ⊥, то ортогональная проекция любой точки одной из них на другую лежит на линии пересечения плоскостей
 107


 108

многогранный угол
 109

 n-гранный угол точки М - объединение всех лучей с началом в точке М и проходящие через точки n-угольника
 110

 плоский угол многогранного угла - ∠A_iMA_i+1 - M - вершина многогранного угла, A_i, A_i+1 - вершины многоугольника
 111

 Th1: каждый плоский угол многогранного угла меньше суммы остальных
 112

 Th2: сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°
 113

 правильный n-многогранник - фигура с гранями в виде равных n-угольников, где степение граней всех вершин равны