EDC 12/06/2012

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  NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
    - y´t    = dy/dt
    - y´´t   = d²y/dt²
    - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
    - y´n´t  = d^ny/d t^n
    - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
    - int f(x) = integral de f(x)
    - i,j,k são os 3 vetores unitários no sentido x,y e z.
    - v> indica que v é um vetor (é como a setinha encima do v).
    - v>> indica que v é uma matriz de duas dimensões =].
    - [ f(x) ] (a, b) = f(a) - f(b)
    - ð(t-t0) = delta de dirac no ponto t0.

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  Tabela de Transformadas Notáveis de Laplace:

      f ( t )      | L ( f )
1)    1            | 1/s, s>0
2)    e^(at)       | 1/(s-a), s>a
5)    sen(at)      | a/(s²+a²)
6)    cos(at)      | s/(s²+a²)
7)    cosh(at)     | s/(s²-a²), s>|a|
8)    senh(at)     | a/(s²-a²), s>|a|
9)    Uc(t)        | e^(-sc)/s
10)   Uc(t) f(t-c) | e^(-sc) L(f(t))
11)   e^(ct)f(t)   | L(f(s-c))
12)   f(ct)? - sei não =P
16)   f(t)**g(t)   | L(f(t)) L(g(t))
17)   ð(t-t0)      | e^(-s t0)
19)   y'           | s L(y) - y(0)
19)   y''          | s²L(y) - s y(0) - y'(0)
(a regra 19 no livro do professor é uma regra generica para qualquer número de derivações)

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  Bem a última aula foi a última sobre Séries de Fourrier.

  E hoje vai ser a última aula em que teremos materia nova.

  Na aula de hoje vamos falar sobre a Equação de Laplace.

  Note que isso não tem relação direta com as Transformadas de Laplace.

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    u = u(x,y)
    (não mais x,t)

  e seja u definido na região <omega> definida em R²

  A equação de laplace é:

    u´´x + u´´y = 0

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  Uma analogia para essa equação é cálcular o potencial elétrico na região
  <omega> sabendo-se que as cargas estão na fronteira da região.

  E suponha a região <omega> como sendo um retangulo.

  Essa formulação da equação de Laplace é chamada de "Problema de Dirichlet".

  Ou seja descobrir o potencial elétrico em um ponto (x,y) com as cargas distribuidas
  nas bordas de uma região <omega> de formato retangular.

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  Agora vamos especificar um caso para fins de exercicio:

  Suponha então:

    <omega> = ]0,a[ x ]0,b[

  Ou seja um retangulo com vertice na origem de lados a e b.

  E suponha

    u(x,0) = 0 = u(x,b)

    u(0,y) = 0

    u(a,y) = f(y)

  Ou seja só há energia potencial na borda direita do retangulo.

  Vamos tentar nosso método padrão:

    u(x,y) = X(x) Y(y)

  Substituindo na eq. original:

    X''Y + XY''= 0

  Implicando em:

    X''/X= -Y''/Y

  Como isso é verdade para todo x,y deve haver uma constante de proporção.

  Chamando ela de -<lambda>:

    X''/X= -Y''/Y = -<lambda>

  Fazendo assim obtemos duas equações:

    X'' + <l>X=0

    Y'' - <l>Y=0

  Vamos utilizar as condições de contorno:

    u(x,0) = X Y = 0 => Y(0) = 0

    u(x,b) = X Y = 0 => Y(b) = 0

    u(a,y) = X Y = 0 => X(0) = 0

  Sabendo disso temos o problema de Valor de Contorno:

    { Y'' - <l>Y=0
    { Y(0) = Y(b) = 0

  E já sabemos a resposta disso pelos exercicios das outras aulas.

    <l> = n² pi² / b²
    n = 1,2,3...

  Porque b²? porque fizemos a extensão da função no intervalo ]0,b[ para ]-inf,inf[

    Yn(y) = sen(n pi y/b)

  Para a equação de X temos:

    { X'' + <l>X=0
    { <l> = n² pi² / b²
    { X(0) = 0

  Supondo uma solução na forma de e^(rx)
  E considerando a condição de contorno temos:

    r² - n² pi²/b² = 0

  Assim:

    r = +- n pi / b

  // To copiando sem entender a proxima parte:
  S.G.:

    Xn(x) = 2 an [e^(n pi x/b) - e^(-n pi x/b)]

  Ou fazendo cn = 2an:

    Xn(x) = cn * senh (n pi x/b)

  assim temos:

    un(x,y) = Xn(x) Yn(y) = cn senh(n pi x/b) sen(n pi y/b)

  Agora precisamos de usar nossa última condição de contorno:

    un(a,x) = Xn(a) Yn(y) = f(y)

  Se f(y) for descontinua, a solução precisará ser mais flexível.

  Partindo da idéia de que a combinação linear das soluções também é uma solução,

  Temos a solução geral:

    f(y) = u(a,y) = sum(n=1,inf) cn senh(n pi x/b) sen(n pi y/b)

  Agora o professor veio com a pergunta:

  Seja:

    f(y) = sum(n=1,inf) bn sen (n pi y/b)

  Como descobrir o valor de bn?

  Como f(y) pode ser não periódica, vamos extende-la para uma função periodica.

  O periodo será 2L = 2b

  e sabemos que ela é formada por senos, e portanto deve ser uma extensão impar.

  assim podemos usar o cálculo do coeficiente bn da série de fourrier para descobrir esse valor:

    bn = 2/b int(0,b) f(y) sen(n pi y/b) dy

  Voltando então para a equação original:

    f(y) = sum(n=1,inf) cn senh(n pi x/b) sen(n pi y/b)

  E comparando com a fórmula anterior podemos chegar na igualdade:

    cn senh(n pi x/b) = bn

  Logo:

    cn = 2/b int(0,b) f(y) sen(n pi y/b) dy / senh(n pi x/b)

  Entendedido?
  (eu pessoalmente vou querer reler isso depois =P)

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  Vamos chamar o problema acima de problema I

  Como resolveriamos um problema II que seria identico ao primeiro porém com:

    u(0,y) = u(a,y) = 0

    u(x,b) = fII(x)

  Ou seja a parte direita do retangulo não terá cargas, a de cima terá.

  A solução seria analoga a de I.

  Vamos chamar as duas soluções respectivamente de:

    uI(x,y) e uII(x,y)

  Seja a função:

    u(x,y) = uI(x,y) + uII(x,y)

  O que é essa função?

  Bem, sabemos que tanto uI, quanto uII satisfazem:

    u´´x + u´´y = 0

  E como a equação é linear, u(x,y) também satisfaz essa equação.

  Quanto vale a função u nas fronteiras do retangulo?

    u(0,y) = 0

    u(x,0) = 0

    u(a,y) = fI(y)
    (fI = f(y) do problema I)

    u(x,b) = fII(x)

  Correto?

  Agora pode-se perceber que u(x,y) é a solução do problema onde
  as laterais direita e superior do problema tem carga.

  e as laterais inferior e esquerda não tem.

  Que interessante não?

  Agora ficou fácil imaginar como fariamos para resolver
  Um problema onde todas as laterais do retangulo tenham carga não é?

  Para isso basta dividir esse problema em 4 problemas distintos, e depois a soma dos 4 deverá ser a solução do problema original.

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  No livro também é falado do problema de Dirichlet no circulo.

  Porém o professor não vai mostrar esse último.

  O professor vai passar alguns exercicios, a próxima aula será uma aula de exclarecer dúvidas.

  E a materia acabou hoje.

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  Exercicios:

  Sessão 10.8
  pg 502: 1, 2, 3, 4, 8.

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  // Fim da aula!