Ozik

\documentclass[a4paper,11pt]{article}

% language packages

\usepackage{polski}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english, polish]{babel}
\usepackage{latexsym}


% extras packages

\usepackage{enumerate}
\usepackage{hyperref}           % hyperlinks
\usepackage{fancyhdr}       % extension for headers and footers
\usepackage{graphicx}       % package for adding pictures

% for drawing

% --------------------- TikZ is default

% ams packages
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}

\everymath{\displaystyle}

% frenchspacing and other settings
\frenchspacing

% Theorems


% Theorems


\newtheorem{twr} {Twierdzenie}

% Questions

\theoremstyle{definition}

\newtheorem{ćw} {Ćwiczenie}
\newtheorem{defn} {Definicja}
\newtheorem{zad} {Zadanie}
\newtheorem{roz} {Rozwiązanie}
\newtheorem*{oroz} {Ogólne podejście do rozwiązywania tego typu zadań}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{uw} {Uwaga}

% About
\author{Bartosz Muszyński}
\title{\vspace{-2.5cm}Ozik}

\begin{document}
\maketitle

\begin{zad} Obliczyć:
\[ \mathcal{F}(f(t)), \text{gdzie } f(t) = 1(t)(1-e^{-\omega_0 t})dt\]
\end{zad}
\begin{roz}
Lecimy z tym koksem. Z definicji:
\[ \mathcal{F}(f(t)) = \int^{\infty}_{-\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt\]
\[ \int^{\infty}_{-\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt = \int^{\infty}_{-\infty} (1(t)(1-e^{-\omega_0t}))e^{-j\omega t}dt\]
\[ \int^{\infty}_{-\infty} (1(t)(1-e^{-\omega_0t}))e^{-j\omega t} dt = \int^{\infty}_{-\infty} 1(t)e^{-j\omega t}  - 1(t)e^{-\omega_0t}e^{-j\omega t} dt =\]
\[= \int^{\infty}_{-\infty} 1(t)e^{-j\omega t}dt  - \int^{\infty}_{-\infty} 1(t)e^{-\omega_0t}e^{-j\omega t} dt\]
Dobra, rozpierdoliliśmy to na dwie całeczki. Pierwsza całeczka:
\[ \int^{\infty}_{-\infty} 1(t)e^{-j\omega t}dt = \int^{\infty}_{0} e^{-j\omega t}dt \]
Zmiana granic całkowania wynika bezpośrednio z definicji sygnału $1(t)$. Po prostu dla wszystkich wartości ujemnych wartość wyrażenia pod całką będzie równa zero, stąd też pole od minus nieskończoności do zera też będzie równe zero. Liczymy całkę nieoznaczoną:
\[ \int e^{-j\omega t}dt \overset{def}{=} -\frac{1}{j\omega}e^{-j\omega t} + C \]
Wrócimy do tego potem. Rozjebujemy drugą całeczkę (podobnie ograniczone zostaną granice całkowania:
\[ \int e^{-\omega_0t}e^{-j\omega t} dt = \int e^{-\omega_0t -j\omega t} dt = \int e^{-t(\omega_0 + j\omega)} dt \overset{def.}{=} -\frac{1}{\omega_0 + j\omega}e^{-t(\omega_0 + j\omega)} + C \]
Brawo, mamy dwie caki nieoznaczone rozjebane. Stąd:
\[\mathcal{F}(f(t)) = \int^{\infty}_{-\infty} 1(t)e^{-j\omega t}dt  - \int^{\infty}_{-\infty} 1(t)e^{-\omega_0t}e^{-j\omega t} dt =\]
\[ = \left( -\frac{1}{j\omega}e^{-j\omega t} \middle) \right|^\infty_0 - \left( -\frac{1}{\omega_0 + j\omega}e^{-t(\omega_0 + j\omega)} \middle) \right|^\infty_0  = \]
Tu małe wtrącenie, bo nie chce mi się tego bardziej rozpisywać, jasnym jest, że $\lim\limits_{t \to \infty} ae^{-bt} = 0, \forall_{a, b \in \mathbb{C}}$. Z kolei dla $t=0$ mamy $e^{-jt} = 1$. Zatem ostatecznie będziemy mieli:
\[= \left( -\frac{1}{j\omega}e^{-j\omega t} \middle) \right|^\infty_0 - \left( -\frac{1}{\omega_0 + j\omega}e^{-t(\omega_0 + j\omega)} \middle) \right|^\infty_0  =  \]
\[ = \left( 0 - \left( -\frac{1}{j\omega} \right) \right) - \left( 0 - \left( - \frac{1}{\omega_0 + j\omega} \right) \right) = \frac{1}{j\omega} + \frac{1}{\omega_0 + j\omega} \]
\end{roz}

\end{document}