\section*{25 билет}
\subsection*{Свободные колебания в линейных системах. Колебательный RLC-контур.}
\includegraphics[scale=0.34]{RLCcircuit1.png}
\newline
Если контур состоит из последовательно стоящих резистора, конденсатора и индуктивности то процессы в нём описываются дифференциальным уравнением $$U_c + \dot{U_c}RC + \ddot{U_c}CL = 0\Leftrightarrow\ddot{U_c} + \dot{U_c}\frac{R}{L} + \frac{U_c}{LC} = 0\Leftrightarrow\ddot{U_c} + 2\gamma\dot{U_c} + \omega_0^2U_c = 0;\;\;\;где\;\gamma = \frac{R}{2L},\;\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$$
Решением будет $U_c(t) = A_1e^{(-\gamma-\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2})t}+A_2e^{(-\gamma+\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2})t}$, $(A_1 + A_2 = U_c(0);\; C\dot{U_c}(t) = I(0))$. \newline Для тока уравнение и решение точно такое же, а коэффициенты находятся из $A_1 + A_2 = I(0);\newline I(0)R + U_c(0) + L\dot{I}(0) = 0$.
\newline
\textbf{Если} $\omega_0 > \gamma$, то можно сразу найти синусоидальное (периодическое) решение:
$$U_c(t) = B_1e^{-\gamma t}cos(\omega t - \theta_1);\;\;I(t) = -B_2e^{-\gamma t}cos(\omega t - \theta_2);\;\;где\;\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$$
При условии $U_c(0) = U_0;\;I(0) = 0;$ получаем: $\theta_2 = \frac{\pi}{2}; B_2 = \frac{U_0}{L\omega}; \theta_1 = -arctan(\gamma/\omega); B_1 = U_0\omega_0/\omega$
\newline Коэффициент $\frac{U_0}{L\omega}$ можно найти из уравнения: $\frac{dI}{dt}(0)L + I(0)R + U_0 = 0$ \newline
\textbf{Если} $\omega_0 \leqslant \gamma$, то решение называется апериодическим:
$$U_c = U_0e^{-\gamma t}(\frac{\gamma}{\varkappa}sh\varkappa t+ch\varkappa t);\;I = -\frac{U_0}{L\varkappa}e^{-\gamma t}sh\varkappa t;\;где\;\varkappa = i\sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} = i\omega$$
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{RLCcircuit2.png}
\end{center}
$R = 2\sqrt{L/C}$ и сам процесс, соответствующий режиму $\omega_0 = \gamma$ называют критическими:
$$Предельным\;переходом\;из\;прошлого\; выражения: I = -\frac{U_0}{L}te^{-\gamma t};\;U_c = U_0e^{-\gamma t}(1+\gamma t)$$
\subsection*{Коэффициент затухания, логарифмический декремент и добротность. Энергетический смысл добротности.}
Добротность называют величину: $Q = 2\pi\frac{W}{\Delta W}$, где $W$ - энергия в контуре в какой-то момент времени, $\Delta W$ - потери в контуре за период. Будем рассматривать добротность только при слабом затухании $\gamma \ll \omega_0$.
$$U_c \approx U_0e^{-\gamma t}cos\omega_0 t;\;W = \frac{CU^2}{2} = CU_0^2e^{-2\gamma t}\;(удобнее\; рассматривать\;моменты\;когда\;I = 0)$$
Потеря энергии за период равна (учтём что $\gamma \ll \omega_0;\;или\;2\gamma T \ll 1)$
$$\Delta W = \frac{CU_0^2}{2}(e^{-2\gamma t} - e^{-2\gamma(t+T)}) = W(1-e^{-2\gamma T}) \approx 2\gamma TW$$
$$Q = 2\pi \frac{W}{\Delta W} = \frac{\pi}{\gamma T} \approx \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$$
Логарифмическим коэффициентом затухания $\theta$ называется логарифм отношения двух последовательных максимальных отклонений в одну сторону.
$$\theta = ln\frac{U_k}{U_{k+1}} = lne^{\gamma T} = \gamma T = \frac{\pi}{Q}$$
\section*{26 билет}
\subsection*{Вынужденные колебания под действием синусоидальной силы.}
Если в колебательный контур вставить последовательно источник переменного синусоидального напряжения, то получиться неоднородное уравнение, решением которого будут затухающие колебания + стационарное решение:
$$U_c + \dot{U_c}CR + \ddot{U_c}CL = Ecos\omega t;\;U_c(t) = A_1e^{(-\gamma-\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2})t}+A_2e^{(-\gamma+\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2})t} + \frac{Ecos(\omega t + arctan(R\omega C/(1-\omega^2 LC)))}{\sqrt{\omega^4L^2C^2+\omega^2(C^2R^2-2LC) + 1}}$$
Чтобы не работать со столь сложными уравнениями можно прийти к простой идее, что стационарное решение в лучшем случае должно давать такие же синусоидальные колебания тока и напряжения на всех элементах цепи (предполагаем что такое решение уравнения в цепях есть всегда). В таком случае колебания напряжения и тока на элементе можно описать вращением постоянного по длине вектора в комплексной плоскости, ведь комплексная часть решения в уравнении слева и справа сокращается, что даёт нам возможность задать $Ecos\omega t$ так же вращающимся вектором $Ee^{i\omega t}$ (равенство векторов даёт равенство проекций на действительную ось, что нам и нужно). \newline
Заметим, что для конденсатора, индуктивности и резистора в случае гармонических колебаний выполняются обобщённые законы Ома:
$$U_c = -\frac{i}{\omega C}I_c;\;U_L = i\omega LI_L;\; U_R = RI_R\;(U_R,\;I_R, \;U_c,\;I_c,\;U_L,\;I_L\;комлексные\;в\; общем\;случае)$$
Данный факт позволяет нам складывать импедансы ("сопротивления"$\;$элементов в общем случае) параллельно и последовательно также как и для резисторов.
Таким образом получаем:
$$E = I\cdot(R + i\omega L - \frac{i}{\omega C});\;|E| = |I|\cdot|(R + i\omega L - \frac{i}{\omega C})|;$$
Таким образом легко получит сдвиг фаз как угол между векторами $E$ и $I$: $\phi = arctan(R\omega C/(1-\omega^2 LC))$
\newline
\subsection*{Амплитудная и фазовая характеристики. Резонанс.}
Найдём зависимости амплитуды $U_c$, $U_L$ и $I$ в контуре от частоты:
$$U_c = E/\sqrt{\omega^4L^2C^2+\omega^2(C^2R^2-2LC) + 1};\;U_L = E/\sqrt{(1-\frac{1}{\omega^2LC})^2 + \frac{R^2}{\omega^2L^2}};\;I = E/\sqrt{R^2+(\omega L - 1/(\omega C))^2}$$
\begin{center}
	\includegraphics[scale=0.5]{resonance.png}
\end{center}
Важно заметить, что частоты эти не совпадают и даже не всегда существуют.
\newline
Найдём фазовочастотные характеристики для $U_c$, $U_L$ и $I$ в контуре:
$$\phi_c = -arctan(R\omega C/(1-\omega^2 LC));\;\phi_I = arctan((1-\omega^2 LC)/R\omega C);\; \phi_L = -arctan(R\omega C/(1-\omega^2 LC)) = \pi+\phi_c;$$
\begin{center}
	\includegraphics[scale=0.5]{vectors.png}
\end{center}
\subsection*{Ширина резонанса и ее связь с добротностью.}
Формулу для тока в RLC цепи можно переписать как:
$$I = \frac{E/(2\gamma L)}{\sqrt{1+(\frac{\omega_0}{\omega} - \frac{\omega}{\omega_0})^2(\frac{\omega_0}{2\gamma})^2}};\;I_{рез} = E/R$$
Тогда если использовать формулу для добротности свободных колебаний (и так сойдёт!):
$$\frac{I}{I_{рез}} = \frac{1}{\sqrt{1+(\frac{\omega_0}{\omega} - \frac{\omega}{\omega_0})^2Q^2}}$$
А если ещё $\frac{\Delta\omega}{\omega_0} = \frac{|\omega - \omega_0|}{\omega_0} \ll 1$ и $Q \gg 1$ (иначе формулу для добротности нельзя было использовать):
$$\frac{I}{I_{рез}} = \frac{1}{\sqrt{1+(\frac{2\Delta\omega}{\omega_0})^2Q^2}}$$
Наложим условие и найдём соотношение для ширины кривой и добротности:
$$\frac{I}{I_{рез}} =1/\sqrt{2};\;Q=\frac{\omega_0}{2\Delta\Omega}$$
В параллельном контуре при приближении к резонансу $\omega = \omega_0$ резко возрастает сопротивление, так что удобнее было бы рассматривать зависимость напряжение на цепи в зависимости от частоты при подключённом источнике синусоидального тока (амплитуда тока постоянна). В таком случае форма резонансной кривой и её ширина такая же как и в рассмотренном выше случае
\newline
\includegraphics[scale=0.7]{ParCircuit.png}
\subsection*{Процесс установления вынужденных колебаний, биения.}
Процесс установления колебаний это вынужденные колебания + затухающие (свободные). Всерьёз находить эти коэффициенты из начальных условий вас вряд ли заставят.
\newline
Биения возникают при сложении очень близких по частоте колебаний. Например, когда в RLC цепи начинают подавать сигнал, близкий к резонансному. В таком случае складываются затухающие и стационарные колебания.
\newline
Если подать сигнал с частотой, очень близкой к резонансной, то биения не будут видны, так как разность фаз между сигналами не успеет сильно вырасти за характерное время затухания свободных колебаний.
Условие возникновения биений:
$$\Delta\omega \ll \frac{\omega}{Q}$$
Тогда можно упростить формулу установления колебаний в контуре и формулу для декремента:
$$U = U_0(1-e^{-\gamma t})cos(\omega_0t-\phi);\;\;\theta = \frac{1}{n}ln\frac{U_0-U_k}{U_0-U_{k+n}}$$