Потоковая#3

// (づ°ω°)づﾐe★゜・。。・゜゜・。。・゜☆゜・。。・゜゜・。。・゜
Введение в Алгебру. Основные определения и теоремы:

Алгебраические структуры, изоморфизм.
1. Алг.структура - множество с заданным на нем набором алг.операций
2. Две алг.структ. с1 и с2 изоморфны, если все алг.оп из с1 получаются переносом (по 1-1 соотв, изоморфизму алг.структ.) из алг.оп с2.
3. Адд. аб. гр. А - алг.структ. с одной бинарной оп. (+): ассоциативность, коммутативность, сущ. нуля, сущ. противоположного.

Группы, кольца, поля.
4. Мул. аб. гр. А - алг.структ. с одной бинарной оп. (-): ассоциативность, коммутативность, сущ. нейтрального, сущ.обратного.
5. Кольцо K - алг. структура с двумя бинарными операциями + и - : 1) <K;+> - адд. аб. гр. 2) дистрибутивность умножения: a(b+c)=ab+ac b (a+b)c=ac+bc.
    Если * ассоц., коммут., сущ  то кольцо называется ассоц., коммут., с единицей.
6. Поле K - ассоц., коммут., кольцо с 1!=0, все ненулевые эл-ты обратимы.
7. Харрактеристика поля p - "сумма p едениц"=0, p - min.
8. Подгруппа B из А - 1)  B замкнуто отн. +/* 2) B - адд./мулл. аб. гр. ; Обозн. B <= A.
9. Подкольцо L кольца K - 1) L замкнуто отн. оп. в K и само обр. кольцо отн. суженных оп.из K: (a,b)->a+b (a,b э L), (a,b)->a*b (a,b э L).
10. Подполе L поля K - L замкнуто отн. оп. K и само образует поле отн. поле отн. суженных оп. из K.

Векторное пр-во.
11. Векторное пр-во V над полем К - структура со св-ми: 1) V - адд. аб. гр. 2) Задано "внешнее умножение KxV->V, (h,a)->ha э V, h э K, a э V.
    Cо св-вами: УС1) h(a+b)=ha+hb УС2) (h+m)a=ha+ma УС3) (hm)a=h(ma) УС4) 1a=a (для всех (a,b э V), (h, m э K)
    Эл-ты из V называются векторами, элементы из K называются сколярами.
13. Сист. вект. в вект. пр-ве - отображение индексного пр-ва мн-ва I в вект. пр-во: (i э I), i->ai э V; I = {1..s}, (a[1],..,a[s]) - сист. вект.
14. Изморфизм вект. пр-в - V и V' над полем K изоморфны, если м/д ними можно установить изоморфизм, т.е. 1-1 соотв. a<->a', сохр. оп.
    {a<->a', b<->b'} => {a+b<->a'+b', ha<->ha'} (для всех h э K).
15. Теор. Если вект. пр-во V над полем K имеет конеч. базис e1..en, то V изоморфно пр-ву K^n.

Алгебры, алгебра матриц.
16. L алгебра над полем K - L - вект. пр-во над K и на L задана биллинейная бинарная оп. умножения (a,b)->ab э L:
    (a+b)c=ac+bc | a(b+c)=ab+ac, (ha)b=h(ab) | a(hb)=h(ab) (для всех a, b, c э L, для всех h э Л)
17. Теор. L - вект. пр-во над K с базисом e[1]..e[n]. Если L - алг. над K, то оп. умножения в L 1-1 задается произв. e[i]*e[j] эл-тов базиса.
18. Матрица sxn - прямоугольная таблица. при s==n м-ца называется квадратной порядка n. М-цы одного порядка можно складывать.
19. Теор. Мн-во Mn(K) всех кв. матр. прдк. n над полем K образуе отн. указанных оп. ассоц. алгебру с единицей над полем  K.
20. Однородная система лин. ур-й - её правая часть нулевая Ax=0.
21. Теор. Мн-во решений однрдной сист. лин. ур-й образует векторное пр-во отн. оп. из коорд. пр-ва (+;h).
22. Фундаментальная система решений (ФСР) - базис пр-ва решений однородной системы лин. ур-й.
23. Общее решение системы лин. ур - отображение коорд. пр-ва на мн-во всех решений системы лин. ур-й.

Размерность вект. пр-ва.
22. Теор. V - вект. пр-во над полем K с базисом e1..en (n<inf). Тогда:
    1) всякая сист. вект. (a1..aN) из V лин. зав при N > n 2) всякий басис V сост. из n вект. n - разм. вект. пр-ва V над полем K. Обозн. dim_k_(V).
23. Подпр-во U<=V - непустое подмн-во U вект. пр-во V над полем K, если оно замкнуто отн. оп. слож. вект. и умн. на сколяр и само обр. пр-во отн. этих оп.
24. Теор. Песть V - вект. пр-во над полем K и U<=V. dim(V)<inf, тогда
    1) dim(U)<=dim(V)<inf 2) базис U можно дополнить до базиса V 3) U<V => dim(U)<dim(V).

Суммы, пересечения, прямые суммы.
25. Сумма семейства подпр-в данного вект. пр-ва - наименьшее подпр-во, сод. каждое Подпр-во сеймейства. Обозн. U+W=<U,W>={u+w|wэU, wэW}.
26. Теор. Пусть U и W - Подпр-ва конечномерного пр-ва V над полем K, тогда dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U^W).
27. Прямая сумма - сумма U+W, если все вект. из U+W имеют ед. представление  u+w, (u э U, w э W). Обозн U*кружок с плюсом*W.
28. Теор. Сумма U+W подпр-в из V явл. прямой <=> U^W={0}
29. Если v э прям_сумм(U, V), то v=y+w, (u э U, w э W) это представление эдинственно. Задано отобр. v->w - проецирование на W праллейно U.

Перестановки.
30. Пер-ка (k[1]..k[n]) чисел 1,2..n - это последовательность чисел 1,2..n в некотором порядке без повторов.
31. Инверсия - это вхождение  пары (k[i], k[j]) в пер-ку (k[1]..k[n]) такое, что i<j, но k[i]>k[j].
32. Пер-ка чет., если общее число инверсий чет., иначе нечет. . Знак пер-ки 1, если пер-ка чет., иначе -1.
33. Транспозиция - перемена местами двух эл-тов пер-ки.
34. Теор. 1) общее число пер-ок n чисел 1..n равно n! 2) транспозиция пер-ки меняет её четность 3) если n>=2, то кол-во чет. = кол-во нечет (n!/2).

Определитель.
35. Теор. На пр-ве V=K^n, где K - поле сущ. ед. n-лин. кос-симм. фк., равная 1 на станд. базисе K^n.
    На сист. строк м-ца A=(a[i][j]) 1<=i,j<=n совпадает с фк. det(A):="сумма по перестановкам (k[1]..k[n])" sng(k[1]..k[n])a[1][k1]a[2][k2]...a[n][kn].
36. Доп св-ва det - 1) не изм. при трансп. м-цы 2) не изм. при эл-арных преобр. 1 рода для системы строк 3) det треуг. м-цы = произв. эл-тов главной диагонали.
    4) det полу-расп. м-цы = произв. клеток гл. диагонали 5) det(A*B)=det(A)*det(B).
37. Дополнительная матрица к месту [i][j] - м-ца M[i][j] получается из м-цы A вычеркиванием i-ой строки и j столбца.
38. Дополнительный минор к месту [i][j] - det(M[i][j]).
39. Алг. доп. к месту [i][j] - A[i][j] = (-1)^(i+j)det(M[i][j]).
40. Разложение det по i строке - det(A) = "сумма по j=1..n" a[i][j] * A[i][j].

Обратная матрица.
41. Теор. Для м-цы А порядка n над полем K след. утв. верны и равносильны:
    1) сущ. X э Mn(K): AX=XA=E 2) сущ. Y э Mn(k): AY=E 3) сущ. Z э Mn(k): ZA=E 4) det(A)!=0. Более того X=Y=Z=A^(-1).
42. Формула обратной матрицы - A^(-1) = 1/det(A) * (A[i][j])^T (^T - транспонирование).

Формулы Крамера.
43. Крамерова сист. - сист. лин. ур-й Ax=b, где A - квадратная матрица и det(A)!=0.
44. Теор. Крам. сист. лин. ур-й Ax=b имеет ед. реш. x. Оно дается "формулами Крамера". x[i] = det(A[i])/det(A), где м-ца A[i]  получена из A заменой i-го столбца на столбец b.

Теорема о ранге.
45. Минор порядка r - det квадратной м-цы порядка r из A. Минорный ранг м-цы A - наиб. порядок ненулевого минора из A. Соотв. минор называется базисным.
    Строчный ранг м-цы A - ранг системы строк А или размерность лин. оболочки строк А cK^n.
    Аналогично опр. столбцевой ранг. лин. об. cK^n.
46. Теор. Если базисный минор в м-це A зад. данными r строками A и r столбцами A, то эти строки обр. базис системы строк A, а столбы - базис системы столбцов А.
В частности, минорный, стоковый и столбцевой ранги совпадают. Это число называется РАНГОМ ма-цы A и обозн. rkA.