\subsection{Misura della costante elastica e della forza di precompressione di una molla precompressa}
   \vspace{0.03\linewidth}
           \begin{minipage}[b]{.35\linewidth}
 \strut\vspace*{--\baselineskip}
\begin{tabular}{l|l}

\hline \textbf{Massa (kg)} & \textbf{L (m)} \\ \hline
0,05 & 0,209\\
0,10 & 0,209\\
0,15 & 0,209\\
0,20 & 0,217\\
0,25 & 0,235\\
0,30 & 0,250\\
0,35 & 0,268\\
0,40 & 0,284\\
0,45 & 0,304\\
0,50 & 0,323\\
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{.6\linewidth} \subsubsection{Metodo dei minimi quadrati}
Non consideriamo i valori di L corrispondenti alle tre masse più piccole, poichè sono entrambi pari ad $ L_0$, di conseguenza la forza di gravità esercitata sulla molla a causa di queste non è abbastanza da vincere $F_0$. Tenendo conto anche della forza di precompressione, l'equazione del moto di una molla precompressa risulta comunque in forma lineare. Verifichiamo quindi la linearità della dipendenza dell'allungamento della molla con una regressione lineare ponendo:
$$A=L_0 - \frac{F_0}{k_p}$$
$$B=\frac{g}{k_p}$$

\end{minipage}
\vspace{0.03\linewidth}

\noindent Quindi:
$$L=Bm+A$$
\\
\noindent Con il metodo dei minimi quadrati ($N=7$), otteniamo che:
$$A=0,146214 \ m$$
$$B=0,350 \ \frac{m}{kg}$$
$$\sum_{i=1}^{7} m_i^2=0,9275 \ kg^2$$
$$\sum_{i=1}^{7} m_i=2,45 \ kg$$
$$\Delta=0,49 \ kg^2$$
 \newpage
\noindent Passiamo quindi a calcolare i valori di L teorici in modo da poter calcolare $\sigma_{y \ gauss}$ e quindi l'errore sui valori di A e B:
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{l|l|l|l}
\hline \textbf{Massa (kg)} & \textbf{L (m)} & $\mathbf{L_{teorico}}$ & $\mathbf{(L-L_{th})^2}$\\ \hline
0,20 & 0,217 & 0,21621 & $6,241 \cdot 10^{-7}$\\
0,25 & 0,235 & 0,23371 & $1,6641 \cdot 10^{-6}$\\
0,30 & 0,250 & 0,25121 & $1,4641 \cdot 10^{-6}$\\
0,35 & 0,268 & 0,26871 & $5,041 \cdot 10^{-7}$\\
0,40 & 0,284 & 0,28621 & $4,8841 \cdot 10^{-6}$\\
0,45 & 0,304 & 0,30371 & $8,41 \cdot 10^{-8}$\\
0,50 & 0,323 & 0,32121 & $3,2041 \cdot 10^{-6}$ \\ \hline \\[-13pt]
& & & $\sum=1,24287 \cdot 10^{-5}$
\end{tabular}
\end{table}

\noindent Otteniamo così:

 $$\sigma_{y \ gauss}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}(L-L_{th})^2}{N-2}}= 1,5755 \cdot 10^{-3} \ m$$

\noindent Calcoliamo l'errore su A e B:
$$\delta A=\sigma_{y \ gauss} \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7} m_i^2}{\Delta}}=2,169 \cdot 10^{-3} \ m$$
$$\delta B=\sigma_{y \ gauss} \sqrt{\frac{N}{\Delta}}=5,959 \cdot 10^{-3} \ \frac{m}{kg}$$

\noindent Abbiamo quindi che, tenendo un alto numero di cifre significative in modo da ridurre l'errore sul calcolo di $k_p$ ed $F_0$:
\begin{eqnarray*}
A=(0,146214 \pm 0,002169) \ m \\
B=(0,350000 \pm 0,005959) \ \frac{m}{kg} \\
\end{eqnarray*}

\noindent Possiamo ora passare al calcolo effettivo di di $k_p$ ed $F_0$:

$$\bar{k_p}= \frac{g}{B}=28,02857 \ \frac{N}{m} $$
$$\delta k_p= \frac{g}{B^2} \delta B= 0,4772 \ \frac{N}{m}$$
$$\bar{F_0}= k_p (L_0 - A)= 1,7598 \ N $$
$$\delta F_0= k_p (L_0 - A)\left[ \frac{\delta k_p}{k_p} + \frac{\delta L_0 + \delta A}{L_0-A}\right]= 0,1468 \ N $$

\noindent Con il metodo dei minimi quadrati abbiamo quindi ottenuto che:
\begin{eqnarray*}
k_p= (28,0 \pm 0,5) \ \frac{N}{m}\\
F_0= (1,76 \pm 0,15) \ N\\
\end{eqnarray*}