EDC 26/04/2012

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  NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
    - y´t    = dy/dt
    - y´´t   = d²y/dt²
    - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
    - y´n´t  = d^ny/d t^n
    - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
    - int f(x) = integral de f(x)
    - i,j,k são os 3 vetores unitários no sentido x,y e z.
    - v> indica que v é um vetor (é como a setinha encima do v).
    - [ f(x) ] (a, b) = f(a) - f(b)
    - ð(t-t0) = delta de dirac no ponto t0.

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  Tabela de Transformadas Notáveis até agora:

      f ( t )      | L ( f )
1)    1            | 1/s, s>0
2)    e^(at)       | 1/(s-a), s>a
5)    sen(at)      | a/(s²+a²)
6)    cos(at)      | s/(s²+a²)
7)    cosh(at)     | s/(s²-a²), s>|a|
8)    senh(at)     | a/(s²-a²), s>|a|
9)    Uc(t)        | e^(-sc)/s
10)   Uc(t) f(t-c) | e^(-sc) L(f(t))
11)   e^(ct)f(t)   | L(f(s-c))
17)   ð(t-t0)      | e^(-s t0)
19)   y'           | s L(y) - y(0)
19)   y''          | s²L(y) - s y(0) - y'(0)
(A regra 19 no livro é generica e abrange os 2 casos)

// Ajustei a tabela com a numeração da tabela do professor.
// Os números faltando é porque omiti o que não foi dito em aula.

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  A aula de hoje é sobre a Operação de Convolução e Sistemas de Equações Diferenciais.

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  A aula de hoje começou com um exercicio.

  Exercicio 20 (pg 258)

  L⁻¹( e^(-2s) G(s) ) = u2(t) g(t-2)

  Agora g = L⁻¹(G)
  Como cálcular?

  agora G(s) = 1/(s²+s-2)

  Como simplificar o denominador para usarmos a tabela?

  Usando o método das frações parciais encontramos:

    1/(s²+s-2) = 1/3 ( 1/(s-1) - 1/(s+2) )

  Agora ficou fácil fazer o laplace.

    L⁻¹(1/(s-1)) = e^t
    L⁻¹(1/(s+2)) = e^(-2t)

  Assim:

    L⁻¹(G(t)) = 1/3 e^t - 1/3 e^(-2t) = g(t)

  E portanto a resposta fica:

    L⁻¹(e^(-2s) G(s)) = u2(t) (1/3 e^(t-2) - 1/3 e^(-2(t-2))

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  O exercicio acima é para evidenciar que a transformada inversa de um produto não é igual produto das transformadas inversas ou seja:

    L(F(x)G(x)) != L(F(x)) L(G(x))

  E o mesmo vale para a transformada inversa.

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  Porém isso tudo foi introdução para uma "multiplicação" especial, chamada convolução.

  Convolução é um operador denotado por um "asterisco bem grande", que aqui irei denotar com "**" para diferenciar da multiplicação normal.

  Formalmente a convolução da função f(t) com a função g(t) é dada pela fórmula:

    f(t) ** g(t)  = int (0,t) f(t-Z) g(Z) dZ

  Chama-se isso também de "produto de convolução"

  Entendido?

  A primeira pergunta então é: Pra que serve isso?

  Eu não me lembro bem nessa altura da aula, mas eu lembro que é algo parecido com isso:

    L⁻¹(f**g) = L⁻¹(f) ** L⁻¹(g)

  O que pode ser útil quando a coisa ficar bem complicada =], porque te permite separar o laplace inverso de um produto para o produto de 2 laplaces inversos,
  o que pode ser muito mais simples que o problema original.

  Essa operação no entanto é por sí só muito complexa então só deve ser usada em último caso, se voce não encontrar nenhum outro macete para resolver um exercicio.

  O professor iniciou agora um exercicio para demonstrar.

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  Exercicio 2:

    g(t) = u1(t)
    f(t) = sen (t)

    f**g = int (0,t) sen(t-Z) U1(Z) dZ

    f**g = int (1,t) sen(t-Z) dZ, para t>=1

    f**g = [ cos(t-Z) ] (1,t), para t>=1

  // Não entendi o passo abaixo:
    f**g = 1 - cos(t-1)

    f**g = { 0 se t<1
           { 1-cos(t-1) se t>=1

  Bem simples não?

  Expressando de outra forma:

    f**g = U1(t) (1-cos(t-1))

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  Uma coisa interessante que voce posde testar com esse exercicio simples é que:

    f**g = g**f

  Interessante não?

  Demonstração:

    f**g = int (0,t) f(t-Z) g(Z) dZ

  Agora vamos criar uma variável u = t-Z, sendo du = -dZ?

  Notem que segundo o que falei Z pode ser entendido como:

    Z = t-u

  e dZ pode ser entendido como:

    dZ = -du

  Substituindo:

    f**g = int (0,t) f(u) g(t-u) * -du
  // Esse -du ficou estranho, eu esperava que o sinal não mudasse =/

  Agora notem que tirando o fato desse -du (que no exemplo do professor ficou apenas "du")

  Essa expressão é identica à:

    g**f = int (0,t) g(t-Z) f(Z) dZ

  Certo?

  E está provado que é f**g = g**f =].

  Ou quase isso, nao sei o que fazer com o -du.

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  Propriedade 2 provem em casa (se quiserem):

    (f**g)**h = f**(g**h)

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  Propriedade 3:

    f**1 = f?

  Na verdade não =/.

  Vamos provar isso:

  seja f(t) = sen (t)

    f**1 = int (0,t) sen (t-Z) 1 dZ

  Integrando:

    [ cos(t-Z) ] (0,t) = 1 - cos (t).

  E isso é diferente de f(t) = sen(t).

  Portanto está provado.

  Essa propriedade é importante de ser citada porque nós somos levados a pensar que "**" tem todas as propriedades iguais à multiplicação "*"
  Mas isso não é verdade.

  Tem essa propriedade que não é igual. (não sei se existem outras, mas eu acho, apenas acho que é só essa propriedade diferente)

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TEOREMA da Convolução

  Seja:

    L(f) = F(s)
    L(g) = G(s)

    L(f**g) = F(s) G(s)

  Eis o grande chan do qual falei mais encima.

  A convolução é um bom meio de separar transformadas dificeis.

  O mesmo vale para inversa de laplace vejam:

    L⁻¹(F(s) G(s)) = f**g

  Notem que não é exatamente igual, não escrevei F**G, escrevi apenas f**g, isso pode causar confusão na hora de usar.

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  Exercicio:

    { y''+ 4y = g(t)
    { y(0) = 3
    { y'(0) = -1

  Quem é y(t)?

  Bem vamos usar laplace em tudo para começar:

    L(y'')+ 4 L(y) = L(g(t))

  Bem cálculando os laplaces:

    L(y'') = s²L(y) - sy(0) -y'(0)
    L(y')  = sL(y) - y(0)
    L(y) = L(y)

  Substituindo:

    s²L(y) - s 3 + 1 + 4 L(y) = L(g(t))

  Isolando L(y):

    L(y) = (3s-1)/(s²+4) + G(s)/(s²+4)

  Bem beleza, agora devemos aplicar L⁻¹ certo?

    y =  L⁻¹( (3s-1)/(s²+4) ) + L⁻¹( G(s)/(s²+4) )

  Vamos resolver primeiro L((s-1)/(s²+4))

  Podemos dividir isso em duas somas veja:

    L⁻¹( (3s-1)/(s²+4) ) = 3 L⁻¹( 1/(s²+4) ) - 1/2 L⁻¹( 2/(s²+4) )

  Calculando essas inversas temos:

    L⁻¹( 1/(s²+4) ) = cos(2t)
    L⁻¹( 2/(s²+4) ) = sen(2t)

  Beleza =], então nossa equação já ta assim:

    y = 3 cos(t) - 1/2 sen(2t) + L⁻¹( G(s)/(s²+4) )

  Agora vamos resolver o que restou.
  Como?

    L⁻¹(G(s) 1/(s²+4)) = à o que?

  Vamos chamar 1/(s²+4) de F?

  Notem que com essa notação a equação fica no formato do teorema da convolução veja:

    L⁻¹(G F) = g**f

  Certo?

  Então para descobrir a resposta basta descobrirmos quem é L⁻¹ de F
  E supor que g = L⁻¹(G)

  Calculando L⁻¹( 1/(s²+4) ):

    L⁻¹( 1/(s²+4) ) = 1/2 sen(2t).

  Assim nossa resposta final fica com uma integral em função de g(t)

  veja:

    y = 3 cos (2t) - 1/2 sen (2t) + f**g

    y = 3 cos (2t) - 1/2 sen (2t) + 1/2 int (0,t) sen (2(t-X)) g(Z) dZ

  Certo? Simples não?

  A grande dificuldade da conta seria fazer essa integral, uma vez descoberto o valor de g =].

  Mas por enquanto nossa resposta fica em função de g.

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  SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS!

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  Seja o sistema:

    { X1' = X2
    { X2  = X1 + X2

    { X1'' = X2
    { X2'' = X1 + X2

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  Exercicio 3:

    y''' + k(t) y'' + p(t) y' + q(t) y = g(t)

    y  = u
    y' = v
    y''= w

  Sabemos que:

    u´t = V
    v´t = w
    w´t = g - q u - p v - k w

  Temos um sistema.

  // O trem ta corrido vou deixar assim mesmo e correr atraz do professor.

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  Seja um sistema massa-mola com 3 molas e duas massas.

  de forma que elas estão posicionadas assim:

  parede preza a mola 1, que esta presa a massa 1 que está presa a mola 2 que está presa a massa 2 que está presa a outra parede.

  Em desenho ficaria:

     k1          k2           k3
  | ---- MASSA1 ----- MASSA2 -----|

  É possível escrever esse tipo de sistema =].
  E esse vai ser o assunto das próximas aulas.

  // Pelo o que eu entendi esses sistemas normalmente precisam de sistemas de ED para serem resolvidos,
  // Então o tema das próximas aulas será sistemas reais resolveidos com Sistemas de Equações Diferenciais! =P hehe.

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  // Fim da aula.