EDC 31/05/2012

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  # Gastão                  #
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  NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
    - y´t    = dy/dt
    - y´´t   = d²y/dt²
    - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
    - y´n´t  = d^ny/d t^n
    - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
    - int f(x) = integral de f(x)
    - i,j,k são os 3 vetores unitários no sentido x,y e z.
    - v> indica que v é um vetor (é como a setinha encima do v).
    - v>> indica que v é uma matriz de duas dimensões =].
    - [ f(x) ] (a, b) = f(a) - f(b)
    - ð(t-t0) = delta de dirac no ponto t0.

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  Tabela de Transformadas Notáveis de Laplace:

      f ( t )      | L ( f )
1)    1            | 1/s, s>0
2)    e^(at)       | 1/(s-a), s>a
5)    sen(at)      | a/(s²+a²)
6)    cos(at)      | s/(s²+a²)
7)    cosh(at)     | s/(s²-a²), s>|a|
8)    senh(at)     | a/(s²-a²), s>|a|
9)    Uc(t)        | e^(-sc)/s
10)   Uc(t) f(t-c) | e^(-sc) L(f(t))
11)   e^(ct)f(t)   | L(f(s-c))
12)   f(ct)? - sei não =P
16)   f(t)**g(t)   | L(f(t)) L(g(t))
17)   ð(t-t0)      | e^(-s t0)
19)   y'           | s L(y) - y(0)
19)   y''          | s²L(y) - s y(0) - y'(0)
(a regra 19 no livro do professor é uma regra generica para qualquer número de derivações)

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  Hoje estamos falando sobre como transformar uma função não periódica finita, do tipo:

    f(x) = { 0 para x=[0,1]
           { 1 para x=]1,2]

  Em uma função periódica infinita definida em ]-inf,+inf[. Basicamente para fazer isso voce duplica a função infinitas vezes.

  E diz que:

    g(x) = { f(x) para x=[0,2]
           { g(x+2L) para x!=[0,2]

  Ou seja g(x) = g(x+2L) no intervalo de [-inf,+inf].

  Para simplificar façamos

    L = 1

  Assim para x = -1 o valor de g(x) será:

    g(-1) = g(2L-1) = g(2-1) = f(1) = 0.

  E pronto voce fez a mudança.

  Isso é útil quando voce quer descobrir uma Série de Fourrier para uma função limitada.
  Assim voce extende a função para que ela seja aceita por uma Série de Fourrier.

  Voce pode também ter interesse em gerar uma função impar a partir de f(x), como fazer isso?

  O macete é adicionar à f(x) a "duplicada inversa" dela.

  Ou seja

    f(-x) = -f(x)

  Para fazer isso voce desenha uma função identica a original do lado oposto do eixo y.
  E depois inverte esse lado esquerdo, ou seja tudo que era positivo fica negativo, e re-faz o desenho com essa idéia.

  Bem simples, nenhum mistério.

    Antes:  ^
            |
            |---------
            |
    ________|___________>
            |
            |
            |

    Depois: ^
            |
            |---------
            |
    ________|___________>
            |
            |
   ---------|
            |

  Após fazer isso sua função será impar, e para extende-la para o intervalo ]-inf,+inf[
  Basta adicionar a clausula:

    g(x) = f(x) para x=[0,2]
         = g(x+2L) para o resto

  Da forma como fiz acima.

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  O professor voltou para o exemplo que ele apresentou no dia em que começou a introdução das Séries de Fourrier.

  Temos uma barra com uma distribuição de calor, de forma que o centro está mais quente e as laterais estão conectadas a barras de gelo a exatos 0°c
  de forma que a temperatura na lateral é constante.

  A distribuição do calor é expressa pela equação do calor que é:

    u = u(x,t)

    u´t = <delta>² u´´x

  O tamanho da barar é L e portanto o valor de x é válido no periodo de 0 à L

  e t = tempo que é começado em 0 então t>0.

    u(x,0) = f(x)

  E nossa última informação inicial é sobre as laterais terem temperatura 0:

    u(0,t)=u(L,t)=0 para todo t

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  Para buscar a solução o professor sugeriu agente dividir a função em dois elementos:

    u(x,t) = X(x) * T(t)

  Para isso ser verdade precisamos substituir isso na equação original:

  Substituindo fica:

    X T' = <delta>² X'' T

  Disso podemos chegar em uma outra equação:

    T'/(<delta>² T) = X''/X

  Agora par aisso ser verdade para todo t a proporção em X'' e X deve ser constante.
  E o mesmo tem de valer para T' e T.

  Assim podemos chamar essa constante de <lambda>
  Obtendo duas equações:



  Entre X e X'' e que deve ser igual à proporção de T e T'

  ou seja:

    T'/(<delta>² T) = -<l>

  e

    X''/X = -<l>

  Resolvendo a segunda separadamente temos uma equação de 2° ordem.

  A solução sabendo que X(0) = X(L) = 0 fica:

    <lambda> = n² pi² / L²

    Xn(x) = sen(n pi x / L)

  Resolvendo a equação de T e já sabendo o valor de <lambda> temos:

    Tn(t) = cn e^(- (<lambda> <delta> / L)² t

  que é:

    Tn(t) = cn e^(- (n pi <delta> / L)² t

  Sabendo disso a solução é:
  // Não lembro porque isso virou um somatório,
  // na aula do dia 17/05 deve estar melhor explicado

    u(x,t) = sum(n=1,inf) bn e^(-n² pi² <delta>² / L² t)

  // Bem demorei pra copiar =/, se eu passar a limpo isso nas ferias eu
  // corrijo isso.

  // Final de semestre o cansaço pesa =P
  // Gente se alguém ler isso aqui e tiver copiado melhor e tiver paciencia, voce pode terminar o texto pra mim =P.

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  Exercicios:

  Sessão 10.4
  pg 470 - 7 até 30

  Sessão 10.5
  pg 477 - 1, 4, 5, 7, 8, 10, 11,  _o_ \o_ _o/ _o| \o/ |o|

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  Vamos ter semana que vem com uma aula, a próxima com duas, e na segunda feira da terceira semana será a prova.

  Então temos duas semanas livres até a prova.

  Nas próximas aulas veremos as sessões 10.7 e 10.8 e talvez a 10.6 essa última o professor ta em dúvida.

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  // Fim da aula.