\documentclass[twoside,twocolumn]{article}
\usepackage[a4paper,hmarginratio=1:1,top=25mm,columnsep=20pt]{geometry} % Document margins
                        % See geometry.pdf to learn the layout options. There are lots.

\usepackage{listings}
\usepackage{gensymb}
\usepackage{layout}
\usepackage{amssymb,amsmath,amsfonts,latexsym,dsfont}
\usepackage{ upgreek }
\usepackage{xcolor}
\usepackage{titlesec}
\usepackage[warn]{mathtext}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{pgfplots, pgfplotstable}
\usepackage[english,bulgarian,ukrainian,russian]{babel}
%\titleformat{\section}[block]{\color{black}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\setcounter{secnumdepth}{0}
\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant }
\usepackage[hang, small,labelfont=bf,up,textfont=it,up]{caption}

                % ... or a4paper or a5paper or ...
%\geometry{landscape}                       % Activate for rotated page geometry
%\usepackage[parfill]{parskip}          % Activate to begin paragraphs with an empty line rather than an indent



\title{Лабораторная работа 2.5.1. Измерение коэффициента поверхностного натяжения.}
\author{Никита Павличенко}
%\date{October 2017}

\usepackage{natbib}
\usepackage{graphicx}

\usepackage{blindtext} % Package to generate dummy text throughout this template

\usepackage[sc]{mathpazo} % Use the Palatino font
\usepackage[T1]{fontenc} % Use 8-bit encoding that has 256 glyphs
\linespread{1.05} % Line spacing - Palatino needs more space between lines
\usepackage{microtype} % Slightly tweak font spacing for aesthetics

\usepackage[english]{babel} % Language hyphenation and typographical rules


 % Custom captions under/above floats in tables or figures
\usepackage{booktabs} % Horizontal rules in tables

\usepackage{lettrine} % The lettrine is the first enlarged letter at the beginning of the text

\usepackage{enumitem} % Customized lists
\setlist[itemize]{noitemsep} % Make itemize lists more compact

\usepackage{abstract} % Allows abstract customization
\renewcommand{\abstractnamefont}{\normalfont\bfseries} % Set the "Abstract" text to bold
\renewcommand{\abstracttextfont}{\normalfont\small\itshape} % Set the abstract itself to small italic text

\usepackage{titlesec} % Allows customization of titles
\renewcommand\thesection{\Roman{section}} % Roman numerals for the sections
\renewcommand\thesubsection{\roman{subsection}} % roman numerals for subsections
\titleformat{\section}[block]{\large\scshape\centering}{\thesection.}{1em}{} % Change the look of the section titles
\titleformat{\subsection}[block]{\large}{\thesubsection.}{1em}{} % Change the look of the section titles

\usepackage{fancyhdr} % Headers and footers
\pagestyle{fancy} % All pages have headers and footers
\fancyhf{}
\rhead{Ферромагнетики}
\rfoot{Page \thepage} % Blank out the default header
\fancyfoot{} % Blank out the default footer

% Custom header text
\fancyfoot[RO,LE]{\thepage} % Custom footer text

\usepackage{titling} % Customizing the title section

\usepackage{hyperref} % For hyperlinks in the PDF


\setlength{\droptitle}{-4\baselineskip} % Move the title up

\pretitle{\begin{center}\Huge\bfseries} % Article title formatting
\posttitle{\end{center}} % Article title closing formatting
\title{Ферромагнетики} % Article title
\author{%
\textsc{Никита Павличенко} \\
\normalsize Московский физико-технический институт \\ % Your institution
}
\date{\today} % Leave empty to omit a date
\renewcommand{\maketitlehookd}{%

}

%----------------------------------------------------------------------------------------

\begin{document}

% Print the title
\maketitle

\section{Введение}

\lettrine{П}{}о своим магнитным свойствам все вещества можно разделить на \emph{слабомагнитные} и \emph{сильномагнитные}. К слабомагнитным веществам относятся \emph{парамагнетики} и \emph{диамагнетики}, к сильномагнитным — \emph{ферромагнетики}, \emph{антиферромагнетики} и \emph{ферримагнетики}. Пара- и диа- магнетиками называются вещества, которые в отсутствие магнитного поля всегда не намагничены и которые характеризуются однозначной зависимостью между вектором намагничивания $\Vec{I}$ и напряженностью (статического) магнитного поля $\Vec{H}$. В частности, в слабых магнитных полях эта зависимость линейна:
\begin{equation*}
    \Vec{I} = \mu \Vec{H},
\end{equation*}
причем для парамагнетиков $\varkappa > 0$, а для диамагнетиков $\varkappa < 0$. Сильный магнетизм наблюдается только у веществ в твердом состоянии, и притом далеко не у всех: необходимо (но недостаточно), чтобы в состав кристаллической решетки вещества входили атомы с недостроенными внутренними оболочками.

\section{Ферромагнетизм}
Ферромагнетиками называются твердые тела, которые могут обладать \emph{спонтанной намагниченностью}, то есть намагничены уже в отсутствии магнитного поля. Типичными представителями ферромагнетиков являются переходные металлы: железо, кобальт, никель — и многие их сплавы. Ферромагнетизмом обладают некоторые элементы группы редких земель при низких температурах (гадолиний. тербий, диспрозий. гольмий, эрбий, тулий). Характерной особенностью ферромагнетиков является нелинейная зависимость между $\Vec{I}$ и $\Vec{H}$ или между $\Vec{B}$ и $\Vec{H}$.
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{1.pdf}
    \caption{Зависимость $\Vec{I}$ и $\Vec{B}$ от $\Vec{H}$ для железа.}
    \label{fig:mesh1}
\end{figure}
Ввиду нелинейной связи между $\Vec{I}$ и $\Vec{H}$, а также между $\Vec{B}$ и $\Vec{H}$ для ферромагнетиков нельзя ввести магнитную восприимчивость $\varkappa$ и магнитную проницаемость $\mu$ как определенные постоянные величины. Правда по-прежнему можно написать
\begin{equation*}
    \Vec{I} = \varkappa \Vec{H},
\end{equation*}
\begin{equation*}
    \Vec{B} = \mu \Vec{H},
\end{equation*}
но тогда $\varkappa$ и $\mu$ нужно рассматривать не как постоянные функции, а как функции напряженности поля $\Vec{H}$.
Эти функции сначала возрастают с $H$, затем проходят через максимум, и, наконец, в сильных полях, когда достигнуто состояние насыщения, $\mu$ стремится к единице, а $\varkappa$ к нулю. Значения $\mu$ в максимуме у большинства ферромагнетиков при обычных температурах составляют многие сотни и тысячи единиц, а у некоторых специально приготовленных сплавов достигают миллиона.

\section{Гистерезис}
Вторая особенность ферромагнетиков состоит в том, что для них зависимость $\Vec{B}$ от $\Vec{H}$ или $\Vec{I}$ от $\Vec{H}$ не однозначна, а определяется предшествующей историей намагничивания ферромагнитного образца. Это явление называется \emph{магнитным гистерезисом}. На рисунке ниже изображен процесс намагничивания ферромагнитного образца в магнитном поле. Сначала он находится в ненамагниченном состоянии, затем начнем увеличивать поле от нуля до какого-то значения $H_1$. Затем снова будем уменьшать, кривая пройдет выше, потом снова увеличим, кривая пройдет ниже. Получится замкнутая \emph{петля гистерезиса}.
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image054.jpg}
    \caption{Петля гистерезиса.}
    \label{fig:mesh1}
\end{figure}

\section{Точка Кюри}
Третья характерная особенность ферромагнетиков состоит в том, что для всякого ферромагнетика существует определенная температура $T = T_K$, называемая \emph{температурой} или \emph{точкой Кюри}, при переходе через которую вещество ферромагнетика претерпевает фазовый переход. Вещество является ферромагнетиком только ниже точки Кюри. Выше точки Кюре оно становится парамагнетиком, причем магнитная восприимчивость в окрестности точки Кюри подчиняется закону Кюри-Вейсса
\begin{equation*}
    \varkappa = \frac{C}{T-T_K},
\end{equation*}
где $C$ — постоянная, зависящая от рода вещества.

\section{Формальная теория ферромагнетизма Вейсса}
Вейсс предположил, что атомы ферромагнетика, как и парамагнетика, обладают магнитными моментами и взаимодействуют между собой с силами, зависящими от угла между этими магнитными моментами. Эти силы стремятся установить магнитные моменты соседних атомов параллельно друг другу. В результате ориентации магнитных моментов атомов в определенном направлении и создается намагничивание ферромагнетика. В теории Вейсса силы взаимодействия между атомами формально сводятся к некоторому ``эффективному'' магнитному полю, которое и ориентирует атомы ферромагнетика. Эффективное поле складывается из обычного макроскопического поля в веществе $\Vec{H}$ и некоторого гипотетического ``молекулярного поля''. Последнее, согласно предположению Вейсса, пропорционально намагниченности ферромагнетика $\Vec{I}$, так чо эффективное поле может быть представлено в виде
\begin{equation}
    \Vec{B}_{\text{эфф}} = \Vec{B} + b\Vec{I},
\end{equation}
где $b$ — некоторая положительная постоянная, характеризующая свойства различных ферромагнетиков. Она называется \emph{постоянной Вейсса}. Исходя из этих предположений нетрудно рассчитать намагничивание ферромагнетика $I$. Для этого надо в теории Ланжевена поле $\Vec{H}$ заменить на $\Vec{B}_{\text{эфф}}$. Это дает
\begin{equation*}
    I = n\mathfrak{M} L(x),
\end{equation*}
где $x = \mathfrak{M}(H + bI)/kT$. Разрешая последнее соотношения относительно $I$ и замечая, что $n\mathfrak{M}$ есть намагничивание насыщения $I_s$, получаем систему двух уравнений:
\begin{equation*}
    I = I_s L(x),
\end{equation*}
\begin{equation*}
    I = \frac{kTn}{I_s b}x - \frac{H}{b},
\end{equation*}
из которой нетрудно вычислить намагничивание $I$.
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{228.pdf}
    \caption{}
    \label{fig:mesh1}
\end{figure}
Эту систему удобно исследовать графически, откладывая по горизонтальной оси величину $x$, а по вертикальной — намагничивание $I$. Первое уравнение преставится кривой Ланжевена $OA_0A$, а второе — прямой $CA$, пересекающей вертикальную ось в точке $C$ с ординатой $OC = -H/b$.

Допустим сначала, что наклон прямой $CA$ меньше наклона кривой Ланжевена в начале координат, то есть $kTn/(I_sb) < I_s (dL/dx)_{x=0}$, или $T < T_k$, где введено обозначение
\begin{equation}
    T_K = \frac{I_s^2 b}{kn}\Big(\frac{dL}{dx}\Big)_{x=0}.
\end{equation}
Тогда прямая пересечет кривую Ланжевена в точке $A$ ордината которой и представит намагничивание ферромагнетика $I$. Будем теперь уменьшать магнитное поле $H$ до нуля. При этом точка $C$ будет подниматься к точке $O$, а точка $A$ — перемещаться к точке $A_0$. Когда магнитное поле $H$ обратится в нуль, ферромагнетик останется намагниченным — его намагничивание представится ординатой точки $A_0$.

Ферромагнетик будет спонтанно намагничен и в том случае, когда он вообще не вносился ни в какое магнитное поле, так как благодаря гипотетическому взаимодействию между атомами, введенному Вейссом, состояние спонтанного намагничивания ``энергетически выгодно''.

Таким образом при $T < T_K$ ферромагнетик должен быть \emph{спонтанно намагничен}. Энергии теплового движения недостаточно, чтобы разрушить это намагничивание. Величина $T_K$ и называется \emph{точкой Кюри}. Ниже точки Кюри из-за наличия спонтанного намагничивания обычное определения магнитной восприимчивости и проницаемости с помощью соотношений $\Vec{I} = \varkappa \Vec{H}$ и $\Vec{B} = \mu \Vec{H}$ лишено смысл. Величины $\varkappa$ и $\mu$ в этом случае определяются следующими соотношениями
\begin{equation*}
    \varkappa = \frac{dI}{dH},
\end{equation*}
\begin{equation*}
    \mu = \frac{dB}{dH},
\end{equation*}
и являются функциями напряженности поля $H$.

Предположим теперь, что наклон прямой $CA$ больше наклона кривой Ланжевена в точке $O$. Это будет тогда, когда темература тела больше точки Кюри ($T > T_K)$. Тогда при отсутствии магнитного поля прямая $CA$ займет положение $OD$, то есть пересечет кривую Ланжевена только в начале координат, где намагничивание равно нулю. Спонтанного намагничивания не возникнет: намагничивание разрушается тепловым движением. Чтобы намагнитить тело, необходимо приложить магнитное поле. Рассчитаем возникающее при этом намагничивание. Прямая $CA$ в рассматриваемом случае займет положение $CE$ и пересечет кривую Ланжевена в точке $A_1$, ордината которой численно равна намагниченности тела. Ордината $OC = -H/b$, как показывает анализ экспериментальных данных, мала, а потому мал и участок $OA_1$ кривой Ланжевена. Заменив этот участок линией, можно написать
\begin{equation*}
    L(x) = \Big(\frac{dL}{dx}\Big)_{x=0}x,
\end{equation*}
так что \begin{equation*}
    I = I_s\Big(\frac{dL}{dx}\Big)_{x=0}x.
\end{equation*}
Решая это уравнение совместно со вторым уравнением и воспользовавшись обозначением (2), получим
\begin{equation}
    \Vec{I} = \varkappa\Vec{H},
\end{equation}
где
\begin{equation}
    \varkappa = \frac{T_K}{b(T-T_K)} = \frac{\text{const}}{T-T_K}.
\end{equation}
Намагничивание пропорционально полю, то есть выше точки Кюри ферромагнетик превращается в парамагнетик, причем зависимость магнитной восприимчивости от температуры определяется законом Кюри-Вейсса.
\end{document}