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\newtheorem{prop}{Proposição}[section]
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\begin{document}
\title{Funções Exponencial e Logarítmica}
\author{Jessica Kubrusly}
\date{11 de Março de 2016}
\maketitle
\section{A Função Exponencial}
\begin{defin}
Chama-se de \textbf{função exponencial} a função $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que, para algum $a \in \mathbb{R}_+^*$,$$f(x)=a^x.$$
O número $a$ é chamado de base da função.
\end{defin}

Sendo $ f$ a função exponencial apresentada na Definição 1.1, qualquer que seja a base $a>0,$ é verdade que $f$ é uma função contínua e que \begin{equation} f(0)=1 \ \ \hbox{ e } \ \ f(1)= a
\end{equation}

Se $f$ é a função exponencial na base $a$ = 1, então $f$ é constante e igual a 1, isto é, $f(x)= 1 \ \forall \ x \in \mathbb{R}\hbox{.}$ Vejamos mais algumas propriedades da função exponencial que depende do valor da base.
\begin{prop}
Seja $f(x)=a^x$ uma função exponencial com base $ a > 1$. Então,

\begin{enumerate}
\item $f$ \textit{é uma função crescente};
\item $\lim{x \to \infty}f(x)= \infty$;
\item $\lim{x \to \infty}f(x)= 0.$
\end{enumerate}
\end{prop}
Podemos apresentar resultados análogos para o caso de base menor que 1, veja a Proposição 1.3 a seguir.
\begin{prop}
Seja $f(x)=a^x$ uma função exponencial com base $ a > 1$. Então,
\begin{enumerate}
\item $f$ \textit{é uma função decrescente};
\item $\lim{x \to \infty}f(x)= 0$;
\item $\lim{x \to \infty}f(x)= \infty.$
\end{enumerate}
\end{prop}
A Figura 1 apresenta alguns gráficos da função exponencial para diferentes bases.
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.35]{exp.jpg}
\caption{Gráficos de algumas funções exponenciais com diferentes bases.}
\end{figure}
\pagebreak
\section{A Função Logarítmica}
A função exponencial é uma fonção injetiva, isto é, se $x \neq y$ então $f(x) \neq f(y).$ Logo, está função possui uma inversa. A função inversa da função exponencial, denominada função logarítmica, é apresentada na Definição 2.1 a seguir.
\begin{defin}
Chama-se de função logarítmica na base $a$ a função $g : \mathbb{R}^+ \rightarrow\mathbb{R}$, denotada por $g(y) = \log_a(y)$, tal que $$\log_a(y)=x \ \  \Leftrightarrow \ \  a^x=y.$$
\end{defin}
Veja na Figura 2 uma ilustração de como construir o gráfico da função logarítmica a partir do gráfico da função exponencial.

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.35]{log_exp.jpg}
\caption{Gráficos das funções exponencial e logarítmica.}
\end{figure}

\section{A Função Exponencial Natural}
A função exponencial natural é um caso particular da função exponencial quando a base da função é o número de Euler. O número de Euler é um número irracional, representado pela letra $e$, definido pela Equação 2 a seguir, cujo valor é aproximadamente $2,7182818284590452353603287.$
\begin{equation}
e=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.
\end{equation}
Como $e >$1, a função exponencial natural segue as propriedades apresentadas na Proposição 1.2.

Outra forma de definir o número de Euler é através da Série de Taylor para a função exponencial. A partir dele temos
\begin{equation}
e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\frac{1}{720}+\ldots
\end{equation}

\section{A Função Logarítmica}
A inversa da função exponencial natural é a função logarítmica natural, que é simplesmente da função logarítmica na base $e$, como apresentada na Seção 2. No caso da base escolhida para a função logarítmica ser o número de Euler costuma-se usar a notação ln$(x)$. Ou seja,
$$\log_e(x)= \hbox{ln}(x).$$


\end{document}