API tools faq
paste
Advertisement
Guest User

MD Ściąga

a guest
May 20th, 2018
180
0
Never
Add comment
Not a member of Pastebin yet? Sign Up, it unlocks many cool features!
Latex 33.51 KB | None | 0 0
raw download clone embed print report
  1. \documentclass[10pt,a4paper]{paper}
  2. \newcommand{\odstep}{\hspace{1.0cm}}
  3. \newcommand{\maly}{\hspace{0.6cm}}
  4. \newcommand{\ZZ}{\mathcal{Z}}
  5.  
  6. \newcommand{\Abb}{\mathbb{A}}
  7. \newcommand{\mymod}{\mathrm{mod}}
  8.  
  9. \newcommand{\stirset}[2] {\lbrace{#1 \atop #2}\rbrace}
  10. \newcommand{\stircycle}[2] {[{#1 \atop #2}]}
  11.  
  12. \usepackage[landscape, hmargin=0.5cm, vmargin=0.5cm]{geometry}
  13.  
  14. \usepackage{multicol}
  15. \usepackage{amsbsy,amssymb,latexsym, amsmath}
  16. % \usepackage[hmargin=1cm,vmargin=1.5cm]{geometry}
  17.  
  18.  
  19. \usepackage[utf8x]{inputenc}
  20. \usepackage{polski}
  21. \usepackage{titlesec}
  22. \usepackage{bbm}
  23. \usepackage{dsfont}
  24.  
  25. \usepackage{scalefnt}
  26.  
  27. \titlespacing{\subsection}{0pt}{0pt}{0pt}
  28. \titlespacing{\subsubsection}{0pt}{0pt}{0pt}
  29. \titlespacing{\section}{0pt}{0pt}{0pt}
  30. %\vspace{5cm}
  31.  
  32. \setlength{\parindent}{0pt}
  33. \setlength{\parskip}{1ex}
  34.  
  35. %opening
  36. \title{MD ściąga do egzaminu}
  37. \author{Jacek Królikowski & Maciej Piekarniak (2015)}
  38.  
  39. \begin{document}
  40. \begin{multicols}{3}
  41. \scalefont{.42} %UWAGA, TU ZMIENIAMY WIELKOŚĆ FONTÓÓÓÓÓÓÓÓÓÓW!!!!!
  42.  
  43. %REKURENCJA UNIWERSALNA: Dla funkcji $T(n)$ zadanej przez
  44. %$ T(n)= \left \{\begin{array} {ll} \Theta(1),& \textrm{dla}\quad n\in \{0,1\}\\ a\cdot T\left( \left\lfloor\frac{n}{b}\right\rfloor \right)+f(n),& \textrm{dla}\quad n>1 \end{array} \right.$
  45. %
  46. %
  47. %zachodzi:
  48. %\\
  49. %
  50. %jeśli $\displaystyle f(n)=O(n^{\log_b{a}-\epsilon})$ dla pewnego $\displaystyle \epsilon>0$, to $\displaystyle T(n)=\Theta(n^{\log_b{a}})$,\\
  51. %jeśli $\displaystyle f(n)=\Theta(n^{\log_b{a}})$, to $\displaystyle T(n)=\Theta(n^{\log_b{a}}\lg{n})$,\\
  52. %jeśli $\displaystyle f(n)=\Omega(n^{\log_b{a}+\epsilon})$ dla pewnego $\displaystyle \epsilon>0$ oraz $\displaystyle a f(\frac{n}{b})\leq c f(n)$ dla pewnego $\displaystyle c<1$ i prawie wszystkich $\displaystyle n$, to $\displaystyle T(n)=\Theta(f(n))$. $T(n)=\Theta(n^{\log_b{a}})$,
  53.  
  54.  
  55. \section{Rekurencja}
  56. $H_{n} = 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}$ dla $n\in\mathbb{N}$ \\
  57. $\frac{n}{2}+1 \le H_{2^{n}} \le n+1$ dla $n\in\mathbb{N}$ (ze slajdow)\\
  58. $\sum_{j=1}^{n} F_{j}=F_{n+2}-1$ \\
  59. Wzór Bineta: (ciąg Fibonacciego)\\
  60. $F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]$\\
  61. Wzór Dobińskiego: (liczby Bella)\\
  62. $B(x)=e^{e^x-1}=\frac{1}{e}\sum_{k!}^{\infty}\frac{1}{k!}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(kx\right)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{e}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^n}{k!}\right)\frac{x^n}{n!}$\\
  63. \begin{tabular}{ | l | l | }
  64.  \hline              
  65.     $P_{0} = 0; P_{n+1} = P_{n}+n+1$, dla $n\le0$ & $P_{n} = \frac{n(n+1)}{2}$\\
  66.     $f_{0}=b;f_{n+1} = f_{n} + a$ & $f_{n} = a\cdot n+b$ \\
  67.     $f_{0}=b;f_{n+1} = a\cdot f_{n}$ & $f_{n} = b \cdot a^{n}$\\
  68.     $C_{0}=1, C_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}C_kC_{n-1-k}$ & $C_n = \frac{1}{n+1}\cdot\binom{2n}{n}$\\
  69.  \hline  
  70. \end{tabular}
  71.  
  72.  
  73. \section{Sumy}
  74. \begin{tabular}{ | l | }
  75.     \hline
  76.         Sumy wielokrotne: $\sum\limits_{1\le i \le j \le n}a_{i,j}=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=i}^{n}a_{i,j} $\\
  77.  
  78.     \hline
  79. \end{tabular}
  80. \\
  81. \begin{tabular}{ | l | }
  82.     \hline
  83.         Prawo rozdzielnosci wzgledem dodawania: \\
  84. $\left(\sum\limits_{i=m}^{n}a_i\right)\cdot\left(\sum\limits_{k=p}^{q}b_k\right)=\sum\limits_{i=m}^n\left(a_i\sum\limits_{k=p}^{q}b_k\right)=\sum\limits_{i=m}^{n}\sum\limits_{k=p}^{q}a_i\cdot b_k$\\
  85.     \hline
  86. \end{tabular}
  87. \\
  88. \begin{tabular}{ | l | }
  89.     \hline
  90.         Zmiana kolejnosci sumowania:
  91. np $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}H_nx^n=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{i}\right)x^n=$ \\ $=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{i=n}^{+\infty}x^i = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n} \sum\limits_{i=0}^{+\infty}x^i = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n} \cdot \frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-x}\cdot\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}$\\
  92. i korzystajac ze wzoru Eulera:
  93. $\frac{1}{1-x}\cdot\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}=\frac{1}{1-x}\cdot\ln\frac{1}{1-x}$
  94.     \\
  95.     \hline
  96. \end{tabular}
  97. \\
  98. \begin{tabular}{ | l | }
  99.     \hline
  100.         Zaburzanie: niech $S_n=\sum_{i=0}^{n}a_{i}$. Przedstawiamy $S_{n+1}$ jako
  101. \\$S_n+a_{n+1}=a_0+\sum_{i=0}^na_{i+1}$ i staramy sie obliczyć $S_n$\\
  102.     \hline
  103. \end{tabular}
  104. \\
  105. \begin{tabular}{ | l | }
  106.     \hline
  107.         Róznice skończone: $\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$\\
  108.         $\Delta x^{\underline{n}} = n\cdot x^{\underline{n-1}}$\\
  109.         $\Delta x^{\underline{-i}} = -i\cdot x^{\underline{-i-1}}$\\
  110.         Jeżeli $g_n=\Delta ^{-1} f_n$ to: $\mathcal{S}_{a}^{b}f_{n} = g_{n}|_a^b=\sum_{a\le i<b}f_i$\\
  111.         Przykład: suma kolejnych wartosci dolnej silni:\\
  112.         $\sum_{a\le i<b}i^{\underline{k}}=\frac{i^{\underline{k+1}}}{k+1}|_a^b$\\
  113.         dla $k=2$, korzystamy z $x^2=x^{\underline{2}}+x^{\underline{1}}$ i dostajemy:\\
  114.         $\sum_{i=a}^{b-1}i^2=\left(\frac{i^{\underline{3}}}{3}+\frac{i^{\underline{2}}}{2}\right)|_a^b$\\
  115.         Odpowiednikiem $De^x=e^x$ oraz $D\ln x=x^{-1}$ sa\\
  116.         $\Delta 2^n=2^n$ i $\Delta H_n = \frac{1}{n+1}$
  117.         \\
  118.     \hline
  119. \end{tabular}
  120. \\
  121. \begin{tabular}{ | l | }
  122.     \hline
  123.         Sumowanie przez czesci:\\
  124.         $\Delta \left[r(x)t(x)\right] = t(x+1)\Delta r(x)+r(x)\Delta t(x)$\\
  125.         $\Delta(rt) = r\Delta t + Et\Delta r$, gdzie $Et(x)=t(x+1)$\\
  126.         $\mathcal{S}_a^b r\cdot \Delta t=r\cdot t|_a^b -\mathcal{S}_a^bEt\cdot \Delta r$\\
  127.         Przyklad: $\sum_{a\le n<b}n\cdot2^n$. Podstawiamy $r(x)=x$ i $t(x)=2^x$. \\
  128.         $\mathcal{S}_a^bn\Delta 2^n = n2^n|_a^b-\mathcal{S}_a^b2^{n+1}=n2^n|_a^b-2\mathcal{S}_a^b\Delta 2^n = (n-2)\cdot2^n|_a^b$,\\
  129.         gdzie $\Delta n = 1$ i $\Delta 2^n = 2^n$
  130.         \\
  131.     \hline
  132. \end{tabular}
  133. \\
  134. \begin{tabular}{ | l | }
  135.     \hline
  136.         $\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$  \\
  137.         $\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ \\
  138.         $\sum_{i=1}^{n}i^3=\left(\sum_{i=1}^ni\right)^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ \\
  139.         $\sum_{i=1}^{n}H_i = (n+1)(H_{n+1}-1)$\\
  140.     \hline
  141. \end{tabular}
  142.  
  143. \section{Permutacje}
  144. lista, np. $\left<4,1,5,2,3\right>$\\
  145. tabelka funkcji, np.
  146. $\left(\begin{smallmatrix}
  147.     1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
  148.     2 & 4 & 5 & 1 & 3
  149. \end{smallmatrix}\right)$ \\
  150. zapis cyklowy, inaczej kanoniczny, np. $[2,4,1][5,3]$\\
  151. Permutacja, ktora ma $\lambda_i$ cykli dlugosci $i$, jest typu
  152. $1^{\lambda_1}2^{\lambda_2}\dots n^{\lambda_n}$\\
  153. $[2,4,1][5,3]$ jest typu $2^13^1$
  154.  
  155. \begin{tabular}{ | l | }
  156. \hline
  157.     $\stircycle{n}{1} = (n-1)!$, $\stircycle{n}{i}=0$ dla $i<0$ lub $i>n$ całkowitych\\
  158.     $\sum_{i=0}^{n}\stircycle{n}{i}=n!$ dla $n\ge0$,
  159.     $\stircycle{n}{0} =  [n=0]$\\
  160.     $\stircycle{n}{i}=(n-1)\cdot \stircycle{n-1}{i}+\stircycle{n-1}{i-1} \text{ dla } 0<i\le n$
  161.     \\
  162. \hline
  163. \end{tabular}
  164. \begin{tabular}{ | l | }
  165. \hline
  166.     $\stirset{n}{i}=0$ dla $i<0$ lub $i>n$ całkowitych\\
  167.     $\stirset{n}{0}=[n=0]$, $\stirset{n}{1}=1$, $\stirset{n}{2}=2^{n-1}-1;$\\
  168.     $\stirset{n}{i}=i\cdot\stirset{n-1}{i}+\stirset{n-1}{i-1}$ dla $i>0$
  169.     \\
  170. \hline
  171. \end{tabular}\\
  172. $\stircycle{n}{k}$ - liczba n-permutacji o k cyklach\\
  173. $\stirset{n}{k}$ - liczba podziałów n-zbioru na k bloków\\
  174. Liczby Bella:\\
  175. $B_n=\sum_k\stirset{n}{k}$ - łączna liczba podziałów zbioru $\left\{1,\dots ,n\right\}$ na bloki\\
  176.  
  177. \subsection{Tożsamości}
  178. $x^{\overline{n}}=\sum_i\stircycle{n}{i}x^i$\\
  179. $x^{\underline{n}}=\sum_i\stircycle{n}{i}\left(-1\right)^{n-i}x^i$\\
  180. $x^n=\sum_k\stirset{n}{k}x^{\underline{k}}$\\
  181. $\left(-x\right)^{\overline{k}}=\left(-1\right)^kx^{\underline{k}}$\\
  182. $x^n=\sum_i\stirset{n}{i}\left(-1\right)^{n-i}x^{\overline{i}}=\sum_{i,k}\stirset{n}{i}\stircycle{i}{k}\left(-1\right)^{n-i}x^k$\\
  183. $\sum_m\binom{n}{m}\stirset{m}{k}=\stirset{n+1}{k+1}$\\
  184. $\sum_i\stircycle{n}{i}\stirset{i}{k}\left(-1\right)^{n-i}=[n=k]=\sum_i\stirset{n}{i}\stircycle{i}{k}\left(-1\right)^{n-i}$\\
  185. $\left(x+y\right)^{\overline{n}}=\sum_k\binom{n}{k}x^{\overline{k}}y^{\overline{n-k}}$
  186.  
  187. \section{Kombinatoryka}
  188. $x^{\overline{m}} = x(x+1)\ldots(x+m-1) = \frac{(x+m-1)!}{(x-1)!} \ \ m\in\mathbb{N}$\\
  189. $x^{\underline{m}} = x(x-1)\ldots(x-m+1)\ = \frac{x!}{(x-m)!} \ m\in\mathbb{N}$\\
  190. $x^{\underline{-i}} = \frac{1}{(x+1)(x+2)\dots(x+i)}$, gdzie $i>0$\\
  191. \\
  192. Dla $n,k\in\mathbb{N}$:\\
  193. ${n \choose k} = \frac{n^{\underline{k}}}{k!}$,
  194. $\binom{n}{k} = 1$ dla $k=0 \lor k=1$,
  195. ${n \choose k} = {n-1 \choose k} + {n-1 \choose k-1}$ wpp
  196. \\
  197. Dla $r\in\mathbb{R}$:\\
  198. ${r \choose k} = \frac{r^{\underline{k}}}{k!}$ dla $k \in \mathbb{N}$,
  199. $\binom{r}{k}=0$ dla $k<0$\\\\
  200. $(x+y)^n = \sum\limits_{i\geq0}\binom{n}{i}x^iy^{n-i}$\\
  201. $(x+y+z)^n = \sum\limits_{\substack{0 \leq a,b,c \leq n \\ a+b+c=n}} {a+b+c \choose b+c}{b+c \choose c}x^ay^bz^c$
  202.  
  203.  
  204. Brane z Matematyki Konkretnej str 197\\
  205. \begin{tabular}{ | l | r | }
  206.  \hline                      
  207.  $\sum_k {r \choose m+k}{s \choose n-k} = {r+s \choose m+n}$ & $m,n$ całkowite \\
  208.  $\sum_k {l \choose m+k}{s \choose n+k} = {l+s \choose l-m+n}$ & $l \geq 0$ \\
  209.  $\sum_k {l \choose m+k}{s+k \choose n} (-1)^k = (-1)^{l+m} {s-m \choose n-l}$ & $l \geq 0$ \\
  210.  $\sum_{k\leq l} {l-k \choose m}{s \choose k-n} (-1)^k = (-1)^{l+m} {s-m-1 \choose l-m-n}$ & $l,m,n \geq 0$ \\
  211.  $\sum_{0 \leq k \leq l} {l-k \choose m}{q+k \choose n} = {l+q+1 \choose m+n+1}$ & $l,m \geq 0, n \geq q \geq 0$ \\
  212.  
  213.  
  214.  \hline  
  215. \end{tabular}
  216.  
  217. \begin{tabular}{ | l | r | }
  218.  \hline                      
  219.  ${r \choose k} ={r\over k} {r-1 \choose k-1}$ & pochłanianie, całkowite $k\neq 0$  \\
  220.  $\left(-1\right)^i{x \choose i} = \binom{i-1-x}{i} $ & negowanie wskaźnika \\
  221.  $\sum_{i=0}^k\left(-1\right)^i\binom{n}{i}=\left(-1\right)^k\binom{n-1}{k}$ & użycie negacji\\
  222.  ${r \choose m}{m \choose k} ={r \choose k} {r-k\choose m-k} $ &   \\
  223.  $\sum_{i=0}^k {y+i \choose i} = {y+k+1 \choose k}$ & sumowanie równoległe  \\
  224.  $\sum_{0\leq k\leq n} {k \choose m} = {n+1 \choose m+1}$ & górne sumowanie $m,n\geq0, m,n\in\mathbb{Z}$ \\
  225.  $\sum_{ k} {r \choose k}{s \choose n-k} = {r+s \choose n}$ & toż. Cauchy'ego  \\
  226.  \hline  
  227. \end{tabular} \\
  228. Wzór na odwracanie ciagow $\left<a_n\right> \text{ i } \left<b_n\right>$:\\
  229. $a_n=\sum_{i}\binom{n}{i}\left(-1\right)^ib_i \iff b_n=\sum_{i}\binom{n}{i}\left(-1\right)^ia_i$\\ Konwencja: brak określonego i $\rightarrow i\in\mathbb{Z}$\\
  230. Wzór na odwracanie liczb Stirlinga:\\
  231. $a\left(n\right)=\sum_i\stirset{n}{i}\left(-1\right)^ib\left(i\right) \iff b\left(n\right)=\sum_i\stircycle{n}{i}\left(-1\right)^ia\left(i\right)$\\
  232.  
  233.  
  234.  
  235.  
  236. \section{Funkcje tworzące}
  237. Zwyczajna funkcja tworząca:\\
  238. $A(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \dots = \sum_{k\geq 0}a_k z^k$, $[z^n]A(z) = a_n$\\
  239. Wykładnicza funkcja tworząca:\\
  240. $B(z) = \frac{b_0}{0!}+\frac{b_1z}{1!}+\frac{b_2z^2}{2!}+\dots = \sum_nb_nz^n/n!$\\
  241. Splot: $[z^n]A(z)B(z) = c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$\\
  242. ${1   \over (1-z)^{n+1}} = \sum_{k\geq 0} {n+k \choose n}z^k$,
  243. ${z^n \over (1-z)^{n+1}} = \sum_{k\geq 0} {k \choose n}z^k$
  244.  
  245.  
  246. Operacje na zwyczajnych funkcjach tworzących:\\
  247. \begin{tabular}{ | l | l | }
  248.  \hline
  249.     $\alpha A\left(z \right)+\beta B\left(z\right) = \sum_{n}\left(\alpha a_n+\beta b_n\right)z^n $ & Liniowość \\
  250.     $z^mA(z) = \sum_n a_{n-m} z^n$ & Przesuwanie w prawo \\
  251.     $\frac{A(z) - \Sigma_{i=0}^{m-1}a_ix^i}{z^m} = \sum_{n\geq 0} a_{n+m}z^n$ & Przesuwanie w lewo\\
  252.     $A(z)\cdot B(z) = \sum_n \left( \sum_k a_k b_{n-k} \right)z^n$ & Splot\\
  253.     $A(cz) = \sum_n a_n (c\cdot z)^n = \sum_n c^n a_n z^n$ & \\
  254.     $A'(z) = \sum_n (n+1) a_{n+1} z^n$ & Różniczkowanie\\
  255.     $zA'(z) = \sum_n n a_{n} z^n$ & \\
  256.     $\int_0^z A(t) dt =\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} a_{n-1} z^n $ & Całkowanie\\
  257.     ${1 \over 1-z}A(z) = \sum_n ( \sum_{k\leq n} a_{k} )z^n$ & Splot z $\left<1\right>_{n}$\\
  258.  \hline  
  259. \end{tabular}\\
  260.  
  261. Operacje na wykładniczych funkcjach tworzących:\\
  262. \begin{tabular}{ | l | l | }
  263.     \hline
  264.         $A_e(x)\cdot B_e (x)=\sum\limits_n \left(\sum\limits_k\binom{n}{k}a_kb_{n-k}\right)\frac{x^n}{n!}$ & Splot dwumianowy \\
  265.         $B_e^{'}\left(x\right)=\sum\limits_{n\ge0}b_{n+1}\frac{x^n}{n!}$ & Różniczkowanie \\
  266.         $\int_0^x\sum\limits_{n\geq0}b_nt^ndt = \sum\limits_{n\geq1}b_{n-1}\frac{x^n}{n!}$ & Całkowanie
  267.         \\
  268.     \hline
  269. \end{tabular}\\
  270. \\
  271. Proste ciągi i ich funkcje tworzące: (MK str. 372)\\
  272. \begin{tabular}{ | l | l | l |  }
  273.  \hline                      
  274.  $\left<1,0,0,\dots\right>$ & $\sum_{n \geq 0}[n=0] z^n$ & $1$  \\
  275.  $\left<0,\dots,0,1,0,\dots\right>$ & $\sum_{n\geq0}[n=m]z^n$ & $z^m$\\
  276.  $\left<1,1,1,1,\dots\right>$ & $\sum_{n \geq 0} z^n$ & ${1 \over 1-z}$  \\
  277.  $\left<1,-1,1,-1,\dots\right>$ & $\sum_{n \geq 0} \left(-1\right)^nz^n$ & ${1 \over 1+z}$  \\
  278.  $\left<1,2,3,4,5,6,\dots\right>$ &  $\sum_{n \geq 0} (n+1)z^n$ & ${1 \over (1-z)^2}$\\
  279.  $\left<1,c,c^2,c^3,\dots\right>$ &  $\sum_{n \geq 0} c^n z^n$ & $ {1 \over 1-cz}$\\
  280.  $\left<H_0, H_1,H_2 \dots\right>$ & $\sum_{n \geq 1} H_nx^n$ & $\frac{1}{1-x}\ln\frac{1}{1-x}$\\
  281.  $\left<1,c,\binom{c}{2},\binom{c}{3},\dots\right>$ &  $\sum_{n \geq 0} {c \choose n}z^n$ & $ (1+z)^c$\\
  282.  $\left<1,c,\binom{c+1}{2},\binom{c+2}{3},\dots\right>$ & $\sum_{n\geq0}\binom{c+n-1}{n}z^n$ & $\frac{1}{\left(1-z\right)^c}$\\
  283.  $\left<1,\binom{m+1}{m},\binom{m+2}{m},\dots\right>$ &  $\sum_{n \geq 0} {m+n \choose m} z^n$ & $ {1 \over (1-z)^{m+1}}$\\
  284.  co $m$-te &  $\sum_{n \geq 0} [m\backslash n]z^n$ & ${1 \over 1-z^m}$  \\
  285.  $\left<1,0,1,0,1,0,\dots\right>$ & $\sum_{n\geq0}[2\backslash n]z^n$ & $\frac{1}{1-z^2}$\\
  286.  $\left<0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots\right>$ & $\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n}z^n$ & $\ln {1 \over (1-z)}$\\
  287.  $\left<0,1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\dots\right>$ & $\sum_{n \geq 1}\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{n}z^n$ & $\ln \left(1+z\right)$\\
  288.  $\left<1,1,\frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{1}{24},\frac{1}{120},\dots\right>$ &  $\sum_{n \geq 0} {1 \over n!} z^n$ & $e^z$\\
  289.  parzyste & $\sum_{n\geq0}\frac{[2\backslash n]}{n!}z^n$ & $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$\\
  290.  (nie wiem skad) & $\sum_{n \geq 0} {m+n \over m} ap^nz^n$ & $ {a \over (1-pz)^{m+1}}$\\
  291.  \hline  
  292. \end{tabular}
  293.  
  294. Rozwiązywanie rekurencji: Napisz rekurencję wzorem, wiedząc, że dla $n<0$ $g_n=0$. Pomnóż obie strony przez $z^n$ i zsumuj po $n$. Zamień zapis $\sum g_nz^n$ na $G(z)$ z lewej, z prawej podobnie, tylko bardziej skomplikowanie. Rozwiąż i otrzymaj postać zwartą $G(z)$. Rozwiń w szereg potęgowy i znajdź współczynnik przy $z^n$\\
  295. \\
  296. Funkcje tworzące dla liczb szczególnych: (MK str. 390)\\
  297. \begin{tabular} { | r | l | }
  298.     \hline
  299.         $\frac{1}{\left(1-z\right)^{m+1}} \ln \frac{1}{1-z}$ & $\sum_{n\geq0}\left(H_{m+n}-H_m\right)\binom{m+n}{n}z^n$\\
  300.         $\frac{z}{e^z-1}$ & $\sum_{n\geq0}B_n \frac{z^n}{n!}$ (liczby Bella)\\
  301.         $\frac{F_mz}{1-\left(F_{m-1}+F_{m+1}\right)z+\left(-1\right)^mz^2}$ & $\sum_{n\geq0} F_{mn}z^n$ \\
  302.         $\sum_k\stirset{m}{k}\frac{k!z^k}{\left(1-z\right)^{k+1}}$ & $\sum_{n\geq0}n^mz^n$\\
  303.         $\left(z^{-1}\right)^{\overline{-m}}=\frac{z^m}{\left(1-z\right)\left(1-2z\right)\dots\left(1-mz\right)}$ & $\sum_{n\geq0}\stirset{n}{m}z^n$\\
  304.         $z^{\overline{m}}=z\left(z+1\right)\dots\left(z+m-1\right)$ & $\sum_{n\geq0}\stircycle{m}{n}z^n$\\
  305.         $\left(e^z-1\right)^m$ & $m!\sum_{n\geq0}\stirset{n}{m}\frac{z^n}{n!}$\\
  306.         $\left(\ln\frac{1}{1-z}\right)$ & $m!\sum_{n\geq0}\stircycle{n}{m}\frac{z^n}{n!}$\\
  307.         $\left(\frac{z}{\ln\left(1+z\right)}\right)^m$ & $\sum_{n\geq0}\frac{z^n}{n!}\stirset{m}{m-n}/\binom{m-1}{n}$ \\
  308.         $\left(\frac{z}{1-e^{-z}}\right)^m$ & $\sum_{n\geq0}\frac{z^n}{n!}\stircycle{m}{m-n}/\binom{m-1}{n}$\\
  309.         $e^{z+wz}$ & $\sum_{m,n\geq0}\binom{n}{m}w^m\frac{z^n}{n!}$\\
  310.         $e^{w\left(e^z-1\right)}$ & $\sum_{m,n\geq0}\stirset{n}{m}w^m\frac{z^n}{n!}$\\
  311.         $\frac{1}{\left(1-z\right)^w}$ & $\sum_{m,n\geq0}\stircycle{n}{m}w^m\frac{z^n}{n!}$
  312.         \\
  313.     \hline
  314. \end{tabular}
  315. \subsubsection{zasada wł-wył}
  316. $U$ - skończony zbiór, $A_1, \dots ,A_n \in U$, $S_k = \sum_{a\leq i_1 < \dots < i_k \leq n} |A_{i_1}\cap A_{i_2} \cap\dots \cap A_{i_k}|$.
  317. Niech $L(k)$ oznacza liczbę elementów znajdujących się w dokładnie k zbiorach. Zachodzi wzór:
  318. $L(k) = S_k - {k+1 \choose k}S_{k+1} + {k+2 \choose k}S_{k+2} - \dots + (-1)^{n-k}{n\choose k} S_n$
  319.  
  320. \section{Enumeratory}
  321. 1. r-kombinacje czyli r-podzbiory z n-zbioru - $\binom{n}{r}$\\
  322. 2. r-kombinacje z n-zbioru z powtórzeniami - $\binom{n+r-1}{r}$\\
  323. 3. r-permutacje czyli r-ciagi roznowartosciowe z n-zbioru - $n^{\underline{r}}$\\
  324. 4. r-permutacje z n-zbioru z powtórzeniami - $n^r$\\
  325. 5. $\sum_r\binom{n}{r}t^r$ to enumerator r-kombinacji z n-zbioru\\
  326. 6. Jeśli i-ty element może występować $\alpha_{i,1},\dots\alpha_{i,k_i}$ razy to jako i-ty czynnik bierzemy $\left(t^{a_{i,1}}+\dots+t^{\alpha_{i,k_i}}\right)$\\
  327. 7. Enumerator kombinacji z dowolnymi powtórzeniami:\\ $\left(1+t+t^2+\dots\right)^n=\left(1-t\right)^{-n}=\sum_r\binom{-n}{r}\left(-t\right)^r=\sum_r\binom{n+r-1}{r}t^r$\\
  328. 8. Jeśli każdy element musi wystąpić co najmniej raz:\\
  329. $\left(t+t^2+\dots\right)^n=t^n\sum_r\binom{n+r-1}{r}t^r=\sum_{r=n}^{\infty}\binom{r-1}{r-n}t^r=\sum_{r=n}^{\infty}\binom{r-1}{n-1}t^r$\\
  330. 9. Do zliczania permutacji wykorzystujemy w.f.t.\\
  331. 10. Enumerator r-permutacji bez powtórzeń: $\left(1+t\right)^n=\sum_r\frac{n^{\underline{r}}t^r}{r!}$\\
  332. 11. Jeśli element może występować $0,1,\dots,k$ razy, to zamiast $\left(1+t\right)$ bierzemy czynnik $\left(1+t+\frac{t^2}{2!}+\dots+\frac{t^k}{k!}\right)$. Wtedy współczynnik przy $t^r/r!$ to suma wyrazen postaci $\frac{r!}{p!q!\dots}$, gdzie $p+q+\dots=r$, a $\frac{r!}{p!q!\dots}$ to liczba permutacji r obiektow, wsrod ktorych jest p nieodroznialnych 1 rodzaju, q nieodroznialnych 2 rodzaju, ... Ogolnie, jest i-ty element moze wystepowac $\alpha_{i,1},\dots\alpha_{i,k_i}$ razy, to jako i-ty zcynnik bierzemy $\left(\frac{t^{\alpha_{i,1}}}{\alpha_{i,1}!}+\dots+\frac{t^{\alpha_{i,k_i}}}{\alpha_{i,k_i}!}\right)$\\
  333. 12. Dowolna liczba powtórzen: $\left(1+t+\frac{t^2}{2!}+\dots\right)^n=e^{nt}=\sum_r\frac{n^rt^r}{r!}$\\
  334. 13. Jesli kazdy element musi wystapic co najmniej raz: $\left(t+\frac{t^2}{2!}+\dots\right)^n=\left(e^t-1\right)^n=\sum_j\binom{n}{j}\left(-1\right)^je^{\left(n-j\right)^t}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{t^r}{r!}\sum_{j=0}^n\binom{n}{j}\left(-1\right)^j\left(n-j\right)^r$\\
  335. 14. Enumerator ciagow liter A,B,C w ktorych A wystepuje co najmniej raz, a B nieparzysta liczbe razy: \\$\left(e^t-1\right)\frac{e^t-e^{-t}}{2}e^t=\frac{e^{3t}-e^{2t}-e^t+1}{2}=\sum_{r\geq1}\frac{1}{2}\left(3^r-2^r-1\right)\frac{t^r}{r!}$
  336.  
  337. \section{Metody zliczania}
  338. 1. Zasada sumy: gdy n elementow ma wlasnosc A i m elementow ma wlasnosc B, a takze zaden z nich nie ma jednoczesnie A i B, to element majacy wlasnosc A lub B mozna wybrac na n+m sposobow\\
  339. 2. Jesli pierwszy element pary $\left<x,y\right>$ mozna wybrac na m sposobow, a dla kazdego takiego wyboru jest m sposobow wyboru elementu drugiego, to cala pare mozna wybrac na nm sposobow.\\
  340. 3. Zasada wlaczania-wylaczania\\
  341. (a) Elementy uniwersum X moga miec n roznych wlasnosci (podzbiorow X) $A_1,\dots,A_n$.\\
  342. (b) $S_r=\sum_{i\leq i_1<\dots<i_r\leq n}|A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_r}|$\\
  343. (c) W szczegolnosci $S_0=|X|$\\
  344. (d) $D(k)$ - liczba elementow majacych dokladnie k wlasnosci\\
  345. (e) $D(0) = \sum_{r\geq0}\left(-1\right)^rS_r$\\
  346. (f) $D(k) = \sum_{r\geq k}\binom{r}{k}\left(-1\right)^{r-k}S_r$\\
  347. (g) Ile jest liczb w zbiorze $\left\{1,\dots,10000\right\}$ podzielnych przez dokladnie dwie sposrod 2,3,5,7? Oznaczmy przez $A_d$ zbiór liczb podzielnych przez d z zakresu $1,\dots,10000$. Mamy $A_d = \lfloor{10000/d}\rfloor$. Ogolniej: $|A_{d_1} \cap A_{d_2} \cap \dots| = \lfloor\frac{10000}{d_1d_2\dots}\rfloor$, jesli liczby $d_i$ sa parami wzglednie pierwsze. Zatem odpowiedz to $\lfloor\frac{10000}{2\cdot3}\rfloor+\dots+\lfloor\frac{10000}{5\cdot7}\rfloor-\binom{3}{2}\left(\lfloor\frac{10000}{2\cdot3\cdot5}\rfloor+\dots+\lfloor\frac{10000}{3\cdot5\cdot7}\rfloor\right)+\binom{4}{2}\lfloor\frac{10000}{2\cdot3\cdot5\cdot7}\rfloor$
  348.  
  349. \section{Liczby stirlinga}
  350. % \begin{tabular}{rccccccccc}
  351. {\tiny
  352. \begin{tabular}{rlllllllllll}
  353. $n$ & $\stircycle{n}{1}$ & $\stircycle{n}{2}$ & $\stircycle{n}{3}$ & $\stircycle{n}{4}$ & $\stircycle{n}{5}$ & $\stircycle{n}{6}$ & $\stircycle{n}{7}$ & $\stircycle{n}{8}$ & $\stircycle{n}{9}$\\
  354. $n=1$:& 1 \\
  355. $n=2$:& 1 & 1\\
  356. $n=3$: & 2 & 3 & 1\\
  357. $n=4$: & 6 & 11 & 6 & 1\\
  358. $n=5$: & 24 & 50 & 35 & 10 & 1\\
  359. $n=6$:& 120 & 274 & 225 & 85 & 15 & 1\\
  360. $n=7$: & 720 & 1764 & 1624 & 735 & 175 & 21 & 1\\
  361. $n=8$: & 5040 & 13068 & 13132 & 6769 & 1960 & 322 & 28 & 1\\
  362. $n=9$: & 40320 & 109584 & 118124 & 67284 & 22449 & 4536 & 546 & 36 & 1\\
  363. \end{tabular}
  364. \begin{tabular}{rlllllllllll}
  365. $n$ & $\stirset{n}{1}$ & $\stirset{n}{2}$ & $\stirset{n}{3}$ & $\stirset{n}{4}$ & $\stirset{n}{5}$ & $\stirset{n}{6}$ & $\stirset{n}{7}$ & $\stirset{n}{8}$ & $\stirset{n}{9}$\\
  366. $n=1$:& 1 \\
  367. $n=2$:& 1 & 1\\
  368. $n=3$:& 1 & 3 & 1\\
  369. $n=4$:& 1 & 7 & 6 & 1\\
  370. $n=5$:& 1 & 15 & 25 & 10 & 1\\
  371. $n=6$:& 1 & 31 & 90 & 65 & 15 & 1\\
  372. $n=7$:& 1 & 63 & 301 & 350 & 140 & 21 & 1\\
  373. $n=8$:& 1 & 127 &  966 & 1701 & 1050 & 266 & 28 & 1\\
  374. $n=9$:& 1 & 255 & 3025 & 7770 & 6951 & 2646 & 462 & 36 & 1\\
  375. \end{tabular}
  376. }
  377.  
  378. \section{Grafy}
  379. $G=<V,E>, V$ - wierzchołki, E-krawędzie\\
  380. Marszruta - ciąg wierzchołków, każda kolejna para jest w $E$\\
  381. Droga - marszruta bez powtórzeń krawędzi\\
  382. Ścieżka - marszruta bez powtórzeń wierzchołków\\
  383. Cykl - droga zamknięta $(v_0 = v_k)$\\
  384. Cykl prosty  - cykl bez powtórzeń wierzchołków\\
  385. Spójna składowa - maksymalny spójny podzbiór grafu\\
  386. $k$-regularny graf - każdy wierzchołek jest stopnia $k$\\
  387. Klika $K_n$ - graf pełny, $K_n$ jest $(n-1)$-regularna
  388.  
  389. \subsubsection{Lemat o uściskach dłoni}
  390. suma stopni wierzchołków = $2|E|$, wniosek:\\
  391. liczba wierzchołków nieparzystego stopnia jest parzysta
  392.  
  393. \subsubsection{Drzewo}
  394. Graf spójny, nieskierowany, acykliczny; w szczególności:\\
  395. minimalny spójny, maksymalny acykliczny, $|V| = |E|+1$.\\
  396. \# oznaczonych $n$-drzew = $n^n-2$
  397.  
  398. \subsubsection{Graf dwudzielny}
  399. Każda krawędź ma jeden koniec w $V1$ a drugi w $V2$.\\
  400. G jest dwudzielny wtw nie ma cykli nieparzystej długości\\
  401. G jest dwudzielny jeśli BFS/DFS ze zmianą koloru co krawędź\\
  402. tworzy poprawne kolorowanie grafu. $K_{n,m}$ - graf pełny dwudzielny.
  403.  
  404. \subsubsection{Cykl Eulera (cykl przechodzący po każdej krawędzi 1 raz)}
  405. G spójny ma cykl Eulera wtw $\forall_{v\in G} 2|deg(v)$, dla skierowanych($deg_{in}(v) = deg_{out}(v)$).
  406.  
  407. \subsubsection{Cykl Hamiltona (cykl przechodzący po każdym wierzchołku 1 raz)}
  408. (WK) G. ma cykl Hamiltona → po usunięciu dowolnych k wierzchołków rozpada się na k spójnych składowych.\\
  409. (WK) G. dwudzielny ma cykl Hamiltona $\rightarrow |V1| = |V2|$.
  410.  
  411. \subsubsection{Turniej - skierowana klika}
  412. spójny → hamiltonowski, wpp. półhamiltonowski
  413.  
  414. \subsubsection{Tw. Ore - WW posiadania cyklu Hamiltona:}
  415. Jeżeli $n=|V(G)|$ i $\forall_{v, w \notin G} . deg(v)+deg(w)\geq n$.
  416.  
  417. \subsubsection{Hiperkostka $Q_k$}
  418. Wierzchołki reprezentują $k$-ciągi $\{0,1\}^k$, są połączone wtw różnią się na dokładnie 1 pozycji. Ścieżka Hamiltona jest definiowana w $Q_k$ kodem Greya, czyli ciągiem podzbiorów w porządku min. zmian: $|V| = 2^n$,
  419. $|E| = n2^n$, $Q^n$ - zawsze dwudzielna i hamiltonowska.
  420.  
  421. \subsubsection{Planarność (istnieje rysunek G. bez przecinających się  krawędzi)}
  422. $|V|(=n) - |E|(=m) + \#scian(=f) = 2$ (wzór Eulera)\\
  423. dla $n ≥ 3$, $m ≥ 3n-6$; każdy graf nieplanarny zawiera podgraf homeomorficzny* z $K_{3,3}$ lub $K_5$ (tw. Kuratowskiego);\\
  424. *Homeomorfizm - dodanie/odjęcie wierzchołków na krawędziach\\
  425. Tw. Każdy G. planarny zawiera wierzchołek stopnia $\leq 5$.
  426.  
  427. \subsubsection{Grafy platońskie}
  428. (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3) - (deg, boki ścian)\\
  429. planarne, regularne, jednakowa liczba krawędzi przy każdej ścianie
  430.  
  431. \subsubsection{Kolorowanie grafu domyślnie: wierzchołkowe}
  432. $f: V(G) → {1,...,k}$ . sąsiednie w G wierzchołki mają różny kolor.\\
  433. $min_k$ tż. istnieje $k$-kolorowanie = liczba chromatyczna $\lambda(G)$.\\
  434. G. dwudzielny wtw $\lambda (G) \leq 2$; dla G. planarnych $\lambda (G) \leq 4$;\\
  435. $\lambda(G) \leq k \leftrightarrow \lambda(B) \leq k$ dla każdej spójnej składowej $B\subseteq G$;
  436.  
  437. \subsubsection{Tw. Brooksa}
  438. $\Delta := max_v(deg(v))$, jeśli G nie jest cyklem nieparzystej długości ani kliką to $\lambda(G) \leq \Delta$
  439.  
  440. \subsubsection{Wielomian chromatyczny f(t) = \# t-kolorowań grafu G}
  441. Nie jest funkcją tworzącą kolorowań! Podstawowe wzory:\\
  442. $f_{n-klika}(t) = t^{\underline{n}}$; $f_{n-drezwo}(t) = t(t-1)^{n-1}$;\\
  443. $f_{n-cykl}(t) = (t-1)^n + (-1)^n(t-1)$; $f_{n-odcinek}(t) = t(t-1)^{n-1}$
  444.  
  445. \subsubsection{Tw. obliczanie wielomianu chromatycznego}
  446. Dla $e={v,w}$ nie należącej do G,\\
  447. $G+e$ := G z dołożoną krawędzią $e$,\\
  448. $G-e$ := G ze scalonymi wierzchołkami $v=w$ (G-e bez podwójnych kr.)\\
  449. zachodzi: $f_G(t) = f_{G+e}(t) + f_{G-e}(t)$,\\
  450. IK: rozbicie f na $f(v)=f(w)$ oraz $f(v)\neq f(w)$
  451.  
  452. \subsubsection{Kolorowanie krawędziowe sąsiednie krawędzie mają inny kolor}
  453. $\lambda_e(G) = \Delta(G)$ lub $\Delta(G)+1$ (tw. Vizinga), dla G. dwudzielnych: $\Delta(G)$
  454.  
  455. \subsubsection{System Różnych Reprezentantów - graf dwudzielny}
  456. V1 - możliwi reprezentanci, V2 - reszta, krawędzie = wspólny zbiór\\
  457. \\
  458. Tw. Halla: SRR (2-skojarzenie) istnieje wtw gdy dowolne k zbiorów ma w sumie co najmniej k różnych elementów, wnioski:\\
  459. graf dwudzielny r-regularny jest r-kolorowalny krawędziowo:\\
  460. IK: kolorujemy skojarzenie, następnie usuwamy i rekurencyjnie (r-1).
  461.  
  462.  
  463. \section{Teoria liczb}
  464.  
  465. \subsubsection{Algorytm Euklidesa - wyznaczanie $x, y : NWD(a,b) = ax + by$:}
  466. jeśli $b=0$ to $<x,y> \leftarrow <1,0>$; wpp mamy x',y' takie, że:\\
  467. $NWD(a,b) = NWD(b, a \mod b) = bx' + (a \mod b)y'$, alternatywnie:\\
  468. $<x,y> \leftarrow <y', x'-y' * floor(a/b)>$
  469.  
  470. \subsubsection{Kongruencje}
  471. $a\equiv b \mod n$ wtw gdy $n\ |\ a-b$\\
  472. $\equiv (\mod n)$ jest relacją równoważności;\\
  473. $a\equiv b (\mod n)$ i $c\equiv d (\mod n) \rightarrow a+c\equiv b+d (\mod n)$ i $ac\equiv bd (\mod n)$\\
  474. $d\bot n$ i $ad\equiv bd (\mod n) \rightarrow a\equiv b (\mod n)$\\
  475. $ad\equiv bd (\mod nd) \Leftrightarrow a\equiv b (\mod n)$
  476.  
  477. \subsubsection{Chińskie tw. o resztach}
  478. Niech $n=n_1n_2...n_k$, $n_i$ - parami wzgl. pierwsze.\\
  479. Dla dow. $a_1,...,a_k$ istnieje dokładnie jedno $a$ w przedziale $\{0,...,n-1\}$ tż. dla wszystkich i zachodzi:\\
  480. $a\equiv a_i (\mod n_i)$, w praktyce znajdujemy to $a$ w taki sposób:\\
  481. Znajdujemy $m_i$ takie, że $n_j|m_i$ dla $j \neq i$, $m_i\bot n_i$ (przykładowo: $m_i = n/n_i$),
  482. wtedy $a=(\sum_i. a_i m_i(m_i^{-1} \mod n_i)) \mod n$, gdzie $m^{-1} \mod n$ to odwrotność multiplikatywna,
  483. czyli takie $x$, że $mx\equiv 1 (\mod n)$.\\
  484. \\
  485. Jeżeli $n_i$ nie są względnie pierwsze, to możemy je rozbić za pomocą tego:\\
  486. $x\equiv a (\mod pq)$ wtw $x\equiv a \mod p$ i $x\equiv a \mod q$ jeżeli p,q - pierwsze
  487.  
  488. \subsubsection{Małe tw. Fermata}
  489. $p$ jest liczbą pierwszą i $p$ nie dzieli $a \rightarrow a^{p-1}\equiv 1 \mod p$
  490.  
  491. \subsubsection{Tw. Eulera}
  492. Jeśli $a\bot n$, to $a^{\phi(n)}\equiv 1 (\mod n)$, gdzie $\phi(n)$ to funkcja
  493. Eulera, tż. $\phi(n) = |\{1 \leq k \leq n\ |\ k\bot n\}|$. Uwaga: $\phi(n)$ nie jest najmniejszym wykładnikiem który to spełnia.\\
  494. Własności $\phi(n)$:\\
  495. dla $m\bot n$, $\phi(mn) =\phi(m) \phi(n)$; dla p-pierwszej $\phi(p^k) = p^{k-1}(p-1)$;
  496. $\phi(n) = n(1-1/p_1)...(1-1/p_k)$ dla $p_1,...,p_k$ - pierwszych dzielników n
  497.  
  498. \subsubsection{Fakty z ćwiczeń}
  499. $2^n+1$ jest pierwsza $\rightarrow n$ też jest pierwsza\\
  500. $k!$ dzieli iloczyn dowolnych $k$ kolejnych liczb naturalnych\\
  501. $NWD(n^a-1, n^b-1) = n^{NWD(a,b)}-1$\\
  502. $NWD(F_a, F_b) = F_{NWD(a,b)}$ - liczby Fibonacciego
  503.  
  504. \subsubsection{Tw. Wilsona}
  505. p jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi $(p-1)! \equiv -1 \mod p$
  506.  
  507.  
  508. \section{Liczby pierwsze}
  509. {\tiny
  510.           2      3      5      7     11     13     17     19     23     29
  511.     31     37     41     43     47     53     59     61     67     71
  512.     73     79     83     89     97    101    103    107    109    113
  513.    127    131    137    139    149    151    157    163    167    173
  514.    179    181    191    193    197    199    211    223    227    229
  515.    233    239    241    251    257    263    269    271    277    281
  516.    283    293    307    311    313    317    331    337    347    349
  517.    353    359    367    373    379    383    389    397    401    409
  518.    419    421    431    433    439    443    449    457    461    463
  519.    467    479    487    491    499    503    509    521    523    541
  520.    547    557    563    569    571    577    587    593    599    601
  521.    607    613    617    619    631    641    643    647    653    659
  522.    661    673    677    683    691    701    709    719    727    733
  523.    739    743    751    757    761    769    773    787    797    809
  524.    811    821    823    827    829    839    853    857    859    863
  525.    877    881    883    887    907    911    919    929    937    941
  526.    947    953    967    971    977    983    991    997   1009   1013
  527.   1019   1021   1031   1033   1039   1049   1051   1061   1063   1069
  528.   1087   1091   1093   1097   1103   1109   1117   1123   1129   1151
  529.   1153   1163   1171   1181   1187   1193   1201   1213   1217   1223
  530.   1229   1231   1237   1249   1259   1277   1279   1283   1289   1291
  531.   1297   1301   1303   1307   1319   1321   1327   1361   1367   1373
  532.   1381   1399   1409   1423   1427   1429   1433   1439   1447   1451
  533.   1453   1459   1471   1481   1483   1487   1489   1493   1499   1511
  534.   1523   1531   1543   1549   1553   1559   1567   1571   1579   1583
  535.   1597   1601   1607   1609   1613   1619   1621   1627   1637   1657
  536.   1663   1667   1669   1693   1697   1699   1709   1721   1723   1733
  537.   1741   1747   1753   1759   1777   1783   1787   1789   1801   1811
  538.   1823   1831   1847   1861   1867   1871   1873   1877   1879   1889
  539.   1901   1907   1913   1931   1933   1949   1951   1973   1979   1987
  540.   1993   1997   1999   2003   2011   2017   2027   2029   2039   2053
  541.   2063   2069   2081   2083   2087   2089   2099   2111   2113   2129
  542.   2131   2137   2141   2143   2153   2161   2179   2203   2207   2213
  543.   2221   2237   2239   2243   2251   2267   2269   2273   2281   2287
  544.   2293   2297   2309   2311   2333   2339   2341   2347   2351   2357
  545.   2371   2377   2381   2383   2389   2393   2399   2411   2417   2423
  546.   2437   2441   2447   2459   2467   2473   2477   2503   2521   2531
  547.   2539   2543   2549   2551   2557   2579   2591   2593   2609   2617
  548.   2621   2633   2647   2657   2659   2663   2671   2677   2683   2687
  549.   2689   2693   2699   2707   2711   2713   2719   2729   2731   2741
  550.   2749   2753   2767   2777   2789   2791   2797   2801   2803   2819
  551.   2833   2837   2843   2851   2857   2861   2879   2887   2897   2903
  552.   2909   2917   2927   2939   2953   2957   2963   2969   2971   2999
  553.   3001   3011   3019   3023   3037   3041   3049   3061   3067   3079
  554.   3083   3089   3109   3119   3121   3137   3163   3167   3169   3181
  555.   3187   3191   3203   3209   3217   3221   3229   3251   3253   3257
  556.   3259   3271   3299   3301   3307   3313   3319   3323   3329   3331
  557.   3343   3347   3359   3361   3371   3373   3389   3391   3407   3413
  558.   3433   3449   3457   3461   3463   3467   3469   3491   3499   3511
  559.   3517   3527   3529   3533   3539   3541   3547   3557   3559   3571
  560.   3581   3583   3593   3607   3613   3617   3623   3631   3637   3643
  561.   3659   3671   3673   3677   3691   3697   3701   3709   3719   3727
  562.   3733   3739   3761   3767   3769   3779   3793   3797   3803   3821
  563.   3823   3833   3847   3851   3853   3863   3877   3881   3889   3907
  564.   3911   3917   3919   3923   3929   3931   3943   3947   3967   3989
  565.   4001   4003   4007   4013   4019   4021   4027   4049   4051   4057
  566.   4073   4079   4091   4093   4099   4111   4127   4129   4133   4139
  567.   4153   4157   4159   4177   4201   4211   4217   4219   4229   4231
  568.   4241   4243   4253   4259   4261   4271   4273   4283   4289   4297
  569.   4327   4337   4339   4349   4357   4363   4373   4391   4397   4409
  570.   4421   4423   4441   4447   4451   4457   4463   4481   4483   4493
  571.   4507   4513   4517   4519   4523   4547   4549   4561   4567   4583
  572.   4591   4597   4603   4621   4637   4639   4643   4649   4651   4657
  573.   4663   4673   4679   4691   4703   4721   4723   4729   4733   4751
  574.   4759   4783   4787   4789   4793   4799   4801   4813   4817   4831
  575.   4861   4871   4877   4889   4903   4909   4919   4931   4933   4937
  576.   4943   4951   4957   4967   4969   4973   4987   4993   4999   5003
  577.   5009   5011   5021   5023   5039   5051   5059   5077   5081   5087
  578.   5099   5101   5107   5113   5119   5147   5153   5167   5171   5179
  579.   5189   5197   5209   5227   5231   5233   5237   5261   5273   5279
  580.   5281   5297   5303   5309   5323   5333   5347   5351   5381   5387
  581.   5393   5399   5407   5413   5417   5419   5431   5437   5441   5443
  582.   5449   5471   5477   5479   5483   5501   5503   5507   5519   5521
  583.   5527   5531   5557   5563   5569   5573   5581   5591   5623   5639
  584.   5641   5647   5651   5653   5657   5659   5669   5683   5689   5693
  585.   5701   5711   5717   5737   5741   5743   5749   5779   5783   5791
  586.   5801   5807   5813   5821   5827   5839   5843   5849   5851   5857
  587.   5861   5867   5869   5879   5881   5897   5903   5923   5927   5939
  588.   5953   5981   5987   6007   6011   6029   6037   6043   6047   6053
  589.   6067   6073   6079   6089   6091   6101   6113   6121   6131   6133
  590.   6143   6151   6163   6173   6197   6199   6203   6211   6217   6221
  591.   6229   6247   6257   6263   6269   6271   6277   6287   6299   6301
  592.   6311   6317   6323   6329   6337   6343   6353   6359   6361   6367
  593.   6373   6379   6389   6397   6421   6427   6449   6451   6469   6473
  594.   6481   6491   6521   6529   6547   6551   6553   6563   6569   6571
  595.   6577   6581   6599   6607   6619   6637   6653   6659   6661   6673
  596.   6679   6689   6691   6701   6703   6709   6719   6733   6737   6761
  597.   6763   6779   6781   6791   6793   6803   6823   6827   6829   6833
  598.   6841   6857   6863   6869   6871   6883   6899   6907   6911   6917
  599.   6947   6949   6959   6961   6967   6971   6977   6983   6991   6997
  600. }
  601.  
  602. \end{multicols}
  603. \end{document}
Advertisement
Add Comment
Please, Sign In to add comment
Advertisement
Public Pastes
Advertisement
We use cookies for various purposes including analytics. By continuing to use Pastebin, you agree to our use of cookies as described in the Cookies Policy.  OK, I Understand
Not a member of Pastebin yet?
Sign Up, it unlocks many cool features!