\section*{\LARGE Задача 7}
\paragraph{ \Large  Найти $d, d^2$:\newline
1) $A \in R^{n*n} f(t) := Det(A - tI_n) $  \newline
$  d(Det(A - tI_n)) =  Det(A - tI_n) <(A - tI_n)^{-T}, d(A - tI_n)> =
Det(A - tI_n) <(A - tI_n)^{-T}, -I_n dt_1> =  - Det(A - tI_n) <(A - tI_n)^{-T}, I_n dt_1> \newline \newline
 d^2(Det(A - tI_n)) =  d(- Det(A - tI_n) <(A - tI_n)^{-T}, I_n dt_1>) =
 - d(Det(A - tI_n))  <(A - tI_n)^{-T}, I_n dt_1> - Det(A - tI_n) d( <(A - tI_n)^{-T}, I_n dt_1>) =
 - Det(A - tI_n) <(A - tI_n)^{-T}, I_n dt_2>  <(A - tI_n)^{-T}, I_n dt_1> - Det(A - tI_n) <d(A - tI_n)^{-T}, I_n dt_1> =
 - Det(A - tI_n) <(A - tI_n)^{-T}, I_n dt_2>  <(A - tI_n)^{-T}, I_n dt_1> - Det(A - tI_n) <(d(A - tI_n)^{-1})^T, I_n dt_1> =
 - Det(A - tI_n) <(A - tI_n)^{-T}, I_n dt_2>  <(A - tI_n)^{-T}, I_n dt_1> - Det(A - tI_n) <(-(A - tI_n)^{-1}) (-I_n dt_2)(A - tI_n)^{-1})^{T}, I_n dt_1> =
 - Det(A - tI_n) <(A - tI_n)^{-T}, I_n dt_2>  <(A - tI_n)^{-T}, I_n dt_1> - Det(A - tI_n) <(A - tI_n)^{-1} (I_n dt_2)(A - tI_n)^{-1})^{T}, I_n dt_1>
 \newline \newline$
 2) $ A \in S^{n}_+, b \in R^n,  f(t) := |(A+tI_n)^{-1}b|^2 \newline
 d(|(A+tI_n)^{-1}b|^2 ) = 2  |(A+tI_n)^{-1}b| * d(|(A+tI_n)^{-1}b| ) =
 2  |(A+tI_n)^{-1}b| * d(\sqrt{<(A+tI_n)^{-1}b, (A+tI_n)^{-1}b>}) =
 2  |(A+tI_n)^{-1}b| * d(\sqrt{<(A+tI_n)^{-T}(A+tI_n)^{-1}b, b>}) =
 2  |(A+tI_n)^{-1}b| * 1/2(<(A+tI_n)^{-T}(A+tI_n)^{-1}b, b>)^{-1/2} d(<(A+tI_n)^{-T}(A+tI_n)^{-1}b, b>) =
 |(A+tI_n)^{-1}b| * (<(A+tI_n)^{-T}(A+tI_n)^{-1}b, b>)^{-1/2} <d((A+tI_n)^{-T}(A+tI_n)^{-1})b, b> =
 |(A+tI_n)^{-1}b| * (<(A+tI_n)^{-T}(A+tI_n)^{-1}b, b>)^{-1/2} <d((A+tI_n)^{-T}(A+tI_n)^{-1})b, b> =
 - |(A+tI_n)^{-1}b| * (<(A+tI_n)^{-T}(A+tI_n)^{-1}b, b>)^{-1/2} <((A+tI_n)^{-T}dt_1(A+tI_n)^{-T} + (A+tI_n)^{-1}dt_1(A+tI_n)^{-1} )b, b>
 \newline \newline d((A+tI_n)^{-T}(A+tI_n)^{-1}) =
 d((A+tI_n)^{-T})(A+tI_n)^{-1} + (A+tI_n)^{-T}d((A+tI_n)^{-1}) =
 -(A+tI_n)^{-T}dt_1(A+tI_n)^{-T} - (A+tI_n)^{-1}dt_1(A+tI_n)^{-1}
$ \newline \newline
 $ d( - |(A+tI_n)^{-1}b| * (<(A+tI_n)^{-T}(A+tI_n)^{-1}b, b>)^{-1/2} <((A+tI_n)^{-T}dt_1(A+tI_n)^{-T} + (A+tI_n)^{-1}dt_1(A+tI_n)^{-1} )b, b>) =
d( - |(A+tI_n)^{-1}b|) * (<(A+tI_n)^{-T}(A+tI_n)^{-1}b, b>)^{-1/2} <((A+tI_n)^{-T}dt_1(A+tI_n)^{-T} + (A+tI_n)^{-1}dt_1(A+tI_n)^{-1} )b, b>  - |(A+tI_n)^{-1}b| * d((<(A+tI_n)^{-T}(A+tI_n)^{-1}b, b>)^{-1/2}) <((A+tI_n)^{-T}dt_1(A+tI_n)^{-T} + (A+tI_n)^{-1}dt_1(A+tI_n)^{-1} )b, b> -
|(A+tI_n)^{-1}b| * (<(A+tI_n)^{-T}(A+tI_n)^{-1}b, b>)^{-1/2} d(<((A+tI_n)^{-T}dt_1(A+tI_n)^{-T} + (A+tI_n)^{-1}dt_1(A+tI_n)^{-1} )b, b>) =
 1/2 * (<(A+tI_n)^{-T}(A+tI_n)^{-1}b, b>)^{-1} (<((A+tI_n)^{-T}dt_1(A+tI_n)^{-T} + (A+tI_n)^{-1}dt_1(A+tI_n)^{-1} )b, b>)^2 -
 |(A+tI_n)^{-1}b| * 1/2(<(A+tI_n)^{-T}(A+tI_n)^{-1}b, b>)^{-3/2}* <(A+tI_n)^{-T}dt_2(A+tI_n)^{-T} - (A+tI_n)^{-1}dt_2(A+tI_n)^{-1} , b> +
 2 |(A+tI_n)^{-1}b| * (<(A+tI_n)^{-T}(A+tI_n)^{-1}b, b>)^{-1/2} <(((A+tI_n)^{-T})^2dt_1dt_2(A+tI_n)^{-T} + ((A+tI_n)^{-1})^2dt_1dt_2(A+tI_n)^{-1} )b, b>
 \newline \newline
 d((C^{-T})^2) = 2C^{-T}d(C^{-T}) = 2C^{-T}(d(C^{-1}))^T =
 2C^{-T}(-C^{-1} dC C^{-1})^T =  -2C^{-T}C^{-T} dC C^{-T}\newline
 d((C{^-1})^2) =  -2C^{-1}C^{-1} dC C^{-1}
 $
}