---
title: "Ściąga TP"
author: "Maciek Tadej"
date: "24 czerwca 2019"
output: pdf_document
---

```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```

**37)** **Rozkład Bernoulliego** - $b(n,p)$:
  $P(X = k) = \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
  $\mathbb{E}X = np$
  $\mathbb{E}X^2 = npq + (np)^2$
  $Var(X) = npq$
  $\varphi_X(t) = (q=e^{it}p)^n$
  **38)** **Rozkład Poissona** - $Poi(\lambda)$:
  $P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}$
  $\mathbb{E}X = \lambda$
  $\mathbb{E}X^2 = \lambda^2 + \lambda$
  $Var(X) = \lambda$
  $\varphi_X(t) = e^{\lambda(e^{it}-1)}$
    **43)** **Rozkład jednostajny na [a,b]** - $U[a,b]$:
  $f(x)=\mathbb{1}_{[a,b]}(x)\cdot\frac{1}{b-a}$
  $\mathbb{E}X = \frac{a+b}{2}$
  $Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$
  $\varphi_X(t) = \frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}$
  **44)** **Rozkład wykładniczy** - $Exp(\lambda)$:
  $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$
  $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ dla $x \ge 0$
  $\mathbb{E}X = \frac{1}{\lambda}$
  $\mathbb{E}X^2 = \frac{2}{\lambda^2}$
  $Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$
  $\varphi_X(t)= (1-\frac{it}{\lambda})^{-1}$
  **45)** **Rozkład normalny** - $N(\mu,\sigma^2)$:
  $f(x)= \frac{1}{\sigma\cdot\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
  $\mathbb{E}X = \mu$
  $Var(X) = \sigma^2$
  $Var(X) = e^{(\mu it - \frac{\sigma^2t^2}{2})}$
  **74)** Nierówność Czebyszewa II:
  Taka sama jak nierówność Czebyszewa I, przy czym za zmienną losową X bierzemy $X-\mathbb{E}X$ oraz $f(x)=x^2$, wtedy
  $$\forall_{\varepsilon > 0} P(|X-\mathbb{E}X| > \varepsilon) \le \frac{Var(X)}{\varepsilon^2}$$
  **76)** Ciąg $\left\{X_n\right\}$ jest zbieżny do X prawie na pewno, gdy:
  $$P(\left\{\omega:X_n(\omega)\rightarrow X(\omega)\right\}) =1$$
  **77)** Ciąg $\left\{X_n\right\}$ jest zbieżny do X według prawdopodobieństwa, jeżeli:
  $$\forall_{\varepsilon >0} \displaystyle \lim_{n \to \infty}P(|X_n-X|>\varepsilon) = 0$$
  **78)** Ciąg $\left\{X_n\right\}$ jest zbieżny do X w $L^p$, gdy:
  $$||X||_{p}= (\mathbb{E}|X|^p)^{\frac{1}{p}} < \infty \  \land \ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\mathbb{E}|X_n-x|^p=0$$
  **79)** Niech $X_n \xrightarrow{p.n.} X$ oraz $Y_n \xrightarrow{p.n} Y$, wtedy:
  *i)* $aX_n+bY_n \xrightarrow{p.n} aX+bY$
  *ii)* $X_nY_n \xrightarrow{p.n} XY$
  **80)** Niech $X_n \xrightarrow{P} X$ oraz $Y_n \xrightarrow{P} Y$, wtedy:
  *i)* $aX_n+bY_n \xrightarrow{P} aX+bY$
  *ii)* $X_nY_n \xrightarrow{P} XY$
  **81)** Jeżeli $X_n \xrightarrow{p.n} X$, to wtedy $X_n \xrightarrow{P} X$
  **82)** Jeżeli $X_n \rightarrow X$ w $L^p$, to wtedy $X_n \xrightarrow{P}X$
  **83)** Twierdzenie Riesza:
  Jeśli $X_n \xrightarrow{P} X$ to wtedy istnieje podciąg $X_{n_k}$, taki że:
  $$X_{n_k} \xrightarrow{p.n} X$$
  **92)** Twierdzenie Kołmogorowa o dwóch szeregach:
  $X_1,....X_n$ są niezależnymi zmiennymi losowymi, takimi że $\mathbb{E}X_i^2 < \infty$ oraz jeśli:
  *i)* $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X_n$
  *ii)* $\sum_{n=1}^{\infty}Var(X_n)$
  są zbieżne, to wtedy $\sum_{n=1}^{\infty}X_n$ jest zbieżny.
  **93)** Lemat Kroneckera:
  Jeżeli $a_n$ jest ciągiem liczbowym oraz $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n} < {\infty}$, to:
  $$\frac{a_1+...+a_n}{n} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0$$
  **96)** $X^{(c)}$ - obcięcie zmiennej losowej:
  $$X^{(c)} = \begin{cases} X \ \ \ \ |X| \le c\\0 \ \ \ \ \ |X| > c\end{cases}$$
  **97)** Twierdzenie Kołmogorowa o 3 szeregach:
  Szereg $\sum_{n=1}^{\infty}X_n$ niezależnych zmiennych losowych jest zbieżny prawie wszędzie, wtedy i tylko wtedy, gdy następujące 3 szeregi są zbieżne dla pewnego $c >0$:
  *i)*$\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{E}X^{(c)}_n$
  *ii)*$\sum_{n=1}^{\infty}Var(X^{(c)}_n)$
  *iii)*$\sum_{n=1}^{\infty}P(|X_n|>c)$
  **99)** Twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a II:
  Niech $S_n$ - liczba sukcesów podczas n niezależnych doświadczeń z prawdopodobieństwem sukcesu równym p ($S_n \sim b(n,p)$):
  $$P(\frac{S_n - np}{\sqrt{npq}} \le t) \rightarrow \Phi(t)$$
    **116)** Centralne twierdzenie graniczne:
  $X_n$ - ciąg i.i.d. i niech $\mathbb{E}X_1 = m \ \land Var(X_1) = \sigma^2$, wtedy:
  $$\frac{X_1+X_2+...X_n -nm}{\sqrt{n}\cdot \sigma} \xrightarrow{d} N(0,1)$$
    **119)** Liczba e:
  *i)* $(1+\frac{1}{n})^n \rightarrow e$
  *ii)* $(1-\frac{1}{n})^n \rightarrow e^{-1}$
  *iii)* $(1+\frac{a}{n})^n \rightarrow e^a$
  *iv)* $e^{it} = \cos{(t)} + i\sin{(t)}$