\documentclass[12pt,a4paper,openany]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\pagestyle{plain}
\textwidth=16cm
\oddsidemargin=0cm
\headsep=-2cm
\textheight=25cm
\def\baselinestretch{1.5}
\usepackage{ulem}\normalem
\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{array}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{comment}
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}.}
\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ТИТУЛЬНИК
{
\thispagestyle{empty}
\newpage
\centering

\textbf{
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ\\
ИМЕНИ М.\ В.\ ЛОМОНОСОВА\\*
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ}



\vfill

{\large ОТЧЁТ ПО ПРАКТИКУМУ НА ЭВМ}

\bigskip

\textbf{<<КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ\\
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ>>}

{\large Задача №\ 23}

\bigskip

\vfill

\begin{flushright}
Работу выполнил: \\
Анискин\ Дмитрий\ Вадимович\ (группа 423)\\
Преподаватель: \\
Самохин\ Александр\ Сергеевич\\

\end{flushright}

\vspace{\fill}

Москва \number\year
\clearpage
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% СОДЕРЖАНИЕ
\newpage
\tableofcontents
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% РАСЧЕТ
\section{Постановка задачи}
Необходимо найти численное решение уравнения переноса.
\[ \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial F(u)}{\partial x} = 0 \]
\[u_0 (x) =
\begin{cases}
0, &\text{если $x\leqslant0$;}\\
1, &\text{если $x>0$.}
\end{cases}\]
$F(u) = \frac{1}{2}u$~-— линейный случай. \\
$F(u) = \frac{1}{2}u^2$~-— нелинейный случай.

Используются явная и неявная схемы.
\[v_t + (F^{\sigma1}(v))_{\stackrel{\circ}{\hat x}} = \frac{\tau}{2} (F'_v(v)F^{\sigma2}(v)_{x})_{\bar x} \]
\section{Аналитическое решение}
\subsection{Линейный случай}
Уравнение:
\[ \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \]
Начальные услвоия:
\[u_0 (x,0) =
\begin{cases}
0, &\text{если $x\leqslant0$;}\\
1, &\text{если $x>0$.}
\end{cases}\]
Сделаем замену:
\[ \xi = x + \frac{1}{2} t\]
\[ \eta = x - \frac{1}{2} t\]
Тогда справедливо:
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial t} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u}{\partial \xi} - \frac{\partial u}{\partial \eta} \right)\]
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \eta} \]
Подставим результат в исходное уравнение:
\[
\frac{1}{2} \left( \frac{\partial u}{\partial \xi} - \frac{\partial u}{\partial \eta} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \eta}\right) = 0 \]
После раскрытия скобок:
\[\frac{\partial u}{\partial \xi} = 0 \]
Следовательно, искомая функция не зависит от $\xi$. То есть:
\[u = f(\eta) = f \left( x - \frac{1}{2} t \right).\]
Используем начальные условия:
\[u_0 (x, 0) = f(x) =
\begin{cases}
0, &\text{если $x\leqslant0$;}\\
1, &\text{если $x>0$.}
\end{cases}\]
Следовательно:
\[u(x, t) = f\left( x - \frac{1}{2} t \right) =
\begin{cases}
0, &\text{если $x-\frac{1}{2}t\leqslant0$;}\\
1, &\text{если $x-\frac{1}{2}t>0$.}
\end{cases}\]
Это и есть аналитическое решение для линейного случая. Начальный профиль движется влево со скоростью $\frac{1}{2}$.
\subsection{Нелинейный случай}
Решаем уравнение:
\[ \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \]
Начальные условия:
\[u_0 (x, 0) =
\begin{cases}
0, &\text{если $x\leqslant0$;}\\
1, &\text{если $x>0$.}
\end{cases}\]

Заметим, что если мы сделаем замену: $x \to kx, t \to kt$, то исходное уравнение не изменится, а если коэффициент $k>0$, то начальные условия тоже перейдут в себя.

Это означаетс, что $u(x,t)$ остается постоянной на всех лучах $x= \xi t$, выходящих из начала координат, а, значит, является функцией от $\xi = \frac{x}{t}$. Время будем считать положительным, $t>0$:
\[ u(x,t) = u\left(\frac{x}{t}\right).\]

Подставим в наше уравнение этот результат. С учетом замены, справедливо:
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial t} =
-\frac{x}{t^2}\frac{\partial u}{\partial \xi}\]
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x} = \frac{1}{t}\frac{\partial u}{\partial \xi} \]
\[-\frac{x}{t^2}u'\left(\frac{x}{t}\right) + \frac{1}{t}uu'\left(\frac{x}{t}\right)=-\frac{1}{t}u'\left(\frac{x}{t}\right) \left(\frac{x}{t} - u\left( \frac{x}{t}\right)\right) =0 \]
Следовательно, либо $u'=0$, то есть $u=const$, либо $ u = -\frac{x}{t}$.
Необходимо соединить решения так, чтобы удовлетворялся закон неубывания энтропии, условия Рэнкина-Гюгонио и выполнялись начальные условия.
Две постоянные функции $u(t,x) \equiv u_1$ и $u(t,x) \equiv u_2$, $u_i = const$ как следует из условия Рэнкина-Гюгонио, стыкуются по прямой:
\[x = \frac{F(u_2) - F(u_1)}{u_2 - u_1}t = \frac{1}{2}\frac{u^2_2-u^2_1}{u_2-u_1}t = -\frac{u_2+u_1}{2}t \]
Причем скачок (из условия допустимпости разрыва) возможен только в сторону уменьшения u при росте x. Тогла если $u_2>u1$, то
\[u(x,t) =
\begin{cases}
u_2, &\text{если $x<-\frac{u_2+u_1}{2}t$;}\\
u_1, &\text{если $x>-\frac{u_2+u_1}{2}t$.}
\end{cases}\]

Состыкуем константу и функцию $-\frac{x}{t}$. Они стыкуются по некоторому лучу $x=\xi t$, тогда из условия Рэнкина-Гюгонио:
\[\xi = \frac{dx}{dt} = \frac{F(u_3)-F(\xi)}{u_3-\xi}t = \frac{1}{2}\frac{u^2_3-\xi^2}{u_3-\xi}t = \frac{u_3+\xi}{2}t\]
Из этого равенства следует: $\xi = u_3$.
Это означает, что полученная функция непрерывна на луче стыковки. Решение нельзя строить в виде ударной волны в силу условия неубывания энтропии. Искомое решение:
\[u(x,t) =
\begin{cases}
1, &\text{если $x\geqslant t$;}\\
\frac{x}{t}, &\text{если $0<x<t$;}\\
0, &\text{если $x<0$.}
\end{cases}\]

\section{\bf Расчет линейной задачи}
Рассматриваются явная и неявная схемы:
\[v_t + (F^{\sigma1}(v))_{\stackrel{\circ}{\hat x}} = \frac{\tau}{2} (F'_v(v)F^{\sigma2}(v)_{x})_{\bar x} \]
для численного решения уравнения переноса $    \frac{\partial u}{\partial t} + \frac12     \frac{\partial u}{\partial x} = 0$ в области \\ $Q_T = [{(t,x): 0<t<1, -1 < x< 1}]$. \\
Начальные условия: на прямой $ t=0$ (при $-1 <x < 1$) определена функция
$$
u_0(x)=
\left\{
\begin{aligned}
0&,                                 & x\le 0,\\
1&,                  & x> 0
\end{aligned}
\right.
$$


Граничные условия: ввиду постоянства решения на характеристиках - прямых вида $ t = 2x + C$, при $ 0 \le t \le 1$, для обеих схем $u(t,-1) = 0$, $u(t,1) = 1$. \\


Явная схема примет следующий вид:
\[
\frac{v_m^{n+1} - v_m^n}{\tau} + \frac12 \frac{v_{m+1}^n - v_{m-1}^n}{2h} = \frac{\tau}{8h^2} (v_{m+1}^n - 2v_m^n + v_{m-1}^n),\\
\]

\[
v_m^{n+1} = v_{m+1}^n (\frac{\tau^2}{8h^2} - \frac{\tau}{4h} ) + v_{m}^n (1 - \frac{\tau^2}{4h^2} )+ v_{m-1}^n (\frac{\tau^2}{8h^2} + \frac{\tau}{4h} ) .\\
\]\\
Далее, $||v||_{C_h} = \max_{x_i \in \omega_{h}} |v_i|,          \quad          ||v||_{L_{1,h}} = h \sum_{x_i \in \omega_{h}} |v_i|,       \quad        \Delta(v)_{\alpha} = || v - u ||_{\alpha},        \quad       \delta(v)_{\alpha} = \frac{|| v - u ||_{\alpha}}{|| v ||_{\alpha}} $. \\

\begin{center}
Таблица 1: Нормы погрешности расчетов явной схемы. \\
\begin{tabular}{|*{8}{c|}}
\hline
$\tau$ & $ h $ & $\Delta(v)_{C_h}$ & $\Delta(v)_{L_{1,h}} $ & $\delta(v)_{C_h}$ & $\delta(v)_{L_{1,h}} $ \\
\hline
0.01 & 0.01 & 0.652 & 0.032 & 0.652 & 0.061\\
0.01   &    0.1   & 0.540 & 0.223 & 0.540 & 0.337 \\
0.001   &    0.1   & 0.530 & 0.252 & 0.530 & 0.366 \\
0.1   &    0.01    & 1.514e+14 & 8.142e+12 & 1 & 1\\
0.01   &    0.01   & 0.651 & 0.031 & 0.65 & 0.06\\
0.001   &    0.01    & 0.609 & 0.0551 & 0.609 & 0.101\\
0.1   &    0.001    & 1.82e+32 & 9.74e+29 & 1 & 1\\
0.01   &    0.001    & 6.05e+165 & 1.06e+164 & 1 & 1\\
0.001   &    0.001    & 0.659 & 0.007 & 0.659 & 0.015\\
\hline
\end{tabular}\\
\end{center}
Пусть $\tau_k = \frac{\tau}{2^k}, h_k = \frac{h}{2^k} $.
Для $k = 1, \dots, 4 $ и $v^k = u$ вычислим $   \Delta(v, v^k)_{\alpha} = || v - v^k ||_{\alpha},        \quad       \delta(v,v^k)_{\alpha} = \frac{|| v - v^k ||_{\alpha}}{|| v ||_{\alpha}} $. \\
\\\
\\
\\
\\
\\
\begin{center}
Таблица 2: Оценки погрешности расчетов явной схемы на сетке\\$\tau =0.1, h =0.1$

\begin{tabular}{|*{8}{c|}}
\hline
$  $ & $\Delta(v,\cdot)_{C_h}$ & $\Delta(v,\cdot)_{L_{1,h}} $ & $\delta(v,\cdot)_{C_h}$ & $\delta(v,\cdot)_{L_{1,h}} $ \\
\hline
$v^1$ & 0.40526 & 0.054783 & 0.40526 & 0.180641\\
$v^2$ & 0.709446 & 0.0326173 & 0.709446 & 0.215104\\
$v^3$ & 0.76645 & 0.0184348 & 0.76645 & 0.243147\\
$v^4$ & 0.628177 & 0.00843134 & 0.628177 & 0.222411 \\
\hline
\end{tabular}\\
\end{center}

\begin{center}
Таблица 3: Оценки погрешности расчетов явной схемы на сетке\\$\tau =0.01, h =0.01$

\begin{tabular}{|*{8}{c|}}
\hline
$  $ & $\Delta(v,\cdot)_{C_h}$ & $\Delta(v,\cdot)_{L_{1,h}} $ & $\delta(v,\cdot)_{C_h}$ & $\delta(v,\cdot)_{L_{1,h}} $ \\
\hline
$v^1$ & 0.35755 & 0.0125118 & 0.35755 & 0.048006\\
$v^2$ & 0.608706 & 0.0070653 & 0.608706 & 0.0542169\\
$v^3$ & 0.652645 & 0.00380576 & 0.652645 & 0.0584084\\
$v^4$ & 0.896834 & 0.00194807 & 0.896834 & 0.0597954\\

\hline
\end{tabular}\\
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm,height=8cm,angle=0]{1.png}\\
Рис.1. Явная линейная схема при $\tau = 0.01, h =0.01$. График $v(x), u(x)$
\includegraphics[width=12cm,height=8cm,angle=0]{2.png}\\
Рис.2. Явная линейная схема при $\tau = 0.01, h =0.01$. График $u(x)-v(x)$
\end{center}\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
Неявная схема примет вид
\[
v_m^{n} + v_{m-1}^{n+1}(\frac{\tau^2+2h\tau}{8h^2})+v_m^{n+1}(-1-\frac{\tau^2}{4h^2})+
 v_{m+1}^{n+1}(\frac{\tau^2-2h\tau}{8h^2})=0.
\]
\begin{center}
Таблица 4: Нормы погрешности расчетов неявной схемы. \\
\begin{tabular}{|*{8}{c|}}
\hline
$\tau$ & $ h $ & $\Delta(v)_{C_h}$ & $\Delta(v)_{L_{1,h}} $ & $\delta(v)_{C_h}$ & $\delta(v)_{L_{1,h}} $ \\
\hline
0.1    &     0.1     & 0.567916 & 0.180491 & 0.567916 & 0.320821\\
0.01   &    0.1    & 0.520784 & 0.206838 & 0.520784 & 0.326677 \\
0.001   &    0.1  & 0.527501 & 0.249593 & 0.527501 & 0.364885\\
0.1   &    0.01    & 0.621111 & 0.17421 & 0.621111 & 0.315652\\
0.01   &    0.01    & 0.521159 & 0.056391 & 0.521159 & 0.111665\\
0.001   &    0.01    & 0.555245 & 0.0336877 & 0.555245 & 0.0656417\\
0.1   &    0.001   & 0.628579 & 0.174297 & 0.628579 & 0.315858\\
0.01   &    0.001   & 0.537341 & 0.0563456 & 0.537341 & 0.111575\\
0.001   &    0.001   & 0.50669 & 0.0178404 & 0.50669 & 0.0356452\\
\hline
\end{tabular}\\
\end{center}
\newpage
\begin{center}
Таблица 5: Оценки погрешности расчетов неявной схемы на сетке\\$\tau =0.01, h =0.01$

\begin{tabular}{|*{8}{c|}}
\hline
$  $ & $\Delta(v,\cdot)_{C_h}$ & $\Delta(v,\cdot)_{L_{1,h}} $ & $\delta(v,\cdot)_{C_h}$ & $\delta(v,\cdot)_{L_{1,h}} $ \\
\hline
$v^1$ & 0.114552 & 0.00856181 & 0.114552 & 0.0339081\\
$v^2$ & 0.212527 & 0.0072649 & 0.212527 & 0.0575437\\
$v^3$ & 0.294596 & 0.00467609 & 0.294596 & 0.0740766\\
$v^4$ & 0.361753 & 0.00270237 & 0.361753 & 0.0856197\\

\hline
\end{tabular}\\
\end{center}

\begin{center}
Таблица 6: Оценки погрешности расчетов неявной схемы на сетке\\$\tau =0.1, h =0.1$

\begin{tabular}{|*{8}{c|}}
\hline
$  $ & $\Delta(v,\cdot)_{C_h}$ & $\Delta(v,\cdot)_{L_{1,h}} $ & $\delta(v,\cdot)_{C_h}$ & $\delta(v,\cdot)_{L_{1,h}} $ \\
\hline
$v^1$ & 0.209528 & 0.0370927 & 0.209528 & 0.131864\\
$v^2$ & 0.340067 & 0.0290387 & 0.340067 & 0.206464\\
$v^3$ & 0.438985 & 0.018048 & 0.438985 & 0.256642\\
$v^4$ & 0.53015 & 0.0101103 & 0.53015 & 0.287537\\


\hline
\end{tabular}\\
\end{center}

\begin{center}
Рис.3. Неявная линейная схема при $\tau = 0.01, h =0.01$. График $v(x), u(x)$
\includegraphics[width=12cm,height=8cm,angle=0]{3.png}\\
Рис.4. Неявная линейная схема при $\tau = 0.01, h =0.01$. График $u(x)-v(x)$
\includegraphics[width=12cm,height=8cm,angle=0]{4.png}\\
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНОЙ
\section{\bf Расчет нелинейной задачи}

Рассматриваются явная и неявная схемы:
\begin{center}
Используются явная и неявная схемы.
\[v_t + (F^{\sigma1}(v))_{\stackrel{\circ}{\hat x}} = \frac{\tau}{2} (F'_v(v)F^{\sigma2}(v)_{x})_{\bar x} \]
\end{center}
для численного решения уравнения переноса $    \frac{\partial u}{\partial t} + \frac12     \frac{\partial u^2}{\partial x} = 0$ в области \\ $Q_T = [{(t,x): 0<t<1, -0.5 < x< 1.5}]$. \\
Начальные условия: на прямой $ t=0$ (при $-0.5 <x < 1.5$) определена функция
$$
u_0(x)=
\left\{
\begin{aligned}
0&,                                 & x\le 0,\\
1&,                  & x> 0
\end{aligned}
\right.
$$


Граничные условия: ввиду постоянства решения на характеристиках - прямых вида $ t = 2x + C$, при $ 0 \le t \le 1$, для обеих схем $u(t,-0.5) = 0$, $u(t,1.5) = 1$. \\


Явная схема примет следующий вид:
\[
v_m^{n+1} =\frac{\tau^2}{4h^2}(v_n^m(v_{m+1}^n)^2 - v_{m-1}^n(v_m^n)^2 - (v_m^n)^3 + (v_{m-1}^n)^3 ) -\frac{\tau}{4h}((v_{m+1}^n)^2-(v_{m-1}^n)^2) + v_m^n.\\
\]\\
Далее, $||v||_{C_h} = \max_{x_i \in \omega_{h}} |v_i|,          \quad          ||v||_{L_{1,h}} = h \sum_{x_i \in \omega_{h}} |v_i|,       \quad        \Delta(v)_{\alpha} = || v - u ||_{\alpha},        \quad       \delta(v)_{\alpha} = \frac{|| v - u ||_{\alpha}}{|| v ||_{\alpha}} $. \\

\begin{center}
Таблица 7: Нормы погрешности расчетов явной схемы. \\
\begin{tabular}{|*{8}{c|}}
\hline
$\tau$ & $ h $ & $\Delta(v)_{C_h}$ & $\Delta(v)_{L_{1,h}} $ & $\delta(v)_{C_h}$ & $\delta(v)_{L_{1,h}} $ \\
\hline
0.05 & 0.1 & 0.647817 & 0.380097 & 0.647817 & 0.287564\\
0.005 & 0.1 & 0.573114 & 0.310739 & 0.573114 & 0.249854\\
0.0005 & 0.1 & 0.56666 & 0.302748 & 0.56666 & 0.245175\\
0.00005 & 0.1 & 0.565979 & 0.301943 & 0.565979 & 0.2447\\
0.005 & 0.01 & 0.742184 & 0.327735 & 0.742184 & 0.248008\\
0.0005 & 0.01 & 0.725365 & 0.265836 & 0.725365 & 0.2112041\\
0.00005 & 0.01  & 0.781037 & 0.258441 & 0.781037 & 0.206557\\
0.0005 & 0.001 & 0.759956 & 0.321529 & 0.759956 & 0.243418\\
0.00005 & 0.001 & 0.695938 & 0.259942 & 0.695938 & 0.206431\\
\hline
\end{tabular}\\
\end{center}

Пусть $\tau_k = \frac{\tau}{2^k}, h_k = \frac{h}{2^k} $.
Для $k = 1, \dots, 4 $ и $v^k = u$ вычислим $   \Delta(v, v^k)_{\alpha} = || v - v^k ||_{\alpha},        \quad       \delta(v,v^k)_{\alpha} = \frac{|| v - v^k ||_{\alpha}}{|| v ||_{\alpha}} $. \\

\begin{center}
Таблица 8: Оценки погрешности расчетов явной схемы на сетке\\$\tau =0.00005, h =0.1$

\begin{tabular}{|*{8}{c|}}
\hline
$  $ & $\Delta(v,\cdot)_{C_h}$ & $\Delta(v,\cdot)_{L_{1,h}} $ & $\delta(v,\cdot)_{C_h}$ & $\delta(v,\cdot)_{L_{1,h}} $ \\
\hline
$v^1$ & 0.291214 & 0.0647592 & 0.291214 & 0.104964\\
$v^2$ & 0.323554 & 0.0335052 & 0.323554 & 0.108613\\
$v^3$ & 0.158929 & 0.0132367 & 0.158929 & 0.0858185\\
$v^4$ & 0.248788 & 0.00803266 & 0.248788 & 0.104157\\

\hline
\end{tabular}\\
\end{center}

\begin{center}
Таблица 9: Оценки погрешности расчетов явной схемы на сетке\\$\tau =0.005, h =0.1$

\begin{tabular}{|*{8}{c|}}
\hline
$  $ & $\Delta(v,\cdot)_{C_h}$ & $\Delta(v,\cdot)_{L_{1,h}} $ & $\delta(v,\cdot)_{C_h}$ & $\delta(v,\cdot)_{L_{1,h}} $ \\
\hline
$v^1$ & 0.28646 & 0.0637494 & 0.28646 & 0.102517\\
$v^2$ & 0.335283 & 0.0356317 & 0.335283 & 0.114601\\
$v^3$ & 0.173145 & 0.0128606 & 0.173145 & 0.082726\\
$v^4$ & 0.134509 & 0.00648047 & 0.134509 & 0.0833714\\

\hline
\end{tabular}\\
\end{center}

\begin{center}
Таблица 10: Оценки погрешности расчетов явной схемы на сетке\\$\tau =0.0005, h =0.01$

\begin{tabular}{|*{8}{c|}}
\hline
$  $ & $\Delta(v,\cdot)_{C_h}$ & $\Delta(v,\cdot)_{L_{1,h}} $ & $\delta(v,\cdot)_{C_h}$ & $\delta(v,\cdot)_{L_{1,h}} $ \\
\hline
$v^1$ & 0.410182 & 0.0324286 & 0.410182 & 0.0515286\\
$v^2$ & 0.543627 & 0.0153934 & 0.543627 & 0.0489198\\
$v^3$ & 0.702601 & 0.00820359 & 0.702601 & 0.0521416\\
$v^4$ & 0.703337 & 0.00422343 & 0.703337 & 0.0536877\\

\hline
\end{tabular}\\
\end{center}
\newpage
\begin{center}
Рис.5. Явная нелинейная схема при $\tau = 0.00005, h =0.1$. График $v(x), u(x)$
\includegraphics[width=18cm,height=11cm,angle=0]{5.png}\\
Рис.6. Явная нелинейная схема при $\tau = 0.00005, h =0.1$. График $u(x)-v(x)$
\includegraphics[width=18cm,height=11cm,angle=0]{6.png}\\
\end{center}


Неявная схема примет следующий вид:
\[
v_m^{n+1}-v_m^n +\frac{\tau}{4h}((v_{m+1}^{n+1})^2 - (v_{m-1}^{n+1})^2)
- \frac{\tau^2}{4h^2}(v_m^{n}(v_{m+1}^{n+1})^2-v_{m-1}^{n}(v_{m}^{n+1})^2-
v_m^{n}(v_{m}^{n+1})^2+v_{m-1}^{n}(v_{m-1}^{n+1})^2)\\
\]

\begin{center}
Таблица 11: Нормы погрешности расчетов неявной схемы. \\
\begin{tabular}{|*{8}{c|}}
\hline
$\tau$ & $ h $ & $\Delta(v)_{C_h}$ & $\Delta(v)_{L_{1,h}} $ & $\delta(v)_{C_h}$ & $\delta(v)_{L_{1,h}} $ \\
\hline
0.05 & 0.1 & 0.628857 & 0.426532 & 0.628857 & 0.319041\\
0.005 & 0.1  & 0.572781 & 0.315125 & 0.572781 & 0.253293\\
0.0005 & 0.1 & 0.56662 & 0.303181 & 0.56662 & 0.245519\\
0.00005 & 0.1 & 0.566004 & 0.302015 & 0.566004 & 0.244735\\
0.005 & 0.01 & 0.688566 & 0.357028 & 0.688566 & 0.266774\\
0.0005 & 0.01  & 0.67503 & 0.266685 & 0.67503 & 0.211984\\
0.00005 & 0.01  & 0.782154 & 0.258727 & 0.782154 & 0.206762\\
\hline
\end{tabular}\\
\end{center}


\begin{center}
Таблица 12: Оценки погрешности расчетов неявной схемы на сетке\\$\tau =0.05, h =0.1$

\begin{tabular}{|*{8}{c|}}
\hline
$  $ & $\Delta(v,\cdot)_{C_h}$ & $\Delta(v,\cdot)_{L_{1,h}} $ & $\delta(v,\cdot)_{C_h}$ & $\delta(v,\cdot)_{L_{1,h}} $ \\
\hline
$v^1$ & nan & nan & nan & nan\\
$v^2$ & nan & nan & nan & nan\\
$v^3$ & nan & nan & nan & nan\\
$v^4$ & nan & nan & nan & nan\\


\hline
\end{tabular}\\
\end{center}

\begin{center}
Таблица 13: Оценки погрешности расчетов неявной схемы на сетке\\$\tau =0.005, h =0.1, $

\begin{tabular}{|*{8}{c|}}
\hline
$  $ & $\Delta(v,\cdot)_{C_h}$ & $\Delta(v,\cdot)_{L_{1,h}} $ & $\delta(v,\cdot)_{C_h}$ & $\delta(v,\cdot)_{L_{1,h}} $ \\
\hline
$v^1$ & 0.267773 & 0.0600794 & 0.267773 & 0.0965819\\
$v^2$ & 0.269875 & 0.0325728 & 0.269875 & 0.104726\\
$v^3$ & 0.214168 & 0.0143662 & 0.214168 & 0.0923786\\
$v^4$ & 0.1379 & 0.00647105 & 0.1379 & 0.0832214\\


\hline
\end{tabular}\\
\end{center}

\begin{center}
Рис.7. Неявная нелинейная схема при $\tau = 0.005, h =0.1$. График $v(x), u(x)$
\includegraphics[width=18cm,height=11cm,angle=0]{7.png}\\
\newpage
Рис.8. Неявная нелинейная схема при $\tau = 0.05, h =0.1$. График $u(x)-v(x)$
\includegraphics[width=18cm,height=11cm,angle=0]{8.png}\\
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ТЕОРИЯ
\newpage
\section{\bf Теоретическое исследование линейной задачи}

Рассматривается уравнение переноса:

\numberwithin{equation}{section}
\begin{equation}  \label{1}
\frac{\partial u}{\partial t} + \frac12     \frac{\partial u}{\partial x} = 0.\\
\end{equation}

1) Посчитаем аппроксимацию для явной схемы:
\[v_t + (F^{\sigma1}(v))_{\stackrel{\circ}{\hat x}} = \frac{\tau}{2} (F'_v(v)F^{\sigma2}(v)_{x})_{\bar x} \]
\[ \sigma_1=\sigma_2=0
\]
\\
\[
F = \frac{v^{n+1}_m - v^n_m}{\tau}+\frac12 \frac{v^n_{m+1}-v^n_{m-1}}{2h} - \frac{\tau}{8} \frac{v^n_{m+1}-2v^n_m+v^n_{m-1}}{h^2}
\]

\[
v^{n+1}_m = v^n_m + \tau\dot v^n_m + \frac{\tau^2}2\ddot v^n_m+O(\tau^3)
\]

\[
v^n_{m+1} = v^n_m + h{v'}^n_m + \frac{h^2}2 {v''}^n_m+O(h^3)
\]
Тогда:
\[
F = \dot v^n_m +\frac{\tau}2\ddot v^n_m+O(\tau^2) +\frac12 {v'}^n_m+O(h^2) - \frac{\tau}{8}{v''}^n_m - \frac{\tau}{8}O(h) = O(\tau+h^2+\tau h)
\]

2) Посчитаем дифференциальное приближение для явной схемы:
\[
\frac{v^{n+1}_m - v^n_m}{\tau}+\frac12 \frac{v^n_{m+1}-v^n_{m-1}}{2h} - \frac{\tau}{8} \frac{v^n_{m+1}-2v^n_m+v^n_{m-1}}{h^2} =0
\]

\[
v^{n+1}_m = v + \tau\dot v + \frac{\tau^2}2\ddot v + \frac{\tau^3}6\dddot v+ O(\tau^4)
\]

\[
v^n_{m+1} = v + h{v'} + \frac{h^2}2 {v''} +\frac{h^3}6 {v'''} + O(h^4)
\]

\[
v^n_{m-1} = v - h{v'} + \frac{h^2}2 {v''} -\frac{h^3}6 {v'''} + O(h^4)
\]
Подставляем:
\[
\dot v + \frac{\tau}2 \ddot v +  \frac{\tau^2}6 \dddot v + O(\tau^3) + \frac12 {v'}+ \frac{h^2}{12} {v'''}+ O(h^3) -\frac{\tau}8 {v''} + O(\tau h^2) = 0
\]

\[
\dot v +\frac12 {v'}-\frac{\tau}8 {v''} = -\frac{\tau}2 \ddot v - \frac{\tau^2}6 \dddot v - \frac{h^2}{12} {v'''} + O(\tau^3+h^3+\tau h^2)
\]

\[
\ddot v +\frac12 {\dot v'}-\frac{\tau}8 {\dot v''} = -\frac{\tau}2 \dddot v + O(\tau^2+h^2)
\]

\[
\dot {v'} +\frac12 {v''}-\frac{\tau}8 {\dot v'''} = -\frac{\tau}2 \ddot {v'} + O(\tau^2+h^2)
\]

\[
\dddot v +\frac12 \ddot {v'}-\frac{\tau}8 {\dot v'''} = O(\tau+h^2)
\]

\[
\dot {v''} +\frac12 {v'''} = O(\tau^2+h)
\]

\[
\ddot {v'} +\frac12 \dot {v''} = O(\tau+h^2)
\]

\[
\dot {v''} = -\frac12 {v'''} = O(\tau^2+h)
\]

\[
\ddot {v'} = \frac14 {v'''} +O(\tau^2+h^2)
\]

\[
\dddot {v} = -\frac18 {v'''} +O(\tau^2+h^2)
\]

\[
\dot {v'} = -\frac12 {v''} +\frac{\tau}8 {v'''} - \frac{\tau}8 {v'''}+O(\tau^2+h^2) = -\frac12 {v''} + O(\tau^2+h^2)
\]

\[
\ddot v = -\frac14 {v''} -\frac{\tau}8 {v'''} + O(\tau^2+h^2)
\]
Получаем:
\[
\ddot v +\frac12 {\dot v'}-\frac{\tau}8 { v''} = -\frac{\tau}{8} {v''} + {v'''}(\frac{\tau^2}{12} - \frac{h^2}{12}) + O(\tau^3 +h^3 +\tau h^2)
\]
Введём $\nu=\frac{\tau}{2h}$, тогда:
\[
\ddot v +\frac12 {\dot v'}-\frac{\tau}8 { v''} = -\frac{h\nu}{4} {v''} + \frac{h^2}{12}(4\nu^2-1){v'''}+ O(\tau^3 +h^3 +\tau h^2)
\]

3) Исследуем устойчивость явной схемы: \\
Пусть $v_m^n = (\lambda( \varphi))^n e^{im \varphi}$. Вычислим $\lambda = \lambda(\tau, h, \varphi)$.

Сократив на $(\lambda( \varphi))^ne^{im \varphi}$ имеем:
\[
\frac{\lambda -1}{\tau} +  \frac{e^{i \varphi} - e^{-i \varphi}}{4h} -  \frac{\tau}{8}\frac{e^{i \varphi} - 2 + e^{-i \varphi}}{h^2} = 0
\]

\[
\lambda = (\frac12 + \frac{\tau}{4h} ) e^{i \varphi} + (\frac12 - \frac{\tau}{4h} ) e^{-i \varphi}
\]

\[
\lambda = 1 + \nu^2 (cos\varphi -1) - i\nu sin\varphi
\]
\[
|\lambda |= \sqrt{1 + \nu^2 (cos\varphi -1)^2 (\nu^2-1)}
\]
Необходимое условие устойчивости: $|\lambda| \le 1$ \\
В нашем случае это аналогично условию $\nu \le 1$. \\
Значит, $\frac{\tau}{2h} \le 1$


4) Посчитаем аппроксимацию неявной схемы:
\[
F = \frac{v_m^{n+1} - v_m^n}{\tau} + \frac12 \frac{v_{m+1}^{n+1} - v_{m-1}^{n+1}}{2h} - \frac{\tau}{8} \frac{v_{m+1}^{n+1} - 2v_m^{n+1} + v_{m-1}^{n+1}}{h^2}
\]

\[
v^{n+1}_m = v^n_m + \tau\dot v^n_m + \frac{\tau^2}2\ddot v^n_m + O(\tau^3)
\]

\[
v^n_{m+1} = v^n_m + h{v'}^n_m + \frac{h^2}2 {v''}^n_m +O(h^3)
\]

\[
v^n_{m-1} = v^n_m - h{v'}^n_m + \frac{h^2}2 {v''}^n_m +O(h^3)
\]

\[
v^{n+1}_{m+1} = v^n_m +\tau\dot v^n_m + h{v'}^n_m + \frac{\tau^2}2\ddot v^n_m + \frac{h^2}2 {v''}^n_m +\tau h \dot{v'}^n_m+O(h^3+\tau^3)
\]

\[
v^{n+1}_{m-1} = v^n_m +\tau\dot v^n_m - h{v'}^n_m + \frac{\tau^2}2\ddot v^n_m + \frac{h^2}2 {v''}^n_m -\tau h \dot{v'}^n_m+O(h^3+\tau^3)
\]
Тогда F примет вид:
\[
F = \dot v_m^n +\frac{\tau}{2}\ddot v_m^n+ O(\tau^2)+ \frac12 {v'}_m^n + \frac{\tau}2 \dot {v'}_m^n + O(h^2+\frac{\tau^3}{h}) - \frac{\tau}{8}{v''}^n_m + O(\frac{\tau^4}{h^2}+\tau h)=O(\tau^2+h^2+\frac{\tau^3}{h}+\frac{\tau^4}{h^2})
\]

5) Посчитаем дифференциальное приближение для неявной схемы:
\[
v^{n+1}_m = v + \tau\dot v + \frac{\tau^2}2\ddot v + \frac{\tau^3}6\dddot v+ O(\tau^4)
\]

\[
v^n_{m+1} = v + h{v'} + \frac{h^2}2 {v''} +\frac{h^3}6 {v'''} + O(h^4)
\]

\[
v^n_{m-1} = v - h{v'} + \frac{h^2}2 {v''} -\frac{h^3}6 {v'''} + O(h^4)
\]

\[
v^{n+1}_{m+1} = v +\tau\dot v + h{v'} + \frac{\tau^2}2\ddot v + \frac{h^2}2 {v''} +\tau h \dot{v'}+\frac{h^3}6 {v'''}+\frac{\tau^3}6\dddot v+ \frac{\tau^2 h}{2} \ddot {v'}+\frac{\tau h^2}{2} \dot {v''}+O(h^4+\tau^4)
\]

\[
v^{n+1}_{m-1} = v +\tau\dot v - h{v'} + \frac{\tau^2}2\ddot v + \frac{h^2}2 {v''} -\tau h \dot{v'}+\frac{h^3}6 {v'''}+\frac{\tau^3}6\dddot v- \frac{\tau^2 h}{2} \ddot {v'}+\frac{\tau h^2}{2} \dot {v''}+O(h^4+\tau^4)
\]
Подставляем эти выражения в схему и после переноса:
\[
\dot v+\frac12 {v'} = -\frac{\tau}2\ddot v -\frac{\tau^2}6\dddot v -\frac{h^2}{12}{v'''} + \frac{\tau^2}{4}\ddot {v''} + \frac{\tau}8{v''} +
\frac{\tau^2}{8}\dot{v'}+O(\tau^3+h^3)
\\
(*)
\]
Продифференцируем $(*)$ дважды по $x$, дважды по $t$ и по $x,t$:

\[
\dddot {v} + \frac12 \ddot{v'} = O(\tau+h)
\]

\[
\ddot {v'}  + \frac12 \dot {v''} = O(\tau+h)
\]

\[
\dot {v''} + \frac12 {v'''} = O(\tau+h)
\]

\[
\dot {v''} =- \frac12 {v'''} + O(\tau+h)
\]

\[
\ddot {v'} =\frac14 {v'''} +
O(\tau+h)
\]

\[
\dddot v =- \frac18 {v'''} +
O(\tau+h)
\]

Тогда:
\[
\dot {v'} =- \frac12 {v''} - \frac{\tau}{4} {v'''}+O(\tau^2+h^2)
\]

\[
\ddot {v} = \frac14 {v''} -\frac{\tau}{4} {v'''}+O(\tau^2+h^2)
\]
Окончательно получаем:
\[
\dot v+\frac12 {v'}=\frac{\tau}{4}{v''}-(\frac{5\tau^2}{48}-\frac{h^2}{12}){v'''}+O(\tau3+h^3)
\]

6) Исследуем устойчивость неявной схемы:\\
Пусть $v_m^n = (\lambda( \varphi))^n e^{im \varphi}$. Вычислим $\lambda = \lambda(\tau, h, \varphi)$.

Сократив на $(\lambda( \varphi))^ne^{im \varphi}$ имеем:
\[
\frac{\lambda -1}{\tau} +  \lambda\frac{e^{i \varphi} - e^{-i \varphi}}{4h} -  \frac{\tau}{8}\frac{e^{i \varphi} - 2 + e^{-i \varphi}}{h^2} = 0
\]

\[
\lambda =\frac{1}{1+i\nu sin{\varphi}-\nu^2(cos\varphi-1) sin^2{\varphi}}}
\]

\[
\nu^2-\nu^4cos\varphi+\nu^4+\nu^2cos^2\varphi \geq 0
\]
\[
\nu^2(1-cos\varphi)\geq -cos\varphi-1
\]
\[
\nu\geq0
\]
Значит спектральный признак устойчивости выполнен всегда

\newpage
\section{\bf Теоретическое исследование нелинейной задачи}

1) Посчитаем аппроксимацию для явной схемы:
\[
 v_t + \frac12 v_{\dot x}^2 = \frac{\tau}{4}(  vv_x)_{\bar x}
\]

\[
F = \frac{v^{n+1}_m-v^n_m}{\tau} +\frac12 \frac{ v^{2n}_{m+1} - v^{2n}_{m-1} }{2h} - \frac{\tau}{4} \frac{v^n_m(v^{2n}_{m+1} - v^{2n}_m) - v^n_{m-1}(v^{2n}_m - v^{2n}_{m-1})}{h^4}
\]

\[
v^{n+1}_m = v^n_m + \tau\dot v^n_m +  O(\tau^2)
\]

\[
v^n_{m-1} = v^n_m - h{v'}^n_m + \frac{h^2}2 {v''}^n_m +O(h^3)
\]
Введём $g(t,x) = v^2(t,x)$

\[
g^n_{m+1} = g^n_m + h{g'}^n_m + \frac{h^2}2 {g''}^n_m +O(h^3)
\]

\[
g^n_{m-1} = g^n_m - h{g'}^n_m + \frac{h^2}2 {g''}^n_m +O(h^3)
\]
Тогда после подстановки и упрощений:
\[
F =\dot v^n_m + \frac12 {g'}^n_m - \frac{\tau}8 v^n_m {g''}^n_m- \frac{\tau}8 v^n_m {g'}^n_m- \frac{\tau}4 {v'}^n_m {g'}^n_m + O(\tau+h)=O(\tau+h)
\]

2) Посчитаем аппроксимацию для неявной схемы:
\[
v_t + \frac12 \hat v_{\overset{\circ}{x}}^2 = \frac{\tau}{4}  (v\hat v_x^2)_{\bar x}
\]

\[
v^{n+1}_m = v^n_m + \tau\dot v^n_m +\frac{\tau^2}{2} \ddot v^n_m+  O(\tau^3)
\]

\[
v^n_{m+1} = v^n_m + h{v'}^n_m + \frac{h^2}2 {v''}^n_m +\frac{h^3}6 {v'''}^n_m +O(h^4)
\]

\[
v^n_{m-1} = v^n_m - h{v'}^n_m + \frac{h^2}2 {v''}^n_m +-\frac{h^3}6 {v'''}^n_m +O(h^4)
\]
Введём $g(t,x) = v^2(t,x)$

\[
g^{n+1}_{m+1} = g^n_m + h{g'}^n_m +\tau\dot g^n_m+ \frac{h^2}2 {g''}^n_m+\frac{\tau^2}{2} \ddot g^n_m+ \tau h\dot {g'}^n_m +O(h^3+\tau^3)
\]

\[
g^{n+1}_{m-1} = g^n_m - h{g'}^n_m +\tau\dot g^n_m+ \frac{h^2}2 {g''}^n_m+\frac{\tau^2}{2} \ddot g^n_m- \tau h\dot {g'}^n_m +O(h^3+\tau^3)
\]

Тогда после подстановки и упрощений:
\[
F = \dot v^n_m+\frac{\tau}2 \ddot v^n_m +\frac12 {g'}^n_m +\frac12 \tau \dot {g'}^n_m  - \frac{\tau}{4h^2} (\tau{v}^n_{m}\dot{g}^n_m - h{v}^n_m{g'}^n_m+O(\tau^2+h^2))+O(\tau^2+h^2) = O(\tau^2+h^2+\frac{h^3}{\tau})
\]

\section{\bf Список литературы}
\bibitem{Popov} {\slshape А. В. Попов}  <<Практикум на ЭВМ: разностные методы решения квазилинейных уравнений первого порядка. Часть I>>














\end{document}