Задача Коши для сист из n ур-ий в НФ - непрерывность и опред f, непрерывность частных производных y {j} - j - верхний индекс, (x0, y0) прин G

Задача Коши для ур-ий n-го пор, разр отн старш произв - f опред и непр по совокупности перем вместе с частн произв и (x, y0, y1, ... , yn-1) прин G

Задача Коши для ур-ий 1 пор, не разр отн произв - F(x, y, p) - непр по совокупности перем вместе с частн произв по y и p, (x0, y0, p0) прин G и dF/dp (x0, y0, p0) != 0 => сущ замкн d окр. Идея - т о неявн ф-ии, свели к ур-ию 1 пор, разр отн произв

особая точка - в любой ее окр реш з коши не сущ или не единств; если в ней более 1 реш - точка лок неединств

dF/dp (x0, y0, p0) != во всех особ точках (0 или не опр) - наз-ся p-дискриминантым

Особое решение - кажд точ инт кр явл точк лок неединств

Интегр кривая любого ос реш прин p дискр, но не любая т p дискр прин какой-либо инт кр

Теор о продолж до гр огр обл-ти - путь f опр и удовл усл сущ и ед реш з коши на G в R n + 1 => реш з коши можно продолж до замк G для любой (x0, y0)

Пусть G в R n+1 и для люб c,d Gcd огр и f удовле усл т о сущ и ед реш з коши => реш в любой т можно продл до гр G или до сколь угодно большого по модулю x - по пред теор можем увел пока не уперлись в границу => или упремся или беск

л Гронуолла - f неотр, непр и удовл f <= A + B инт от x0 до x f + C |x - x0|; A, C > 0, B >= 0, тогда f <= A exp(|x-x0|) + C / B (exp(B|x - x0|) - 1)

**********************************
т о прод на весь зад инт - СДЕЛАТЬ, неясны 3 перехода, где появились интегралы
**********************************

СЛДУ
y' = A(x)y + f(x)

L(y) = y' - A(x), f = L o y

Т если A(x) и f(x) опр на (a, b), то реш соотв зад Коши сущ, ед и продолж на [a, b]

Л (принцип суперпоз) Если y1(x), y2(x) - реш СЛДУ, то их ЛК с компл знач коэф также реш

Л2 Если y1, y2 - реш СЛДУ, то их разн - реш одн сист

Опр лин нез-ти ф-ий - нетрив ЛК, где сумма нетрив 0

Вронскиан (определитель вронского) - определитель, где столбцы - вектор - функции с n комп,комп изм по строкам

Л3 Если вронск сист y1(x), ... , yn(x) отл от 0 хотя бы в 1 точке на I, то все эти ф-ии ЛНЗ на I - ЛЗ => вронск 0 тк опред

Сл ЛНЗ => вронск не 0

Л1 ФСР сущ - x0 из [a, b], y01, ... , y0n - числ ЛНЗ векторы, сост сист з коши. Пусть z1, ... , zn - реш, тогда вронск не 0 и значит ФСР сущ

Л2 Любое реш СЛДУ ед обр пред в виде ЛК реш ФСР - в силу ед-ти реш з Коши коэф ЛК опред однозначн, тк ФСР ЛНЗ

Фунд матр СЛДУ - кв матр, где столбцы - эл нек ФСР

Л3 Y1(x), Y2(x) - фунд матр одн сист, то сущ невыр матр C : Y1(x) = Y2(x)C

Метод варицации постоянных
1 Найти ФСР однор сист и фунд матр Y
2 Продиф вект y(x) = Yc, y' = Y'c + Yc' = AYc + f
3 Выр и проинт c' и выр частн реш неодн

Линейные ДУ n-го пор с пост коэф

a0y^(n) + ... + any = f(x)
Сущ и ед реш след из сист

 y1'=y2
 ...
yn-1'=yn
yn' = f(x) - any1 - ... -a1yn

L(y) - одн ур (выкинули f(x)), ищем его реш как y=e^(lambda * x)

M(lambda) = a0 llambda ^ n + ... + an - характ ур

L(e(lambda x)) = M(lambda) e^(lambda * x)

Если labmda1, ... , lambda n - однокр корни M(lambda), то yi=e^(lambda i * x) ЛНЗ - запишем вронскиан решения и производных (идут в столбец), вынесем экспоненту с суммой степ, получил опред Вандермонда, не 0, тк lambda ЛНЗ

Пусть lambda - корень M кратности l, тогда e ^ (lambda x), ... , x ^ (l - 1) e ^ (lambda x) ЛНЗ

Пусть y = x ^ s e ^ (lambda x), lambda - корень характ ур, кратн l, тогда L(x ^ s e ^(lambda x)) = 0 if s < l or (b0 x ^ (s - l) * ... * b s- l) * e ^ (lambda x) if s >= l

Кваземногочлен - многочлен * эксп с линейной степенью

При lambda != 0 (Pm(x)e^(lambda x))' = Qm(x) e ^ (lambda x)

Пусть lambda1, ... , lambda k - корни M(lambda) и их кратн l1, ... , lk, тогда набор x^s e ^ (lambda x) s=1, , li -1 - ФСР уравнения - набор сост из n функций, надо показалть ЛНЗ, предп сущ всюду ненул ЛК. Сгруп слаг с одинак эксп, получ сумму k кваземногочл, хотя бы один из них не 0. Боо k-ый из них не 0. Домн лк на e ^ (-lambda 1 * x)и продиф рез l1 раз получим сумму k-1 кваземногочл, повторим дальше и получим, что k-ы1 многчлен должен быть равен 0 - против

Если yi(x) - ФСР для L(y) = 0, то решение - ЛК ФСР

Если f(x) = Pm(x) e ^ (thetta x), то L(y) имеет частн реш вида y(x) = x ^ l Qm(x) e ^ (thetta x), где l - кратность корня M(lambda) - пусть y1(x) = q0x^(m+l)e^(thetta * x), L(y1) = (q0box^(m+l) + R<m(x))e^(thetta * x), b0 != 0. m = 0 -> q0 = p0/b0. m >= 1 - y(x) = p0/b0 x ^ (m + l) e ^ (thetta x) + z(x) = y1(x) + z(x). L(y) = L(y1) + L(z) = (p0x^m + R<m(x))e^(thetta x) + L(z) = (p0x^m + (что-то меньшего пор = P~(x))) e ^ (..) и мы свели задачу к меньш степ

Системы лин диф ур n-го пор с пост коэф A = (aij) - число столбец x и столбец f зависят от t
x' = Ax + f(t)

h1, ... , hn - базис из соб вект A, то xi = e ^ (lambda i t) * hi - ФСР одн ур-ия - A(e ^ (lambda t)) = e ^ (lambda t) * (A hi) = e ^ (lambda t) * (lambda hi) = (e ^ (lambda t) * hi)'. Из их ЛНЗ след, что в t=0 вронскиан равен определителю из коорд столбцов базиса и значит не 0

Пусть h1 - соб вект для сз lambda (A - lambda E)h = 0
{hi} i = 1, ... , k, определенная как (A - lambda E) hi+1 = hi, причем (A - lambda E) h = hk не имеет решений - Жорд цепочка, а ее эл, кроме h1 - присоединенные к h1 векторы

матрица где по диаг lmabda, а над ними - 1 - жорд клетка

блочно-диаг матр с ЖК на диаг - Жорданова

S - числ матр перех A -> J, J - Жорданова матрица. Базис наз-ся жорадновым, а SJS^-1 - ЖНФ

пусть x = Sy. x' = Ax можно преобр в y = ASy = Jy, получи сист ур реш поблочно

Частн реш неодн сист в общ случае x = X(t)c(t), X'(t)c(t)+ X(t)c'(t) = AX(t)c(t) + f(t), X(t)c'(t)=f(t), c(t)' = X(t)^-1f(t), c(t) инт от t0 до t

Вектор - квазимногочлен размерности n и степени m - n - мерный вектор, комп которого явл-ся квазимногочлены и макс степ комп m

Если в сист x' = Ax + f(t) f = e ^ (mu t) Pm(t), то сущ реш вида x(t) = e ^ (mu t) Q m+l (t), где l = 0, если mu не явл соб зн A, в прот случае l не привосх длину наиб Жорд цепочки для mu

Пусть t - действит знач перем, Anxn - компл знач кв матр. Рассм ряд E + начинается тейлор для At в степени делить на степень факториал

Sk = E + первые k слаг
(Sk)ij = delta ij + sum i = 1 ... k t^l aij ^ l / l!

Матр ряд наз-ся сходящимся при t0 из R, если степ ряд сход для любых i и j

Для любой квадр матр A и любого t из R ряд сходится абсолютно

Сумма абс сход ряда наз-ся матр эксп

Если A и B - квадр матр, то для любого t из R верно e^tA * e^tB = e^tB * e^tA = e^t(A + B)

e^(-tA) = (e^(tA)) ^ -1 - e^ta * e^-ta = e^0 = E => равенство верно

e^tA - фунд матр для СЛУ x'= Ax - из-за того как берется произ и deg e^tA != 0

общ реш данной сист - e^tA * c, c -вектор констант

Общ реш x' = Ax + f(t) задается x = e^(tA) (инт от t0 до t e^-ta f(t) dt + c0) - x = e^(tA)c(t). Ae^(tA)c(t) + e^(tA)c'(t) = Ae^(tA)c + f(t), e^(tA)c'(t) = f(t), c'(t) = e^(-tA) f(t), c(t) = инт от t0 до t e^(-tA) f(t) dt + c0

Реш задачи Коши x' = Ax + f(t), x(t0) = x0 выр в след виде
x(t) = e ^(tA) (инт от t0 до t e^(-tA) f(t) dt + c0 + e ^ (-t0A) x0)