\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage[margin=0.5in]{geometry}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{graphicx}
%\usepackage{float}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{natbib}
\usepackage{listingsutf8} % Used for code highlighting
\lstset{
    extendedchars=false,
    % Alternative fix that doesn't work well: https://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Source_Code_Listings#Encoding_issue
}
\usepackage{pdfpages}
\usepackage{cancel}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{color}
%\usepackage{sidecap}
\usepackage{floatrow}
\linespread{1.2}
\usepackage{sectsty}
\floatsetup[table]{
  objectset=raggedright,
  margins=raggedright,
  midcode=captionskip,
  captionskip=10pt}
\date{September 19, 2017}
\author{Mark Rune Mortensen \\Studienummer: 174881 \\}
\title{Hjemmeopgave 2 - basis mat 1}
\sectionfont{\fontsize{12}{15}\selectfont}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,shapes}
\lstset{numbers=left, numberstyle=\tiny, stepnumber=1, numbersep=9pt, breaklines=true}
\newcommand{\tikzmark}[1]{\tikz[overlay,remember picture] \node (#1) {};}
\newcommand{\DrawBox}[2]{%
  \begin{tikzpicture}[overlay,remember picture]
    \draw[->,shorten >=5pt,shorten <=5pt,out=50,in=70,distance=0.5cm,#2] (a) to (c);
    \draw[->,green,shorten >=5pt,shorten <=5pt,out=50,in=70,distance=0.7cm] (a) to (d);
    \draw[->,shorten >=5pt,shorten <=1pt,out=300,in=300,distance=0.3cm,#1] (b) to (c);
    \draw[->,cyan,shorten >=5pt,shorten <=1pt,out=300,in=300,distance=0.6cm] (b) to (d);
    \draw[->,shorten >=5pt,shorten <=5pt,out=50,in=70,distance=0.5cm,#2] (e) to (g);
    \draw[->,green,shorten >=5pt,shorten <=5pt,out=50,in=70,distance=0.7cm] (e) to (h);
    \draw[->,shorten >=5pt,shorten <=1pt,out=300,in=300,distance=0.3cm,#1] (f) to (g);
    \draw[->,cyan,shorten >=5pt,shorten <=1pt,out=300,in=300,distance=0.6cm] (f) to (h);

%    \begin{tikzpicture}[overlay,remember picture,out=315,in=225,distance=0.4cm]
%    \draw[->,red,shorten >=3pt,shorten <=3pt] (a.center) to (b.center);
%  \end{tikzpicture}
  \end{tikzpicture}
}
\begin{document}
\maketitle
\newpage
\section*{Opgave 1}
\subsection*{(a)}
Udtryk det komplekse tal $(-\sqrt{3}+i^{2\cdot 8+3}) \cdot e^{i(13-8)\frac{\pi}{6}}$ på polær form og på rektangulær form. Der skal regnes i hånden. \\
For at udregne dette, vil den først findes på rektangulær form, derefter polær. \\
Der vil først blive reduceret hvad der er muligt uden en større operation. \\
Dernæst vil der blive fundet den Reele del og den imaginære del, ved hjælp af Eulers formel og bagefter addition. Efter dette skal der reduceres. \\ \\
For at få den på polær form, skal man finde modulus og argumentet. Det gøres ved at tage den Reele del og den imaginære del og bruge Pythagaros, til at finde modulus. For at finde argument tager man den imaginære del og dividerer med den Reele del. Modulus er så den reele del af det komplekse tal og argumentet er så den imaginærer del af tallet.
\begin{align*}
&(-\sqrt{3}+i^{2\cdot 8+3}) \cdot e^{i(13-8)\frac{\pi}{6}} \\
&\Updownarrow \\
&(-\sqrt{3}+i^{19}) \cdot e^{\frac{5\pi}{6}i} \\
&\Updownarrow \\
(-\sqrt{3}-i) \cdot e^{\frac{5\pi}{6}i} &= \begin{matrix}Re = -\sqrt{3} \cdot \cos\left(\frac{5}{6}\pi\right)+ \sin\left(\frac{5}{6}\pi\right)\\ Im = i\left(-\cos\left(\frac{5}{6}\pi\right)-\sqrt{3} \sin\left(\frac{5}{6}\pi\right)\right)\end{matrix} \\
\\
z_{rektangulær} &= -\sqrt{3} \cdot \cos\left(\frac{5}{6}\pi\right)+ \sin\left(\frac{5}{6}\pi\right) + i\left(-\cos\left(\frac{5}{6}\pi\right)-\sqrt{3} \sin\left(\frac{5}{6}\pi\right)\right) \\
\Updownarrow \\
z_{rektangulær} &= -\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{1}{2}+i\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}\right) \\
\Updownarrow \\
z_{rektangulær} &= 2+i0 \\
\\
|z| &= \sqrt{2^2} \\
arg(z) &= \arctan\left(\frac{0}{2}\right) \\
z_{polær} &= 2\cdot e^{0}
\end{align*}
\subsection*{(b)}
\includegraphics[scale=0.7]{img/mapleWorksheet.PNG}
\newpage
\section*{Opgave 2}
Normen af en funktion $f(t)$ er defineret ved
\begin{align*}
&\sqrt{\int^{2\pi}_0 f(t)^2 dt}
\end{align*}
\subsection*{(a)}
Brug Eulers formel til at omskrive $(sin((21-1)t))^2)$ til et udtryk, man nemt kan finde en stamfunktion til. Der skal regnes i hånden. \\ \\
Ved at anvende Eulers formel på $sin(t)$, kan man komme frem til følgende
\begin{align*}
f(t) &= \left(\frac{e^{i\cdot 20t}-e^{-i\cdot 20t}}{2i}\right)^2 \\
\Updownarrow \\
f(t) &= \frac{-1}{4}\left(e^{i20t}e^{i20t}-e^{i20t}e^{-i20t}-e^{-i20t}e^{i20t}+e^{-i20t}e^{-i20t}\right) \\
\Updownarrow \\
f(t) &= \frac{-1}{4}\left(e^{i2\cdot 20t}-1-1+e^{-i2\cdot 20t}\right) \\
\Updownarrow \\
f(t) &= \frac{-1}{4}\cdot (-2)+\frac{-1}{2} \cdot \frac{e^{i2\cdot 20t}-e^{-i2\cdot 20t}}{2} \\
\Updownarrow \\
f(t) &= \frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos(40t)
\end{align*}
\subsection*{(b)}
Find normen af funktionen $f(t)=sin((21-1)t)$. Der skal regnes i hånden.
\begin{align*}
F(t) &=\sqrt{\int^{2\pi}_0 f(t)^2 dt} \\
\Updownarrow \\
F(t) &= \sqrt{\int \frac{1- cos(2\cdot 20t)}{2}dt} \\
\Updownarrow \\
F(t) &= \sqrt{\frac{1}{2} \int 1- cos(2\cdot 20t)dt} \\
\Updownarrow \\
F(t) &= \sqrt{\frac{1}{2} \left(\int 1dt - \int cos(2\cdot 20t)dt\right)} \\
\Updownarrow \\
F(t) &= \sqrt{\frac{1}{2} \left(t - \int cos(2\cdot 20t)dt\right)} \\
\Updownarrow \\
F(t) &= \sqrt{\frac{1}{2} \left(t - sin(40t)\frac{1}{40}\right)} \\
F(0) &= \sqrt{\frac{1}{2} \left(0 - sin(40\cdot 0)\frac{1}{40}\right)} = 0 \\
F(2\pi) &= \sqrt{\frac{1}{2} \left(2\pi - sin(40\cdot 2\pi)\frac{1}{40}\right) }= \sqrt{\pi} \\
F(2\pi) - F(0) &= \underline{\underline{\sqrt{\pi}}}
\end{align*}
\subsection*{(c)}
\includegraphics[scale=0.7]{img/mapleWorksheet2.PNG}
\end{document}